1、第十二章第十二章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何1.空间直角空间直角坐标系、坐标系、空间向量空间向量及其运算及其运算1.空间直角坐标系空间直角坐标系 (1)了解空间直角坐标系，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点会用空间直角坐标表示点的位置的位置.(2)会推导空间两点间的距会推导空间两点间的距离公式离公式.2.空间向量与立体几何空间向量与立体几何 (1)了解空间向量的概念，了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示的正交分解及其坐标表示.(2)掌握空间向量的线性运掌握空间向量的线性运算及其坐标表
2、示算及其坐标表示.解答题：解答题：2017浙浙江，江，19解答题：解答题：2013课标课标，182.与空间角与空间角和距离有和距离有关的计算关的计算(3)掌握空间向量的数量积及其掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直判断向量的共线与垂直.(4)理解直线的方向向量与平面理解直线的方向向量与平面的法向量的法向量.(5)能用向量语言表述直线与直能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系垂直、平行关系.(6)能用向量方法证明有关直线能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理和平面位置
3、关系的一些定理(包包括三垂线定理括三垂线定理).(7)能用向量方法解决直线与直能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用在研究立体几何问题中的应用.解答题：解答题：2017课标课标，19解答题：解答题：2016课标课标，18解答题：解答题：2016课标课标，1938空间直角坐标系、空间向量及其运算空间直角坐标系、空间向量及其运算1直线的方向向量与平面的法向量的确定方法直线的方向向量与平面的法向量的确定方法(1)找直线的方向向量：在直线上任取一非零向量可作为它找直线的方向向量：
4、在直线上任取一非零向量可作为它的方向向量的方向向量2空间位置关系的向量表示空间位置关系的向量表示位置关系位置关系向量表示向量表示直线直线l1，l2的方向向量分别为的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2_直线直线l的方向向量为的方向向量为 n n，平，平面面的法向量为的法向量为mlnmnm0lnm_平面平面，的法向量分别为的法向量分别为n，mnmnmnmnm0n1n20nm3.空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算(1)设设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则，则(i)ab_；(ii)a_(R)；(iii)ab_；(iv)ab_；(v)aba1b1，a2b
5、2，a3b3(R)；(vi)|a|2aa|a|_(向量模与向量之间的向量模与向量之间的转化转化)；(a1b1，a2b2，a3b3)(a1，a2，a3)a1b1a2b2a3b3a1b1a2b2a3b30(2)设设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，(1)空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，这是因为一个确定的几何体关，这是因为一个确定的几何体,其其“线线线线”夹角、夹角、“点点点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简的繁简(2)进行向量的运算时，在能建系的情况下尽量建进行
6、向量的运算时，在能建系的情况下尽量建系，将向量运算转化为坐标运算系，将向量运算转化为坐标运算考向考向 利用空间向量证明空间位置关系利用空间向量证明空间位置关系在建立恰当的空间直角坐标系的基础上，利用空间坐在建立恰当的空间直角坐标系的基础上，利用空间坐标、空间向量表示点、线，把立体几何问题转化为向量问题是标、空间向量表示点、线，把立体几何问题转化为向量问题是高考试题的重点题型，复习时要熟练建立空间直角坐标系，正高考试题的重点题型，复习时要熟练建立空间直角坐标系，正确表示点、向量的坐标，加强向量数量积的运算确表示点、向量的坐标，加强向量数量积的运算(1)若若E为线段为线段CC1的中点，求证：平面的
7、中点，求证：平面A1BE平面平面B1CD；(2)若点若点 P 为侧面为侧面A1ABB1(包含边界包含边界)内的一个动点，且内的一个动点，且 C1P平面平面A1BE，求线段，求线段C1P长度的最小值长度的最小值(1)证明：证明：E是线段是线段CC1的中点，的中点，E(0，2，1)1用向量法证明平行类问题的常用方法用向量法证明平行类问题的常用方法线线平行线线平行证明两直线的方向向量共线证明两直线的方向向量共线线面平行线面平行证明该直线的方向向量与平面的某一法向量证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；垂直；证明直线的方向向量与平面内某直线的方向证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；向
8、量平行；证明该直线的方向向量可以用平面内的两个证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示不共线的向量线性表示面面平行面面平行证明两平面的法向量平行证明两平面的法向量平行(即为共线向量即为共线向量)；转化为线面平行、线线平行问题转化为线面平行、线线平行问题2.用向量法证明垂直类问题的常用方法用向量法证明垂直类问题的常用方法线线垂直问题线线垂直问题证明两直线所在的方向向量互相垂直，证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零即证它们的数量积为零线面垂直问题线面垂直问题直线的方向向量与平面的法向量共线，直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明或利
9、用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直线线垂直面面垂直问题面面垂直问题两个平面的法向量垂直，或利用面面垂两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直直的判定定理转化为证明线面垂直(1)证明：证明：A1C平面平面BB1D1D；(2)求平面求平面OCB1与平面与平面BB1D1D的夹角的夹角的大小的大小解解：(1)证明：方法一：由题设易知证明：方法一：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，两两垂直，以以O为原点建立空间直角坐标系，如图为原点建立空间直角坐标系，如图OAOBOA11，A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)A1CBD，A1CBB1，A1C平面平面BB1D1D.方法二：方法二：A1O平面平面ABCD，A1OBD.又又底面底面ABCD是正方形，是正方形，BDAC，BD平面平面A1OC，BDA1C.又又OA1是是AC的中垂线，的中垂线，AA1C是直角三角形，是直角三角形，AA1A1C.又又BB1AA1，A1CBB1，A1C平面平面BB1D1D.(2)设平面设平面OCB1的法向量的法向量n(x，y，z)
