1、1 球与柱体规则的柱体,如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱柱的棱产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1.1 球与正方体 发现,解决正方体与球的组合问题,常用工具是截面图,即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面,通过两个截面图的位置关系,确定好正方体的棱与球的半径的关系,进而将空间问题转化为平面问题例 1 棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的8个顶点都在球O 的表面上,E F ,分别是棱1AA ,1DD 的中点,则直线EF 被球O 截得的线段长为( A .2 B .1 C .12+ D 1.2 球与长方
2、体长方体各顶点可在一个球面上,故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时,截面图为长方体的对角面和其外接圆,和正 方体的外接球的道理是一样的,故球的半径22l R = 例 2 在长、宽、高分别为2,2,4的长方体内有一个半径为1的球,任意摆动此长方体,则球经过的空间部分的体积为( A.103 B.4 C.83 D.73 1.3 球与正棱柱 例 3 正四棱柱1111ABCD A BC D 的各顶点都在半径为R 的球面上,则正四棱柱的侧面积有最 值,为 . 2 球与锥体规则的锥体,如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行
3、充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1 球与正四面体 22223 a R r R r CE +=-=,=,解得:,.R r =这个解法是通过利用两心合一的思路,建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现,球心O 为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系,可为解题带来极大的方便.例4 将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为 ( D. 球的外切正四面体,这个小球球心与外切正四面体的中心重合,而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的3倍.2.2
4、 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题,主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形 例 5 在正三棱锥S ABC -中,M N 、分别是棱SC BC 、的中点,且AM MN ,若侧棱SA =,则正 2.3 球与正棱锥球与正棱锥的组合,常见的有两类,一是球为三棱锥的外接球,此时三棱锥的各个顶点在球面上,根据截面图的特点,可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球,例如正三棱锥的内切球,球与正三棱锥四个面相切,球心到四个面的距离相等,都为球半径R .这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离,故可采用等体积法解决,即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体
5、积. 例6 在三棱锥P -ABC 中,PA =侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60,则该三棱锥外接球的体积为( A . B.3 C. 4 D.43 接球的球心,则2SC R =. 例7 矩形ABCD 中,4,3,AB BC =沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D -,则四面体ABCD 的外接球的体积是( A.12125 B.9125 C.6125 D.3125 3 球与球对个多个小球结合在一起,组合成复杂的几何体问题,要求有丰富的空间想象能力,解决本类问题需掌握恰当的处理手段,如准确确定各个小球的球心的位置关系,或者巧借截面图等方法,将空间问题转化外接球内切球问题 平面问题求
6、解. 4 球与几何体的各条棱相切 球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位 置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一 半： r = 2 a. 4 例 8 把一个皮球放入如图 10 所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四 6 外接球内切球问题 综合上面的四种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通 过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多 面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题解决这类问题的关键是抓住内接的特点
7、，即球心到多 面体的顶点的距离等于球的半径发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解如 果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确. 1. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该 正三棱锥的体积是（ ） A 3 3 4 B 3 3 C 3 4 D 3 答案 12 B BAC = 120 ，则此球的 2. 直三棱柱 ABC - A1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若 AB = AC = AA 1 = 2, 表面积等于 。 解:在 DABC 中 AB = AC = 2 , BAC = 12
8、0 ,可得 BC = 2 3 ,由正弦定理, 可得 DABC 外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O ，球心为 O ，在 RT DOBO 中，易得球半径 R = 5 ， 故此球的表为 4p R = 20p . 2 3 正三棱柱 ABC - A1B1C1 内接于半径为 2 的球，若 A, B 两点的球面距离为 p ，则正三棱柱的体积 为 答案 8 4.表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 A 2 p 3 B p 1 3 C 2 p 3 7 D 2 2 p 答案 A 3 外接球内切球问题 【解析】此正八面体是每个面的边长均为 a 的正三角形，所以由 8 3a 2 =
9、 2 3 知， 4 a = 1 ，则此球的直径为 2 ，故选 A。 32 p ，那么正方体的棱长等于（ 5.已知正方体外接球的体积是 3 A.2 2 B. ） 2 3 3 C. 4 2 3 C. 13 3 D. 4 3 答案 D 3 6.正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( A. 1 3 B. 13 D. 19 答案 C 7.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱 的体积为 9 ，底面周长为 3，则这个球的体积为 8 答案 4p 3 8.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面 积为 答
10、案 14 9.（一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上。如果正四棱柱的底面边长为 1 cm，那么该棱 柱的表面积为 cm2.答案 2+ 4 2 10.如图，半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 P - ABCDEF ，则此正六棱锥的侧面积是_ P 答案 6 7 11. 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中 三角形(正四面体的截面的面积是 . 答案 B A F C D E 2 （ ） 12.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 A 3p B 2p C 16p 3 D以上都不对 ） 答案 C 2 3 13.设正方体的棱长为 ，则它的外接球的表面积为（ 3 A p 4 3 1 已知三棱锥 S - ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上, DABC 是边长为 1 的正三角形, SC 为球 O 的直径, 且 SC = 2 ;则此棱锥的体积为 （ ） B2 C4 D p 答案 C A 8 3 2 6 B 3 6 C 2 3 D 2 2 25 已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长为 2 3 正方形.若 PA=2 6 , 则OAB 的面积为_. 8
