1、立体几何题型分类解答第一节空间简单几何体的结构与三视图、直观图及其表面积和体积一、选择题1(2009年绵阳月考)下列三视图所对应的直观图是()2(2010年惠州调研)下列几何体(如下列图)各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()ABCD3如下图所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是()长方体圆锥三棱锥圆柱A B C D4(2009年常德模拟)用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如下图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为()A9与13 B7与10 C10与16 D10与155(2009年山东卷)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A2
2、2 B42C2 D4二、填空题6在下列图的几何体中，有_个是柱体7(2009年全国卷)直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若ABACAA12，BAC120，则此球的表面积等于_8一个长方体共顶点的三个面的面积分别为、，这个长方体对角线的长是_三、解答题9.如右图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB3，AA14，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC1的交点为N.求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC和NC的长10.一几何体的表面展开图如右图，则这个几何体是哪一种几何体？选择适当的角度，画出它水平放
3、置时的直观图与三视图并计算该几何体的体积参考答案1C2解析：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为D.答案：D3A4.C5.C6解析：柱体包括棱柱与圆柱，图中第，个几何体都是柱体答案：47解析：在ABC中ABAC2，BAC120，可得BC2，由正弦定理，可得ABC外接圆半径r2，设此圆圆心为O，球心为O，在RTOBO中，易得球半径R，故此球的表面积为4R220.答案：208解析：不妨设三棱长为a，b，c，则ab，bc，ac，解得abc从而a，b1，c，其对角线长为.答案：9解析：(1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形所以对角线长为；(2)将该三棱柱的侧面沿棱B
4、B1展开，如右图，设PC的长为x，则MP2MA2(ACx)2，因为MP，MA2，AC3，所以x2即PC的长为2，又因为NCAM所以即，所以NC.注意：几何体中，沿侧面上的最短线路问题常考虑几何体的侧面展开图或表面展开图来考虑10解析：该几何体为四棱锥，底面是正方形，有一条侧棱与底面垂直，(直观图，三视图略)其体积为：66672 cm3.第二节 空间图形的基本关系与公理一、选择题1下列四个命题：分别在两个平面内的两条直线是异面直线和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条和两条异面直线都相交的两条直线必异面若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c也是异面直线其中是真命题的个数为()A3B2C1
5、D02以下命题中：点A，B，C直线a，A，B平面，则C；点A直线a，a平面，则A；，是不同的平面，a，b，则a，b异面；三条直线两两相交，则这三条直线共面；空间有四点不共面，则这四点中无三点共线真命题的个数为()A0 B1 C2 D33对于空间三条直线，有下列四个条件：三条直线两两相交且不共点；三条直线两两平行；三条直线共点；有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交其中，使三条直线共面的充分条件有()A1个 B2个 C3个 D4个4(2008年四川延考)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，则A1B与D1E所成角的余弦值为()A. B. C. D.5(2008年全国卷)
6、已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为()A. B. C. D.二、填空题6空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定_个平面7在长方体ABCDA1B1C1D1中，经过其对角线BD1的平面分别与棱AA1、CC1相交于E，F两点，则四边形EBFD1的形状为_8P是直线a外一定点，经过P且与直线a成30角的直线有_条三、解答题9.如右图所示，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)若ACBD，求证：四边形EFGH是菱形
7、；(3)当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形10.如右图所示，已知四边形ABCD为直角梯形，ADBC，ABC90，PA平面AC，且PAADAB1，BC2.(1)求PC的长；(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小参考答案1D2解析：只有为真命题答案：C3B4解析：连结D1C，EC，用余弦定理解三角形可以求得答案答案：B5解析：连接AC、BD交于O，连接OE，因OESD.所以AEO为所求设侧棱长与底面边长都等于2，则在AEO中，OE1，AO，AE，于是cosAEO.答案：C677.平行四边形8解析：无数条，它们组成一个以P为顶点的圆锥面答案：无数9解析：(1)证明：在ABC中
8、，E，F分别是边AB，BC中点，所以EFAC，且EFAC，同理有GHAC，且GHAC，EFGH且EFGH，故四边形EFGH是平行四边形；(2)证明：仿(1)中分析，EHBD且EHBD，若ACBD，则有EHEF，又因为四边形EFGH是平行四边形，四边形EFGH是菱形(3)由(2)知，ACBD(四边形EFGH是菱形，欲使EFGH是正方形，还要得到EFG90，而EFG与异面直线AC，BD所成的角有关，故还要加上条件ACBD.当ACBD且ACBD时，四边形EFGH是正方形10解析：(1)因为PA平面AC，ABBC，PBBC，即PBC90，由勾股定理得PB.PC.(2)如右图所示，过点C作CEBD交AD
9、的延长线于E，连结PE，则PCE为异面直线PC与BD所成的角或它的补角CEBD，且PE.由余弦定理得cosPCE.PC与BD所成角的余弦值为.第三节 空间图形的平行关系一、选择题1、是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定的是()A、都平行于直线a、bB内有三个不共线点A、B、C到的距离相等Ca、b是内两条直线，且a，bDa、b是两条异面直线且a，b，a，b2(2009年滨州模拟)给出下列命题：若平面内的直线l垂直于平面内的任意直线，则；若平面内的任一直线都平行于平面，则；若平面垂直于平面，直线l在平面内，则l；若平面平行于平面，直线l在平面内，则l.其中正确命题的个数是
10、()A4B3C2D13已知平面平面，P是，外一点，过点P的直线m与，分别交于点A，C，过点P的直线n与，分别交于点B，D，且PA6，AC9，PD8，则BD的长为()A16 B24或C14 D204a、b是两条异面直线，A是不在a、b上的点，则下列结论成立的是()A过A有且只有一个平面平行于a、bB过A至少有一个平面平行于a、bC过A有无数个平面平行于a、bD过A且平行a、b的平面可能不存在5给出下列关于互不相同的直线m，l，n和平面，的四个命题：若m，lA，点Am，则l与m不共面；若l，m，则lm；若l，m，lm点A，l，m，则；m，m，l，则ml.其中为假命题的是()A B C D二、填空题
11、6设D是线段BC上的点，BC平面，从平面外一定点A(A与BC分居平面两侧)作AB、AD、AC分别交平面于E、F、G三点，BCa，ADb，DFc，则EG_.7在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件_时，有MN平面B1BDD1.8已知a、b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a、b在上的射影有可能是：两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点在上面结论中，正确结论的编号是_(写出所有正确结论的编号)三、解答题9.(2009年柳州模拟)如右图所示，ABCDA1
12、B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点(1)求证：BD1平面C1DE；(2)求三棱锥DD1BC的体积10.(2009年宁夏模拟)如右图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PAAB1，AD，点F是PB的中点，点E在边BC上移动(1)求三棱锥EPAD的体积；(2)当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；(3)证明：无论点E在边BC的何处，都有PEAF.参考答案1解析：A错，若ab，则不能断定；B错，若A、B、C三点不在的同一侧，则不能断定；C错，若ab，则不能断定；D正确答案：D2B3解析：利用PAB与PCD相似
13、可得，当，在点P的同侧时，BD为；，在点P的异侧时，BD为24.答案：B4解析：过点A可作直线aa，bb，则abA.a、b可确定一个平面，记为.如果a，b，则a，b.由于平面可能过直线a、b之一，因此，过A且平行于a、b的平面可能不存在答案：D5解析：本题考查线线，线面及面面位置关系的判定答案：B6.7点M在线段FH上8解析：如右图所示，A1D与BC1在平面ABCD上的射影互相平行；AB1与BC1在平面ABCD上的射影互相垂直；DD1与BC1在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点答案：9解析：(1)证明：连接D1C交DC1于F，连结EF.ABCDA1B1C1D1为正四棱柱，四边形DCC1D
14、1为矩形，F为D1C中点在CD1B中，E为BC中点，EFD1B.又D1B面C1DE，EF面C1DE，BD1平面C1DE.(2)连结BD，VDD1BCVD1DBC，AC是正四棱柱，D1D面DBC.DCBC2，SBCD222.VD1DBCSBCDD1D21.三棱锥DD1BC的体积为.10解析：(1)三棱锥EPAD的体积VPASADEPA.(2)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行在PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，EFPC，又EF平面PAC，而PC平面PAC，EF平面PAC.(3)证明：PA平面ABCD，BE平面ABCD，EBPA，又EBAB，ABAPA，AB，AP平面PAB，EB平面
15、PAB，又AF平面PAB，AFEB，又PAAB1，点F是PB中点，AFPB又PBBEB，PB，BE面PBE，AF面PBE，PE面PBE，PEAF.第四节 空间图形的垂直关系一、选择题1(2008年安徽卷)已知m、n是两条不同直线，、是三个不同平面，下列命题中正确的是()A若m，n，则mn B若，则C若m，m，则 D若m，n，则mn2(2009年浙江卷)设，是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A若l，则l B若l，则lC若l，则l D若l，则l 3(2009年广东卷)给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂
16、线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是()A和 B和C和 D和4关于直线m、n与平面与，有下列四个命题：若m，n且，则mn；若m，n且，则mn；若m，n且，则mn；若m，n且，则mn；其中真命题的序号是()A B C D5已知两条直线m、n，两个平面、，给出下面四个命题mn，mn，m，nmnmn，mn，mn，mn其中正确命题的序号是()A B C D二、填空题6下列命题中，设、为不同平面，a、b为不同直线，下列命题是真命题的有_a，a.a，abb.，a，bab.a，abb.7设
17、三棱锥PABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题：若PABC，PBAC，则H是ABC的垂心若PA、PB、PC两两互相垂直，则H是ABC的垂心若ABC90，H是AC的中点，则PAPBPC若PAPBPC，则H是ABC的外心其中正确命题的命题是_8(2009年浙江)如下图，在长方形ABCD中，AB2，BC1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC.在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足设AKt，则t的取值范围是_三、解答题9.如右图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PACD，PA1，PD.(1)求证：PA平面ABCD；
18、(2)求四棱锥PABCD的体积10如右图，A、B、C、D为空间四点在ABC中，AB2，ACBC.等边三角形ADB以AB为轴运动(1)当平面ADB平面ABC时，求CD；(2)当ADB转动时，是否总有ABCD?证明你的结论参考答案1解析：m、n均为直线，其中m、n平行，m、n可以相交也可以异面，故A不正确；m，n则同垂直于一个平面的两条直线平行；故选D.答案：D2解析：对于A、B、D均可能出现l，而对于C是正确的答案：C3D4D5解析：用线面垂直的性质和面面平行的性质可判断正确，中m，n可以平行或异面；中n可以在内答案：C678解析：此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，t1，
19、随着F点到C点时，因CBAB，CBDK，CB平面ADB，即有CBBD，对于CD2，BC1，BD，又AD1，AB2，因此有ADBD，则有t，因此t的取值范围是.答案：9解析：(1)证明：因为四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PA1，PD，所以PD2PA2AD2，所以PAAD.又PACD，ADCDD，所以PA平面ABCD.(2)四棱锥PABCD的底面积为1，因为PA平面ABCD，所以四棱锥PABCD的高为1，所以四棱锥PABCD的体积为.10解析：(1)取AB的中点E，连结DE，CE，11、月食：当地球转到月球和太阳的中间，太阳、地球、月球大致排成一条直线时，地球就会挡住太阳射向月球的光，
20、这时在地球上的人就只能看到月球的一部分或全部看不到，于是就发生了月食。因为ADB是等边三角形，所以DEAB.6、蚜虫是黄色的，在植物的嫩枝上吸食汁液，每个蚜虫只有针眼般大小，在10倍放大镜下我们可以看清它们的肢体。当平面ADB平面ABC时，11、火药是我国的四大发明之一，我国古代的黑火药是硝石、硫黄、木炭以及一些辅料等粉末状物质的均匀混合物。迄今为止，可以考证的最早的火药配方是“伏火矾法”。因为平面ADB平面ABCAB，5、铁生锈变成了铁锈，这是一种化学变化。水分和氧气是使铁生锈的原因。所以DE平面ABC，可知DECE，4、日常生活中我们应该如何减少垃圾的数量？由已知可得DE，EC1，17、大
21、熊座的明显标志就是我们熟悉的由七颗亮星组成的北斗七星，在RtDEC中，CD2.答：火柴燃烧、铁钉生锈、白糖加热等。(2)当ADB以AB为轴转动时，总有ABCD.3、月球是距离地球最近的星球直径大约是地球的1/4，质量大约是地球的1/80，月球体积大约是地球的1/49，月球引力大约是地球的1/6。证明：当D在平面ABC内时，因为ACBC，ADBD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即ABCD.14、在显微镜下观察物体有一定的要求。物体必须制成玻片标本，才能在显微镜下观察它的精细结构。当D不在平面ABC内时，由(1)知ABDE.又因ACBC，所以ABCE.又DE，CE为相交直线，所以AB平面CDE，由CD平面CDE，得ABCD.2、你知道日食的形成过程吗？综上所述，总有ABCD.
