1、第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径 教学设计一、教学目标1理解圆的对称性；掌握垂径定理2利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题二、教学重点及难点重点：垂直于弦的直径所具有的性质以及证明难点：利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题三、教学用具多媒体课件，三角板、直尺、圆规。四、相关资源沿圆的直径折叠动画，垂径定理及其推论的演示动画，赵州桥图片五、教学过程【合作探究，形成知识】探究圆的对称性1学生动手操作问：大家把事先准备好的一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？【数学探究】圆的轴对称性交互动画主要介绍圆的对称性，可以用于此
2、处。师生活动：学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴教师在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性2探索得出圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴师生活动：学生总结操作结论，教师强调圆的对称轴是直径所在的直线3问：圆有几条对称轴？师生活动：学生回答，教师强调圆有无数条对称轴4你能证明这个结论吗？师生活动：四人一小组，小组合作交流，尝试证明让学生注意要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于对称轴的对称点也在圆上教师板书分析及证明过程设计意图：在探索
3、问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，掌握证明轴对称图形的方法探究垂径定理按下面的步骤做一做，回答问题：第一步，在一张纸上任意画一个O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；第二步，得到一条折痕CD；第三步，在O上任取一点A，过点A作折痕CD的垂线，垂足为点M；第四步，将纸打开，设AM的延长线与圆交于另一点B，如图1图1 图2问题1 在上述操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？为什么？师生活动：学生动手操作，观察操作结果，得出结论，看哪个小组做得又快、又好，记入今天的英雄榜最后师生共同演示、验证猜想的正确性，从而解决本节课的又一难点垂径定理的证明，此时再
4、板书垂径定理及其推理的过程【数学探究】探究垂径定理用于探究垂径定理的性质证明：如图2所示，连接OA，OB，得到等腰OAB，即OA=OB因为CDAB，所以OAM与OBM都是直角三角形又因为OM为公共边，所以这两个直角三角形全等所以AM=BM又因为O关于直径CD所在的直线对称，所以A点和B点关于直线CD对称所以当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合因此AM=BM，=同理可得垂直于弦的直径的性质：（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧问题2 你能用符号语言表达这个结论吗？师生活动：学生尝试将文字转变为符号语言，用数学
5、符号表达定理的逻辑关系教师更正并板书符号语言表达：设计意图：增加学生的兴趣，使学生通过探索发现、思维碰撞，获得对数学知识最深刻的感受，体会成功的乐趣，发展思维能力【知识点解析】垂直于弦的直径的微课主要介绍垂径定理的性质【例题应用 提高能力】例1 如图，所在圆的圆心是点O，过点O作OCAB于点D若CD=4 m，弦AB=16 m，求此圆的半径师生活动：学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OCAB，则有AD=BD，且ADO是直角三角形在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程教师在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距（圆心到弦的距离）四个量中，只需要知道
6、两个量，其余两个量就可以求出来解：设圆的半径为R，由题意可得OD=R4，AD=8 m在RtADO中，即解得R=10（m）答：此圆的半径是10 m设计意图：增加一道引例，是基础应用题，为课本例题的实际应用作铺垫，有过渡作用，不但让学生掌握了知识，又增加了学习数学的兴趣，更体会到成功的喜悦例2 如图，赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)【教学图片】二次函数图片6赵州桥的图片，用于教学过程。师生活动：此题是
7、垂径定理计算题中的另一种题型，主要考查垂径定理与勾股定理及方程知识的综合应用教师在提示后让学生进行小组讨论，然后进行总结，得出结论，提醒学生做好笔记，养成良好的学习习惯设计意图：让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理的基本结构图，进而发展学生的思维【练习巩固，综合应用】1如图，O的直径AB=12，CD是O的弦，CDAB，垂足为P，且BPAP=15，则CD的长为( )A4 B8 C2 D42如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为_cm3O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB上的一个动点，则OP长的取值范围为4已知
8、O中，若弦AB的长为8 cm，圆心O到弦AB的距离（弦心距）为3 cm，求O的半径师生活动：教师分析“要求O的半径，只要求出OA的长就可以了，因为已知点O到弦AB的距离为3 cm，所以作OEAB于点E， AE=EB=AB=4 cm此时就可以得到一个RtAEO”学生回答，教师板书计算过程5如图，AB是O的直径，作半径OA的垂直平分线，交O于C，D两点，垂足为H，连接BC，BD（1）求证：BC=BD；（2）若CD=6，求O的半径长6银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道如图1所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道？ 图
9、1 图2师生活动设计：让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理的基本结构图，进而发展学生的思维参考答案：1D 22 33OP54解：作OEAB于点E，连接OA则AE=EBAB=8 cm，AE=4 cm又OE=3 cm，在RtAOE中，O的半径为5 cm教师引导：弦心距的作用就是平分弦，平分弦所对的弧，它和直径一样求圆的半径问题，首先要利用弦心距，弦的一半和半径构造出一个直角三角形，然后和勾股定理联系起来5解：（1）如图，连接OCAB是O的直径，且ABCD，CH=DH，BC=BD（2）连接OCCD平分OA，设O的半径为r，则OH=rCD=6，CH=CD=3
10、CHO=90，OH2CH2=CO2，即(r)232=r2r=2故O的半径长是26解：如图2所示，连接OA，过点O作OEAB，垂足为E，交圆于点F，则AE=AB=30 cm令O的半径为R cm，则OA=R，OE=OFEF=(R10)cm在RtAEO中，OA2=AE2OE2，即R2=302(R10)2解得R=50所以修理人员应准备内径为100 cm的管道设计意图：加深对勾股定理基本图形的认识，进一步体会利用垂径定理与直角三角形的知识解决实际问题六、课堂小结师生活动：教师出示小结的问题，学生两人一组交流讨论，然后班内交流，不足之处教师给予补充问题1 从知识上学习了什么？圆的轴对称性；垂径定理及其推论问题2 从方法上学习了什么？（1）垂径定理和勾股定理的结合（2）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线：过圆心作垂直于弦的线段；连接半径设计意图：总结回顾所学内容，让学生学会归纳、反思，提炼解决问题的方法七、板书设计24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径1圆的轴对称性2垂径定理及其推论
