1、23. 平面图形的测量知识要点梳理一、 基本图形周长面积计算公式扇形表示半径表示圆心角圆环表示小圆半径R表示大圆半径圆环面积=大圆面积-小圆面积 二、组合图形求周长、面积 1阴影面积整体空白 2代换法 梯形中的蝴蝶定理： S1S4 S1S3S2S4 3分割法 4等高三角形 （1）等高三角形面积的比等于底之比。 （2）等高三角形的常用判定方法：有一个公用的顶点，其余顶点均在同一直线上，所有顶点均在同一对平行线上。 （3）等底三角形的面积之比等于高之比。5.交叉定理 考点精讲分析典例精讲考点1组合图形的周长和面积 【例1】求下面图形的周长和面积。（单位：米） 【精析】要求它的周长，可用长方形的2个
2、长1个宽圆的周长的一半；要求它的面积，可用图中长方形的面积加上半圆的面积即可。 【答案】周长：2.5223.1422 523.14 10.14（米） 面积：2.523.142 53.1412 51.57 6.57（平方米） 答：这个图形的周长是10.14米，面积是6.57平方米 【归纳总结】组合图形的计算，一般都要把它分割成规则图形再进行计算。考点2 等积变换法求面积 【例2】如图，ABCD是直角梯形，AB3厘米，AD4厘米，BC6厘米，求阴影部分的面积。 【精析】阴影部分的面积为三角形ABE和三角形DEC的面积之和，利用ABE和DEC是等高三角形则阴影部分的面积可以变换为BC边的长乘以高，再
3、除以2。 【答案】6329（平方厘米） 【归纳总结】高一定，阴影部分面积底之和高2。考点3 割补法求面积 【例3】如图，是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10，中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么，阴影部分的面积是多大？ 【精析】如果按常规解法，此题较麻烦，如果用割补法、平移法则较简单。把左边沿路这一块割下补在右边变成一个平行四边形，然后两条路平移到边上（如下图），就容易解答了。 【答案】（162）（102）148112（平方米） 答：有草部分的面积为112平方米。考点4 转化法求面积 【例4】如图，正方形ABCD的边长为5cm，又CEF的面积比ADF的面积大5，求CE的
4、长。 【精析】因为CEF的面积比ADF的面积大5平方厘米，这两个三角形分别加上公共部分则三角形ABE的面积比正方形ABCD的面积大5平方厘米，于是利用三角形和正方形的面积公式即可求解。 【答案】（555）2557cm 【归纳总结】巧用等式的基本性质将局部转化为整体求面积。考点5 辅助线法求面积 【例5】如图所示的大正方形的边长是10厘米，求阴影部分的面积。 【精析】（辅助线法）如图所示：三角形BCF和三角形DCF等底等高（底和高分别等于大、小正方形的边长），则二者的面积相等，分别去掉公共部分（三角形CFH），那么剩余的部分的面积，仍然相等，即三角形BCH和三角形HFD的面积相等，于是阴影部分的
5、面积就变成了大正方形的面积的一半，据此代入数据即可求解。 【答案】10102100250（平方厘米） 答：三角形BFD的面积为50平方厘米。 【归纳总结】解答此题的关键是：推论得出阴影部分的面积等于大正方形的面积的一半，问题即可得解。考点6 平移法求面积 【例6】如图，是由一个圆和两个正方形组成的图形，其中圆的半径为2，则图中阴影部分的面积为多少？ 【精析】将图中的阴影部分不规则图形的面积通过平移转化成规则图形的面积集中求解。 【答案】22=4 442-444=4 答：阴影部分的面积为4。名题精析 【例】（西安某铁一中入学）右图是由4个边长为4厘米的正方形组成的图形，每个小正方形的一个顶点恰好
6、在另一个正方形的中心，且边互相平行，则此图形的周长为（）cm，面积为（）。【精析】根据图形可以看出组合图形中第一个和最后一个正方形各相当于3条边的长度，其余2个正方形各相当于2条边的长度。 【答案】422cm，（4222）440cm，221352。【方法归纳】解决此类题的关键是掌握组合图形的周长都包含哪些边。毕业升学训练一、填空题 1如图，两个正方形边长分别是10厘米和15厘米，甲三角形的面积比乙三角形的面积大（ ）平方厘米。 2如图，小半圆的直径是4厘米，图形的周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。3如图，正方形的面积是4平方米，圆的面积是（）平方米，空白部分S的面积是（）平方米，阴影部分
7、的面积是（）平方米。二、选择题 1把长方形的一个角上剪去一个小正方形，长方形的周长（），面积（）。 A变大B变小C不变 2比较图中最大圆与最大圆中四个小圆的周长和，（）。 A最大圆的周长大 B最大圆中四个小圆的周长大 C一样大三、解决问题 1下图是两个相同三角形叠放在一起，求阴影部分面积。 2如下图，长方形草地长为16米，宽为10米，中间有两条路，一条是长方形，一条是平行四边形，小草覆盖的面积有多大？ 3小正方形边长为6cm，CG6cm，求阴影部分面积。 4在ABC中，DC3BD，DEEA，若ABC面积是2，求阴影部分的面积。 5四边形ABCD的对角线DB被E、F两点三等分，且四边形AECF的
8、面积为15cm2，求四边形ABCD的面积？ 6如图，直角梯形ABCD的上底与高相等，正方形DEFH的边长等于6厘米，阴影部分的面积是多少？ 7三角形ABC的面积是36，D为AB的中点，FC与DE平行，那么三角形BEF的面积是多少？冲刺名校提升一、填空题 1（西安高新某中入学）如图，正方形ABCD中，边长为18cm，CE2BE，AF2BF，AE、CF交于点O，则阴影部分的面积为（）。 2（西安某铁一中分班）如图，在大长方形中放置了7个形状，大小相同的小长方形，则图中阴影部分的面积是（ ）。 3（西安高新某中入学）某小区准备在长方形地块上种植花草，设计图纸如图，BD、CF将长方形ABCD分成四块，
9、红色三角形面积是8平方厘米，黄色三角形面积是12平方厘米，问绿色四边形面积是（ ）平方厘米。 4（江西某师大附中入学）三角形ABC的面积是21平方厘米，点D在BC上，且DC3BD，点E在线段AD上，且AEDE，延长CE交AB于点F，那么图中阴影部分的面积是（）平方厘米。二、解决问题 1（西安某交大附中入学）如图，是正方形与半圆形的组合，A点是半圆弧的中点，请根据图中所标示的数据计算阴影部分的面积。（的值取3） 2（成都某七中入学）如图，长方形ABCD的长为10cm，宽为8cm，E、F分别为所在边的中点，G为BC上的任意一点，求阴影部分的面积。 3（成都某七中入学）如图，甲、乙两图形都是正方形，
10、它们的边长分别是10cm和12cm，求阴影部分的面积。 4（西安某铁一中入学）（1）请在方格纸中，以线段AB为边画出两个面积为3的格点三角形，要求一个为锐角三角形，一个为钝角三角形。（注：每个小方格的边长为1；格点三角形是指三角形的三个顶点都在方格的交叉点上）（2）某自助农场主将一块长方形的菜地，分割成7个小长方形出租（如图2），其中5块的面积分别为20，10，4，6，8（单位：平方米），请算出阴影部分的面积。 （3）一块形状为直角梯形的展板（如图3），其中AD平行于BC，AD，BC垂直于DC，点E为AB的中点，阴影部分涂成绿色，其余部分涂成白色，请问绿色区域和白色区域的面积是否相等？请说明理
11、由。5（西安某交大附中入学）如图，已知正方形ABCD边长为4cm，AE长为5cm，BF垂直AE于点F，求BF的长。6（西安某交大附中入学）操作发现： （1）如图1，点P是直线l外一点，则线段PA、PB、PC中哪条线段最短？ （2）如图2，将三角形ABC沿直线l翻折得到三角形ADC，若B108，130，求2的度数。尝试应用： （3）如图3，在三角形ABC中，BAC45，BC4，三角形ABC的面积是6，点D是BC上任意一点，将三角形ABD沿AB翻折得到三角形ABE，将三角形ACD沿AC翻折得到三角形ACF，若连接EF，试计算三角形AEF面积的最小值。7 （西安某铁一中入学）（1）如图，一张长方形纸
12、片经过折叠，恰好得到一个三角形ABC，这个三角形面积与长方形面积之比是13，BAC90度。 （2）如图，一张面积是240cm2的长方形纸片ABCD的四个角向内折叠，恰好能将其拼成一个无缝隙无重叠的四边形“信封”EFGH，若HF20cm，求AB的长。8（西安某工大附中分班）已知如图1，正方形ABCD的边长为a，P是边CD上的一动点（不与C、D重合），CPb，以CP为一边在正方形ABCD外作做正方形PCEF，连接BF、DF。 （1）观察计算： 当a4，b1时，四边形ABFD的面积为16。 当a4，b2时，四边形ABFD的面积为16。 （2）探索发现： 根据上述的计算结果你认为四边形ABFD的面积与
13、正方形ABCD面积之间有怎样的关系？请直接写出你的结论： （3）结论应用： 如图2，连接BD，若三角形BDF的面积为12.5，正方形PCEF的面积为4，点M是BF与CD的交点，求四边形MCEF的面积。23. 平图形的测量毕业升学训练一、1.37.5 2.25.1225.123.12.563.14 0.86二、1.C B2.C三、1.【解析】阴影部分面积=梯形ABCD的面积=(8-3 +8)52=32.5 答:阴影部分面积为32.5。 2.【解析】阴影部分面积=(16-2)(10-3)=98 (米) 答:小草覆盖的面积是98平方米。 3.【解析】662=18(c) 答:阴影部分面积为18c。 4
14、.【解析】连接FD,答：阴影部分的面积为。5. 【解析】153=45(c) 答:四边形ABCD的面积是45c6. 【解析】662=18(平方厘米)答:阴影部分面积是18平方厘米。7. 【解析】连接CD,362=18答:三角形BEF的面积是18。冲刺名校提升一、1. 81c 2.100 3.22 4.12二、1.【解析】16162=128c 884=48c 128c+48c-(16+8)82=80(c) 答:阴影部分的面积是80c 2.【解析】10(82)2 =1042 =20(平方厘米) 答:阴影部分的面积是20平方厘米。 3.【解析】1212+1010-(12+10)122-10 102-(
15、12-10)122=144+100-132-50- 12=50(c) 答:阴影部分的面积是50c。 4.【解析】(1)满足条件高为2即可(答案不唯一)。 (2)684=12(平方米)4+6+8+12=30(平方米)30x10=20=15(平方米)答:阴影部分的面积是15平方米。(3)相等。过点E作CD的平行线交BC于G,延长DA交于则所以=长方形CDFG，绿色区域和红色区域的面积相等。5. 【解析】连接EB,三角形AEB是正方形面积的一 442=8c,同时FB是AE底边上的高,8 5=cm。 答:BF的长是长cm。 6.【解析】(1)利用点与线段之间垂线段最短,PC 短。 (2) (3)由于(2)可知要使直角三角形的面积最小，只要短即可。由(1)可知,当高时,最短为三角形的面积为。7. (1)1:390(2)【解析】 8. (1)1616(2)(3) 【解析】连接，因为，所,所以因为,所以又因为， 所以
