1、一元一次方程的应用1、列方程解应用题的基本步骤和方法：步骤要求注意事项审题读懂题目、弄清题意、找出能够表示应用题全部含义的相等关系审题是分析解题的过程，解答过程中不用体现出来设元设未知数把各个量用含未知数的代数式表示出来设未知数一般是问什么，就直接设什么为x，即直接设元直接设元有困难时，可以间接设元列方程根据等量关系列出方程避免列出恒等式解方程解这个方程，求出未知数的值如果是间接设元，求出的未知数还需要利用其他算式得到所求的量检验把方程的解代入方程检验，或根据实际问题进行检验列一元一次方程解应用题检验的步骤在解答过程中不用写出来方程的解要符合实际问题作答写出答案，作出结论这一步在列方程解应用题
2、中必不可少，是一种规范要求注意：（1）初中列方程解应用题时，怎么列简单就怎么列（即所列的每一个方程都直接的表示题意），不用担心未知数过多，简化审题和列方程的步骤，把难度转移到解方程的步骤上（2）解方程的步骤不用写出，直接写结果即可（3）设未知数时，要标明单位，在列方程时，如果题中数据的单位不统一，必须把单位换算成统一单位，尤其是行程问题里需要注意这个问题2、设未知数的方法：设未知数的方法一般来讲，有以下几种：（1）“直接设元”：题目里要求的未知量是什么，就把它设为未知数，多适用于要求的未知数只有一个的情况；（2）“间接设元”：有些应用题，若直接设未知数很难列出方程，或者所列的方程比较复杂，可以
3、选择间接设未知数，而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用（3）“辅助设元”：有些应用题不仅要直接设未知数，而且要增加辅助未知数，但这些辅助未知数本身并不需要求出，它们的作用只是为了帮助列方程，同时为了求出真正的未知量，可以在解题时消去（4）“部分设元”与“整体设元”转换：当整体设元有困难时，可以考虑设其一部分为未知数，反之亦然，如：数字问题模块一：数字问题（1）多位数字的表示方法：一个两位数的十位数字、个位数字分别为a、b，（其中a、b均为整数，）则这个两位数可以表示为一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，（其中均为整数，且，）则这个三位数表示为：（2）奇数与偶数的表示方法
4、：偶数可表示为2k，奇数可表示为（其中k表示整数）（3）三个相邻的整数的表示方法：可设中间一个整数为a，则这三个相邻的整数可表示为【例1】 一次数学测验中，小明认为自己可以得满分，不料卷子发下来一看得了96分，原来是由于粗心把一个题目的答案十位与个位数字写颠倒了，结果自己的答案比正确答案大了36，而正确答案的个位数字是十位数字的2倍正确答案是多少?【解析】此题中数据96与列方程无关与列方程有关的量就是小明粗心后所涉及的量设正确答案的十位数字为，则个位数字为，依题意，得，解之得于是所以正确答案应为48【答案】【例2】 某年份的号码是一个四位数，它的千位数字是2，如果把2移到个位上去，那么所得的新
5、四位数比原四位数的2倍少6，求这个年份【解析】设这个年份的百位数字、十位数字、个位数字组成的三位数为x，则这个四位数字可以表示为，根据题意可列方程：，解得【答案】2499年【例3】 有一个四位数，它的个位数字是8，如果将个位数字8调到千位上，则这个数就增加117，求这个四位数【解析】设由原数中的千位数字、百位数字和十位数字组成的三位数为x，则这个四位数可以表示为，则调换后的新数可以表示为，根据题意可列方程，解得，所以这个四位数为8758【答案】8758【例4】 五一放假，小明的爸爸开车带着小明和妈妈去郊游，他们在公路上匀速行驶，下表是小明每隔1小时看到的路边里程碑上数的信息你能确定小明在7:0
6、0时看到的里程碑上的数是多少吗？时间里程碑上数的特征7:00是一个两位数，它的个位数字与十位数字之和是78:00十位数字和个位数字与7:00时所看到的正好颠倒了9:00比7:00时看到的两位数中间多一个0【解析】设小明在7:00时看到的两位数的十位数字是x，则个位数字是，根据题意可列方程：，解得，所以【答案】小明在7:00时看到的两位数是16模块二：日历问题（1）、在日历问题中，横行相邻两数相差1，竖列相邻两数相差7（2）、日历中一个竖列上相邻3个数的和的最小值时24，最大值时72，且这个和一定是3的倍数（3）、一年中，每月的天数是有规律的，一、三、五、七、八、十、十二这七个月每月都是31天，
7、四、六、九、十一这四个月每月都是30天，二月平年28天，闰年29天，所以，日历表中日期的取值是有范围的【例5】 下表是2011年12月的日历表，请解答问题：在表中用形如下图的平行四边形框框出4个数，（1）若框出的4个数的和为74，请你通过列方程的办法，求出它分别是哪4天？（2）框出的4个数的和可能是26吗？为什么？【解析】（1）设第一个数是x，则根据平行四边形框框出4个数得其他3天可分别表示为，根据题意可列方程：，解得；所以它分别是：15，16，21，22；（2）设第一个数为x，则，本月3号是周六，由平行四边形框框出4个数，得出结论：无法构成平行四边形【答案】（1）15，16，21，22；（2
8、）无法构成平行四边形【例6】 如图，框内的四个数字的和为28，请通过平移长方形框的方法，使框内的数字之和为68，这样的长方形的位置有几个？能否使框内的四个数字之和为49？若能，请找出这样的位置；若不能，请说明理由【解析】（1）设四个数字是a，根据题意可列方程：，解得则平移后的四个数是13、14、20、21（2）设四个数字是x，则，不合题意，舍去【答案】平移后的四个数是13、14、20、21，这样的长方形的位置只有1个；不存在能使四个数字的和为49的长方形【例7】 把2012个正整数1，2，3，4，2012按如图方式排列成一个表（1）用如图方式框住表中任意4个数，记左上角的一个数为x，则另三个数
9、用含x的式子表示出来，从小到大依次是_（2）由（1）中能否框住这样的4个数，它们的和会等于244吗？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由【解析】（1）记左上角的一个数为x，另三个数用含x的式子表示为：，（2）不能假设能够框住这样的4个数，则：，解得49是第七行最后一个数，不可以用如图方式框住【答案】（1），；（2）不能模块三：和差倍分问题和、差、倍问题关键要分清是几倍多几和几倍少几（1）当较大量是较小量的几倍多几时，；（2）当较大量是较小量的几倍少几时，【例8】 一部拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的；第二天耕了剩下部分的，还剩下42公顷没耕完，则这片地共有多少公顷？【解析】设这片地共有x公
10、顷，第一天耕了这片地的，则耕地公顷，第二天耕了剩下部分的，则第二天耕地（公顷），根据题意可列方程：，解得【答案】189【例9】 牧羊人赶着一群羊寻找一个草长得茂盛的地方，一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来，他对牧羊人说：“你赶的这群羊大概有100只吧!”牧羊人答道：“如果这群羊增加一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊一半的一半，连你这只羊也算进去，才刚好凑满100只”问牧羊人的这群羊共有多少只?【解析】设这群羊共有只，根据题意可列方程：，解得.【答案】36【例10】 有粗细不同的两支蜡烛，细蜡烛之长时粗蜡烛之长的倍，细蜡烛点完需小时，粗蜡烛点完需小时，有一次停电，将这样的两支未使用
11、过的蜡烛同时点燃，来电时，发现两支蜡烛所剩的长度一样，问停电的时间有多长？【解析】设停电时间为小时，粗蜡烛长米，则细蜡烛长米，那么细蜡烛每小时点燃米，粗蜡烛没小时点燃米，根据题意可列方程：，解得【答案】停电时间为小时【例11】 2006年我市在全国率先成为大面积实施“三免一补”的州市，据悉，2010年我市筹措农村义务教育经费与“三免一补”专项资金3.6亿元【由中央、省、市、县（区）四级共同投入，其中，中央投入的资金约2.98亿元，市级投入的资金分别是县（区）级、省级投入资金的1.5倍、18倍】，且2010年此项资金比2009年增加1.69亿元（1）2009年我市筹措农村义务教育经费与“三免一补
12、”专项资金多少亿元？（2）2010年省、市、县（区）各级投入的农村义务教育经费与“三免一补”专项资金各多少亿元？（3）如果按2009-2010年筹措此项资金的年平均增长率计算，预计2011年，我市大约需要筹措农村义务教育经费与“三免一补”专项资金多少亿元（结果保留一位小数）？【解析】（1）（亿元）（2）设市级投入x亿元，则县级投入亿元，省级投入亿元，由题意得：，解得所以（亿元），（亿元）（3）（亿元）【答案】（1）1.91亿元；（2）省、市、县分别投入0.02亿元、0.36亿元、0.24亿元；（3）6.8亿元模块四：行程问题一、 行程问题路程=速度时间相遇路程=速度和相遇时间追及路程=速度差追
13、及时间二、 流水行船问题顺流速度=静水速度+水流速度逆流速度=静水速度水流速度水流速度=（顺流速度逆流速度）三、 火车过桥问题火车过桥问题是一种特殊的行程问题，需要注意从车头至桥起，到车尾离桥止，火车所行距离等于桥长加上车长，列车过桥问题的基本数量关系为：车速过桥时间=车长+桥长【例12】 有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙背向而行甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米出发后，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇，求花圃的周长【解析】设甲、乙相遇时间为t分钟，则甲、丙相遇时间为分钟，根据题意，由相遇路程相等可列方程【答案】8892米【例13】 某
14、人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，则此人此时骑摩托车的速度应为多少？【解析】设此人从家里出发到火车开车的时间为小时，根据题意可列方程：，解得，此人打算在火车开车前10分钟到达，骑摩托车的速度应为（千米/时）【答案】27【例14】 甲、乙两车同时从A，B两地出发，相向而行，在A，B两地之间不断往返行驶甲车到达B地后，在B地停留了2个小时，然后返回A地；乙车到达A地后，马上返回B地；两车在返回的途中又相遇了，相遇的地点距离B地288千米已知甲车的速度是每小时6
15、0千米，乙车的速度是每小时40千米请问：A，B两地相距多少千米？【解析】设A、B两地相距x千米，根据题意可列方程：，解得【答案】420千米【例15】 某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后，再以每小时9千米的速度走平路到B地，共用了55分钟回来时，他以每小时8千米的速度通过平路后，再以每小时4千米的速度上坡，从B地到A地共用小时，问A、B两地相距多少千米？【解析】间接设未知数，设从A地到B地共用x小时，根据题意可列方程：，解得，所以A、B两地相距（千米）【答案】9千米【例16】 一人步行从甲地去乙地，第一天行若干千米，自第二天起，每一天都比前一天多走同样的路程，这样10天可以到达乙地
16、；如果每天都以第一天所行的相同路程步行，用15天才能到达乙地；如果每天都以第一种走法的最后一天所行的路程步行到乙地，需要几天？【解析】设a是第一次第一天走的路程，b是第二天起每天多走的路程，x是所求的天数则根据题意可列方程：，解得又，解得【答案】7.5天【例17】 一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行多少小时？【解析】设小船在静水中的速度为，原来的水速为，则，解得，故所求时间为（小时）.【答案】【例18】 一个人乘木筏在河面顺流而下，漂到一座桥下时此人想锻炼一下身体，便跳入水中逆水游泳，10分钟后转身追赶木筏
17、，终于在离桥1500米远的地方追上木筏，假设水流速度及此人游泳的速度都一直不变，那么水流速度为多少？【解析】因为向上游了分钟，所以返回追赶也要分钟（流水中的相遇时间与追及时间都与水流速度无关），即水流分钟的路程为米，水流速度为（千米时）【答案】水流速度为千米/时【例19】 一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时，一天，小船从早晨6点由A港出发顺流行至B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立即返回，1小时后找到救生圈问：（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港需多少小时？（2）救生圈是何时掉入水中的？【解析】（1）设小船在静水中的速度为，水流速度为，则，解得，故小船按水流速度
18、由A港漂流到B港所需时间为（小时）；（2）设小船行驶小时后，救生圈掉入水中，则，将代入上式，得到，故救生圈是上午11点掉入水中的【答案】；模块五：工程问题工作总量=工作时间工作效率各部分工作量之和=1【例20】 有甲、乙、丙三个水管，独开甲管5小时可以注满一池水；甲、乙两管齐开，2小时可注满一池水；甲、丙两管齐开，3小时注满一池水现把三管一齐开，过了一段时间后甲管因故障停开，停开后2小时水池注满问三管齐开了多少小时？【解析】由题意知，甲管注水效率为，甲、乙两管的注水效率之和为，甲、丙两管的注水效率之和为，设三管齐开了x小时，根据题意可列方程：，解得【答案】小时【例21】 检修一住宅区的自来水管
19、道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天前7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后2天由乙、丙两人合作完成，问乙中途离开了几天？【解析】设乙中途离开了x天，根据题意可列方程，解得【答案】乙中途离开了3天【例22】 某中学库存若干套桌凳，准备修理后支援贫困山区学校，现有甲、乙两木工组，甲每天修桌凳16套，乙每天修桌凳比甲多8套，甲单独修完这些桌凳比乙单独修完多用20天，学校每天付甲组80元修理费，付乙组120元修理费（1）问该中学库存多少套桌凳？（2）在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天10元生活补助费，现有三种修理方案：由甲单独修理；由乙单独
20、修理；甲、乙合作同时修理你认为哪种方案省时又省钱为什么？【解析】（1）设该中学库存x套桌凳，根据题意可列方程：，解得（2）方案所需费用：（元）；方案所需费用：（元）；方案所需费用：（元）综上，方案最省钱【答案】（1）960套；（2）方案最省钱模块六：商品销售问题在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、标价、售价、打折等概念，在了解这些基本概念的基础上，还必须掌握以下几个等量关系：利润=售价进价利润=进价利润率实际售价=标价打折率【例23】 某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了，使得利润增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率.【解析】设经销这种商品原来的利润率为，原
21、进价为，根据题意可列方程：，解得【答案】【例24】 某商品月末的进货价为比月初的进货价降了8%，而销售价不变，这样，利润率月末比月初高10%，问月初的利润率是多少？【解析】设月初进货价为a元，月初利润率为x，则月初的销售价为元，月末进货价为元，销售价为元，根据月初销售价与月末销售价相等可列方程：，解得【答案】【例25】 某公司生产一种饮料是由A，B两种原料液按一定比例配制而成，其中A原料液的成本价为15元/千克，B原料液的成本价为10元/千克，按现行价格销售每千克获得70%的利润率由于市场竞争，物价上涨，A原料液上涨20%，B原料液上涨10%，配制后的总成本增加了12%，公司为了拓展市场，打算
22、再投入现总成本的25%做广告宣传，如果要保证每千克利润不变，则此时这种饮料的利润率是多少？【解析】原料液A的成本价为15元/千克，原料液B的成本价为10元/千克，涨价后，原A价格上涨20%，变为18元；B上涨10%，变为11元，总成本上涨12%，设每100千克成品中，二原料比例A占x千克，B占（100-x）千克，则涨价前每100千克成本为，涨价后每100千克成本为，根据题意可列方程：，解得，所以即二者的比例是：，则涨价前每千克的成本为（元），销售价为元，利润为7.5元原料涨价后，每千克成本变为12元，成本的25%为3元，保证利润为7.5元，则利润率为：【答案】50%模块七：方案决策问题在实际生
23、活中，做一件事情往往会有多种选择，这就需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用，到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，把每一种方案的结果先算出来，进行比较后得出最佳方案【例26】 某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用（1）请问：投资者选择哪种购铺方
24、案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？（注：）（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元问：甲、乙两人各投资了多少万元？【解析】（1）设商铺标价为x万元，则按方案一购买，则获投资收益，投资收益率为按方案二购买，则获投资收益，投资收益率为所以投资者选择方案二获得的投资收益率高（2）由题意得，解得，所以甲投资了62.5万元，乙投资了53.125万元【答案】略【例27】 有一个只允许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人一天王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能有3人通过道口，此时，自己前面还有36个人等待通过，通过道口后，
25、还需7分钟到达学校（1）若绕道而行，要15分钟到达学校。从节省时间考虑，王老师应选择绕道去学校还是选择通过拥挤的道口去学校？（2）若在王老师等人的维持下，几分钟后秩序恢复正常（每分钟仍有3人通过道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少？【解析】（1）王老师通过道口去学校，需要，故从节省时间角度考虑，他应选择绕道去学校；（2）设维持秩序时间为x分，则维持秩序这段时间内过道口的有3x人，维持好秩序后过道口的有人，根据题意可列方程：，解得【答案】（1）从节省时间角度考虑，王老师应选择绕道去学校；（2）维持秩序的时间是3分钟【例28】 老师带着两名学生到离学校千米远
26、的博物馆参观老师乘一辆摩托车，速度为千米小时这辆摩托车后座可带乘一名学生，带人后速度为千米小时学生步行的速度为千米小时请你设计一种方案，使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过小时【解析】设学生为甲、乙二人乙先步行，老师带甲乘摩托车行驶一定路程后，让甲步行，老师返回接乙，然后老师搭乘乙，与步行的甲同时到达博物馆设老师带甲乘摩托车行驶了千米，则用时小时，比乙多行了这时老师让甲步行前进，而自己返回接乙，遇到乙时，用了乙遇到老师时，已经步行了，离博物馆还有要使师生三人能同时到达博物馆，甲、乙二人搭乘摩托车的路程应相同，则有，解得即甲先乘摩托车24千米，用时1.2小时，再步行9千米，用时1.8小时
27、，共计3小时因此，上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3个小时【答案】略模块八：配套问题“配套”型应用题中有三组数据：（1）车间工人的人数；（2）每人每天平均能生产的不同的零件数；（3）不同零件的配套比（利用（1）（3）得到等量关系，构造方程）一般地说，（2）、（3）两个数据可以预先给定例如，在给出（2）、（3）两组数据的基础上，如何确定车间工人人数，使问题有整数解【例29】 某车间有28名工人，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓12个或螺母18个，一个螺栓要配两个螺母第一天安排14名工人生产螺栓，14名工人生产螺母，问第二天应分配多少人生产螺栓、多少人生产螺母，才能
28、使两天总的生产效率最高？【解析】设第二天应分配x人生产螺栓，人生产螺母，根据题意可列方程：，解得【答案】10人生产螺栓，18人生产螺母【例30】 某车间有62个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件23个已知每3个甲种零件和2个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？【解析】设生产甲种零件的有x人，则生产乙种零件的有人，根据题意可列方程：，解得【答案】应分配46人生产甲种零件，16人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套模块九：积分问题比赛场数=胜的场数+平的场数+负的场数，比赛分数=胜场得分
29、+平场得分负场扣分【例31】 足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分一支足球队在某个赛季中共需比赛14场，现已比赛了8场，输了一场，得17分（1）前8场比赛中，这支球队共胜了多少场？（2）这支球队打满14场比赛，最高能得多少分？（3）通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比赛，得分不低于29分，就可以达到预期目标请你分析一下，在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标【解析】（1）设前8场比赛中，这个球队胜x场，则平场，；（2）（分）；（3）由题意知：以后的6场比赛中，只要得分不低于12分即可胜不少于4场，一定能达到目标而胜3场，平3场正好达到预期目标在以后的比赛中这个队至少要胜3场【答案】略【例32】 八年级三班同学参加学校趣味数学竞赛，试题共有50道评分标准是：答对一道给3分，不答给1分，答错倒扣1分班长小明在计算全班总分时，第一次计算结果是5734分；第二次计算结果是5735分这两次中有一次是正确的，那么正确的结果是多少分？【解析】假设一名同学答对x题，不答y题，答错就是题，则得分为：，这个肯定是偶数，再乘上人数，随便是几个人，总分一定是偶数【答案】5734
