1、第一章 计算专题考点分析1. 数学基本功（四则混合运算） 加减法巧算：凑整法、见“9”写“101”(看整法)、基准数、配对思想例如：725+45+655+226 2014-563-484-516-437 651-385+149 643+（257186） 9+99+999+9999 67+66+74+72+68+70+69+75+71 乘除法巧算：凑整法(425、8125)、看整法、乘法分配律、提取公因数、等值变形 例如：2532128 43999 100365 4677525467 2929228888 1（23）（34）（45）（20102011）（20112012） （1234567891
2、011）（27252422）注意：提取公因式时，如果前后没有公因数时要观察前后的数字有没有倍数关系，然后把有倍数关系的数分裂成ab的形式，再提取公因式，这种方法叫做整数的裂项。2. 初中基本功（解方程）用字母表示数：方程的同解原理：1.有括号先去括号； 2.移项要变号； 3.合并同类项。列方程解应用题：设，列，解，答 (验算）几个重点：1.多元一次方程（两种消元方法） 2.分数系方程（乘以最小公倍数去分母） 3.特殊情况方程（轮换式方程组）无处不在的方程：直接运用、解应用题、几何问题、行程问题、数论问题必须要熟练掌握的方程（组）：一元一次方程、二元一次方程组、三元一次方程组特殊解方程技巧：设而
3、不求打包思想 直接假设间接假设例： 3x125x16 10(x2)4(2x7) 204x6x10 7x612x4 12(x2)5x4 2x5025(2x) 726x847x 1686x4(30x) 562(24x)3x列方程解应用题：1. 小明的存钱罐里有5角和1元的硬币共25枚，总钱数为19元。请问：5角硬币有_ _枚。2. 张老师给幼儿园两个班的孩子分水果。大班每人分得2个苹果和5个桔子，小班每人分得2个苹果和3个桔子，张老师一共分出了80个苹果和158个桔子。请问：小班有_ _个孩子。3. 分数的计算（裂项、换元、通项归纳） 分数四则运算：加减法、乘除法的运算例： 1整体约分：被除数、除
4、数中的分母对应相等：要么带化假、要么假化带，考虑提取公因数后整体约分；2连锁约分：多分数连乘，将分子、分母都化成乘积形式，伺机约分。 分数的计算技巧：裂项（裂差、裂和）、换元、通项归纳例： 【策略】1. 反常的背后必有阴谋：找规律 2. 套用常用公式：裂项、平方和、立方和、平方差 3. 用简单字母代替：换元法 4. 很多题目不是做不出来，而是看不出来：整体观察 5. 熟记一些骨灰级常考题型注意：分数裂项：把分数拆成分母中两个因数的差，裂和是把分数拆成分母中两个因数的和。 分数换元：当题目中出现大量相同或相似的数时，考虑换元，好写也好算。 通项归纳：计算规律的终极方法。4. 计算技巧（重要公式、
5、常用结论） 两个重要数列： 求末项：首项(项数-1)公差 等差数列 求项数：(末项-首项)公差1 求和：(首项末项)项数2 （中间项项数） 高斯配对思想 衍生公式：（1）135(2n+1)n2 （理解：从1开始的连续奇数求和个数的平方） （2）2462nn(n+1) （理解：从2开始的连续偶数求和个数比个数大1） （3）12n21n2（理解：自然数上坡下坡数列求和山顶的平方） 例： 借来还去法 等比数列求和 乘公比错位相减法 公式法 例： 四个重要的公式：（1）平方和公式：1222324252n2 n(n+1)(2n+1)（2）立方和公式：13233343n3(1234n)2 n2(n+1)2
6、（3）平方差公式： a2b2(ab)(ab) （理解：两数的平方差两数和两数差） （4）完全平方公式：(ab)2a2b22ab （理解：首平方尾平方，2倍乘积看中央） 例： 循环小数与分数的互化：（1）纯循环小数： 0.1()47() （2）混循环小数： 0.14()7() 理解：分母：9的个数循环节位数 0的个数不循环小数位数 分子：从小数点后开始，到第一个循环节结束减去不循环部分 【策略】分数小数灵活转化：怎么容易怎么来，一般加减法用小数，乘除法用分数。 重复数分拆：abcabcabcabc1001001（理解：1的个数看重复了几次；0的个数比循环节少1） 常用数的拆分：100171113
7、 111337 123456799111111111 111121234321 0.1()42857() 0.2()85714() 0.4()28571() 5. 定义新运算、比较与估算：定义新运算：照猫画虎，or看透本质找规律。难点就是寻找两数之间的运算规律。例：我们规定：nn(n1)，比如：112，223，334。请问：要使等式成立，那么方框内应填入多少？计算：123100。比较与估算：化小数，通分法，比倒数，设标准，糖水法，放缩法等等。例：已知，比较A和B的大小，并计算出它们的差。计算是数学基本功，基本功一定要扎实，各重点中学都很看重，为必考考点。计算常考题型有两种：区重点：分数小数四则
8、混合运算乘法分配律逆用。市重点：抵消思想裂项，整体约分与连锁约分等。第二章 计数专题考点分析1. 枚举归纳（分类枚举、数形枚举） 一般用于计数比较少的（10个以内）情况，但是列举要有顺序，不能想一个列一个，容易遗漏。例：用两个1，一个2，一个3可以组成多少个不同的四位数？2. 加乘原理（分类相加、分步相乘） 加法原理与递推法：加法分类，类类独立。区分方法：或者，或者例：一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？ 乘法原理与优先排序法、排除法：乘法分步，步步相关。区分方法：先再例：用09这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数？3. 排列组合（有序排列、无序
9、组合） 排列：排列的表示方法及基础解题题型。 捆绑法：用于解决“必须排在一起”的问题，先捆相邻，再排整体。 例：动物园有5只金丝猴和3只大象，每只都要单独表演一个节目，问：如果3只大象的节目要排在一起，有多少种不同的排法？ 插空法：用于解决“必须分隔开”、“不能相邻”的问题，先排别人，然后插空 例：动物园有5只金丝猴和3只大象，每只都要单独表演一个节目，问：如果每两个大象节目间至少安排一个金丝猴节目有多少种不同的排法？ 定序法：用于队列中有人位置固定的问题，先排列所有人，再把固定位置的人的顺序除去 例：有8个豆苗宝宝排队合影，甲站在乙的左边，且乙站在丙的左边的不同排法有多少种？ 排除法：用于从
10、正在考虑过于复杂的问题，先排列所有的可能性，再把不可能的情况减掉 例：还是这8个豆苗宝宝排队合影，甲不站在左端，乙不站在右端的不同排法有多少种？ 组合：组合的表示方法、组合的特殊公式及基础解题题型 插板法：专门解决无差异的物体放在不同位置的问题 例：将7个篮球分给3个同学，若每个同学至少得到1个篮球，有多少种分法？ 将7个篮球分给3个同学，若允许有的同学得不到篮球，有多少种分法？ 将13个篮球分给3个同学，若每个同学至少得3个篮球，有多少种不同的分法?注意：组合的插板法只能适用于“每人至少分一个的情况”，如果是分多或者不分，则要转化条件成每人分一个的情况才可以。4. 容斥原理（韦恩图及意义）
11、容斥原理 运算原理：不考虑重叠，先计算结果，之后减去重叠部分的计数方式。 韦恩图： 运用代数思想，标注条件 对号入座例：某科室有12人，其中6人会英语，5人会俄语，5人会日语，3人既会英语又会俄语，2人既会俄语又会日语，2人既会英语又会日语，1人三种语言全会。只会1种外语的人比1种外语也不会的人多 个。 几何题目中的应用： 找到中间悬空图形是由谁跟谁交叉得到的 依据中的成果列容斥算式例：在长方形ABCD中，AD15cm，AB8cm，四边形OEFG的面积是9cm2， 求阴影总面积。5. 概率与统计（古典概型、概率可乘性） 概率的两个重要知识点： 古典概型：A的概率A发生的情况数情况总数 概率可乘
12、性：相互独立事件同时发生的概率各个事件概率的乘积例：学校门口经常有小贩搞摸奖活动。某小贩在一只口袋里装有颜色不同的50只小球，其中红球1只，黄球2个，绿球10个，其余为白球。搅拌均匀后，每2元摸一个球，奖品的情况标准在球上（红8元，黄5元，绿1元，白0元）。如果花4元钱，同时摸2个球，那么获10元奖品的概率是多少？6. 计数方法综合（标数法、递推法、对应法、整体法） 标数法：用于最短路线问题。例：如图，要从A去B，C不能通过，最短线路有_条。 递推法：枚举，找数列规律，从最简单的情况下思考递变规律例：在平面上画8个圆，最多可以把平面分成_部分。 对应法：通过一一对应关系，把复杂计数转化为简单计
13、数的方法；结合抵消思想解决差值问题。例：从1985到4891的整数中，十位数字与个位数字相同的数共有多少个？ 整体法：找到共同特征，看成一个整体，同样的道理，把复杂的情况简单化。计数比较抽象，考查条理性(分类、分步)，对小学生来说杀伤力比较强！分类思想，枚举观察的解题思路为考查重点。一道题如果仅仅是因为数大而显得难，不用考虑，赶紧找规律，利用分类瓦解难题，利用特例或简单题目找解题方法。 第三章 数论专题考点分析1. 整除问题（整除问题、整除特性、整除技巧） 整除的四大系列： 2系列：能被2整除的只需看末一位能否被2整除 能被4整除的只需看末两位能否被4整除能被8整除的只需看末三位能否被8整除
14、（依此类推） 3系列：能被3整除的只需看各位数字之和能否被3整除 能被9整除的只需看各位数字之和能否被9整除 （不能依此类推） 能被99整除的从右开始，两位数为一段，各段数之和是99的倍数。 5系列：能被5整除的只需看末位是否为0或5 能被25整除的只需看末两位能否被25整除 能被125整除的只需看末三位能否被125整除 （依此类推） 7、11、13系列：从右开始，三位数为一段，奇数段之和与偶数段之和的差如果是7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数。 另外：被11整数还有：从右开始，奇数位之和与偶数位之和的差是11的倍数，则其也能被11整除。 合数的整除特征：判断一个数能否被某个合数
15、整除，一般的方法先分解质因数，观察因数之间的关系。 整除性质： 如果自然数a为M的倍数，则ka为M的倍数。(k为正整数) 如果自然数a、b均为M的倍数，则ab，ab均为M的倍数。如果a为M的倍数，p为M的约数，则a为p的倍数。如果a为M的倍数，且a为N的倍数，则a为M，N的倍数。整除技巧： 除数分拆：(互质分拆，要有特征) 除数合并：(结合试除，或有特征) 试除技巧：(末尾未知，除数较大) 同余划删：(从前往后，剩的纯粹) 断位技巧：(两不得罪，最小公倍) 例1：有一个两位数不能被3、6、9整除，加上8后就能被3、6、9整除了，请问这个两位数最大是多少？例2：书法兴趣小组的72名同学每人都买了
16、一本相同的字帖，共计85.元，你能算出每本字帖多少钱么？例3：用1、2、3、4(每个数恰用一次)组成的四位数中，其中共有多少个能被11整除？2. 约数倍数（约数三定律、完全平方数、短除模型） 约数三定律：约数个数定律：(指数1)再连乘约数和定律：(每个质因子不同次幂相加)再连乘约数积定律：自身的n次方(n约数个数2) 例1：恰有8个约数的两位数有_个。 例2：360的所有约数的和为多少？所有约数的积为多少？短除模型 例1：已知两个自然数的和为54，其最小公倍与最大公约差为14，求这两个数。若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶
17、数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积。例2：3个连续的自然数的最小公倍数是9828,那么这3个自然数的和等于多少?完全平方数： 特征 例1：一天，小明在做一道题，声称答案是完全平方数，只见这道题是这样：A112123123100，老师一眼就瞅出了小明说错了，你发现了吗？例2：记S(123n)(4k3)，这里n3，当k在1至100间取正整数时，有_个不同的k，使得S为一个正整数的平方？ 奇数个约数完全平方数偶指性 例3：已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值为_。 例4：礼堂里有100盏灯，依次按1100的顺序排号。每盏灯由一根灯绳控制，拉一个亮，再拉一下灭。100个学
18、生依次进入礼堂，第1名学生把编号为1的倍数的灯都拉一下，第2名学生把编号为2的倍数的灯都拉一下第100名学生把编号为100的倍数的灯都拉一下；最后礼堂里有_盏灯是亮的？ 完全平方数在数论中的应用： 两个因数均为完全平方数的话，积一定为完全平方数 两个因数均非完全平方数的话，积是否为完全平方数不确定例5：能否找到这么一个数，它加上24和减去30所得到的两个数都是完全平方数？3. 质数合数（质数明星、分解质因数）质数明星： 2奇偶性；5个位 例：当P和P25都是质数时，P55_。分解质因数：1质数：快速判断2唯一分解定律3见积就拆大质因子分析 例1：6个奇数的和为98，积为4267305。这6个奇
19、数中最大数与最小数的和为_。 例2：2001个连续自然数和为abcd，若a、b、c、d均为质数，则abcd的最小值为_。 【策略】1. 题目中提到质数，但不考分解质因数的话，考虑质数明星2和5； 2. 分解质因数衍生考点：约数倍数分析法、乘积末尾0的个数问题，见积就拆技巧。4. 余数问题（余数求解、带余除法、同余问题、剩余问题） 余数定律： 1利用整除性质求余数2利用余数性质求余数3利用除数分拆求余数带余除式： 代数思想，化简题目数论方程去余化乘，借助约倍关系逐步验证例：已知2008被一些自然数去除，余数都是10。这样的自然数共有_个。同余问题： 1同余定理：如果a与b除以m余数相同，则a、b
20、之差为m的倍数。2去余化乘，找倍试约。 例：一个自然数除429、791、500所得余数分别是a5、2a、a。求这个自然数与a的值。剩余问题：例1：17103除以9余_。例2：利用余数性质求余数：20092009除以9余_。例3：利用除数分拆求余数：45余_。数论一直是升初和杯赛考查最多的专题，保守估计，平均每套试卷25%分值考查数论。小升初数论考查三重点：约数个数定律逆用，完全平方数，短除模型。“代数思想枚举验证”数论杀伤力最强的武器。第四章 行程专题考点分析相遇问题 追及问题 环形问题 火车过桥 流水行船 变速问题 多次相遇 多节点行程多人行程 间隔发车 变道问题 扶梯问题 走走停停 钟表行
21、程 接送问题 1. 行程问题：1行程问题三要素：路程，速度，时间。2基本公式：路程速度时间 路程时间速度 速度时间路程2. 相遇问题：1新三要素：路程和，速度和，相遇时间。2新基本公式：路程和速度和相遇时间 路程和相遇时间速度和速度和相遇时间路程和3. 注意：相遇问题中的隐藏的路程差，如同追及问题。3. 追及问题：1新三要素：路程差，速度差，追及时间。2新基本公式：路程差速度差追及时间 路程差追及时间速度差速度差追及时间路程差3注意：特点，两人的时间相同；难点，是找到两人的路程差。 例1：夏夏和冬冬同时从两地相向而行，夏夏每分钟行50米，冬冬每分钟行60米，两人在距两地中点50米处相遇，求两地
22、的距离是 米。 例2：有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走60米。现在甲从A地，乙、丙两人从B地同时出发相向而行。在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇。那么，A、B两地之间的距离是 米。 例3：甲乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离是 米。4. 环形问题两个重要考点： 同向而行：多走一圈，追上一次 相向而行：合走一圈，相遇一次 例1：在300米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少
23、？ 例2：佳佳和海海在操场上比赛跑步，海海每分钟跑26米，佳佳每分钟跑21米，一圈跑道长50米，他们同时从起跑点出发，那么海海第四次超过佳佳需要 分钟。 例3：在400米的环形跑道上，佳佳、海海两人分别从A、B两地同时出发，同向而行。4分钟后，海海第一次追上佳佳，又经过10分钟海海第二次追上佳佳。已知海海的速度是每分钟180米，那么佳佳的速度是 ，A、B两地相距 米。5. 多次往返问题：不同出发点的往返相遇：第一次相遇合走1个全长，以后每次相遇合走2个全长 不同出发点的往返追及：第一次追及多走1个全长，以后每次追及多走2个全长相同出发点的往返相遇：每次相遇，合走2个全长相同出发点的往返追及：每
24、次追及，多走2个全长 例1：甲、乙两车分别从相距60千米的A、B两地同时出发，在A、B之间不断往返甲车的速度是每小时25千米，乙车的速度是每小时35千米请问：出发 小时后两车第5次迎面相遇。 例2：甲、乙两车从相距70千米的A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行走，甲车每小时行40千米，乙车每小时行30千米，出发 小时后甲第5次追上乙。 例3：甲、乙两车同时从A地出发，在相距70千米的A、B两地之间不断往返，甲车每小时行60千米，乙车每小时行80千米，出发 小时后两车第5次迎面相遇。 例4：甲、乙两车同时从A地出发，在相距50千米的A、B两地之间不断往返，甲的速度比乙快，第4次甲追上乙时，甲
25、比乙多走了 千米。6. 流水行船三个重要考点： 四个速度间的关系： 两船相向而行：水速不影响速度和；同向而行：水速不影响速度差 船上落物，船继续前行时间船掉头找回时间，与水速无关 进阶方法：流水行船往返相遇问题，用分段法分析法（某船一旦变速立即分段讨论） 题目中假缺条件，例如只给了某一个条件，可以用设数法。 例1：A、B两个码头间的水路为90千米，其中A码头在上游，B码头在下游。第一天水速为每小时3千米，甲、乙两船分别从A、B两码头同时起航同向而行，3小时后乙船追上甲船。已知甲船的静水速为每小时18千米。乙船的静水速度是 。第二天由于涨水，水速变为每小时5千米。甲、乙两船分别从A、B两码头同时
26、起航相向而行，出发 小时后相遇。 例2：一条小河上，A、B两地相距140千米，甲、乙两船分别从A、B两地同时出发，相向而行。若甲、乙两船的静水速度分别为每小时40和30千米，则出发后 小时相遇。 例3：一条小河上，A在B上游120千米处，甲、乙两船同时从B出发逆流而上开往A。若甲、乙两船的静水速度分别为每小时70和50千米，水速为每小时10千米，则当甲到达A时，乙距离A多少千米？ 例4：轮船从A城到B城需行3天，而从B城到A城需行4天。若从A城放一个无动力的木筏，它顺水漂到B城需 天。 例5：某人畅游长江，逆流而上，在A处丢失一只水壶，他向前又游了20分钟后，才发现丢失了水壶，立即返回追寻，在
27、离A处2千米的地方追到，则他返回寻水壶用了 分钟。7. 火车过桥问题：过桥路程车长桥长 过桥时间过桥路程车速（车长桥长）车速错车问题：错车路程两车的车长和 错车时间错车路程两车速度和 （相遇问题）超车问题：超车路程两车的车长和 超车时间超车路程两车速度差 （追及问题） 例1：一列火车通过440米的桥需要40秒，以同样的速度穿过310米的隧道需要30秒。这列火车的速度和车身长各是多少？ 例2：小李在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是1.5米/秒，这时迎面开来一列火车，从车头到车尾经过他身旁共用了20秒，已知火车全长390米，那么火车的速度是 。 例3：甲、乙两人分别从A、B两个城市出
28、发相向而行，已知甲每秒行5米，乙每秒行10米，一列长400米的列车从B开往A，列车从乙身旁经过用40秒钟，这列火车从甲身旁经过需要 秒。8. 走走停停问题：花在跑步的总时间与停留时间无关，然后按照停留时间的规律插入到跑步时间里即可。 例1：龟兔赛跑，全程1000米兔子每分钟跑50米，乌龟每分钟爬5米乌龟不停地爬，但兔子却边跑边玩（玩的时候不前进也不后退），兔子每跑了1分钟然后玩20分钟那么，先到达终点的比后到达终点的快 分钟。 例2：龟兔赛跑，全程1000米兔子每分钟跑50米，乌龟每分钟爬5米乌龟不停地爬，但兔子却边跑边玩（玩的时候不前进也不后退），兔子先跑了1分钟然后玩20分钟，又跑2分钟然
29、后玩20分钟，再跑3分钟然后玩20分钟那么，先到达终点的比后到达终点的快 分钟。9. 猎狗追兔问题：分两步，求比例，设速度。 例1：猎狗前面26步远有一只野兔，猎狗追之。兔跑8步的时间狗跑5步，兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离。问：兔跑多少步后被猎狗抓获？此时猎狗跑了 步。10. 间隔发车问题：基本公式：车距车速发车间隔时间 车距车速和相遇间隔时间 车距车速差追及间隔时间学会使用“设数法”“列方程求解”“比例法”等基本技巧。 例1：某人沿3000米电车线路行走，每15分钟有一辆电车从后面追上，每10分钟有一辆电车迎面开来。假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔。 例2：某人沿电车线路
30、行走，每15分钟有一辆电车从后面追上，每10分钟有一辆电车迎面开来。假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔。 例3：电车总站每隔一定时间发一辆车，甲、乙两人同向行走。甲每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每隔12分钟遇上一辆迎面开来的电车甲的速度是乙的2倍，电车总站的发车间隔是多少分钟？11. 扶梯问题： 理解掌握人在自动扶梯上行走时顺（逆）行速度的概念（类似流水行船），以及人所走的台阶数、扶梯移动的台阶数与扶梯可见部分的台阶数这三者的关系。 能够解决速度和扶梯可见部分台阶数已知的扶梯问题。难点：1.能够利用行程问题中的比例关系，解决扶梯可见部分台阶数未知的扶梯问题 复合比公式：路
31、程比速度比时间比，想办法将人之间的关系转化成扶梯之间的关系2.注意以下等量关系：a）行走的路程（台阶数）行走速度所用时间；b）扶梯移动的路程（台阶数）扶梯速度所用时间；c）顺着扶梯走：扶梯可见部分的台阶数=行走的路程（台阶数）+扶梯移动的路程（台阶数）；逆着扶梯走：扶梯可见部分的台阶数=行走的路程（台阶数）-扶梯移动的路程（台阶数） 例1：自动扶梯从下向上匀速运行，每秒上升1级台阶乐乐从扶梯的下端往上走，每秒走4级台阶已知自动扶梯的可见部分共有150级台阶，请问乐乐走完扶梯共走了多少级台阶？ 例2：商场的自动扶梯从下向上匀速运行，为了知道扶梯可见部分的台阶数，早早先从扶梯下端往上走，走到上端时
32、发现一共走了60级台阶；接着早早又以相同的速度从扶梯上端往下走，走到下端时发现一共走了120级台阶那么自动扶梯的可见部分有多少级台阶？ 例3：一部自动扶梯从下向上匀速运行，早早从扶梯的上端出发往下走，到达下端时共走了90级台阶；萌萌从下端往上走，到达上端时共走了50级台阶如果早早在扶梯上的行走速度是萌萌的3倍，那么这部扶梯的可见部分有多少级台阶？12. 接送问题：1. 能够解决“车速不变，人速相同”的单车双人的往返接送问题； 2. 能够解决“车速不变，人速不同”的单车双人的往返接送问题。三种题型 画图（主要画车的路程图，注意图形的对称性） 比例法解题，主要借助：时间相同的情况下，人车速度比人车
33、路程比 提前接送问题，重点关注汽车少走的2段路程上，弄清车与人在这段路程上的时间关系 例1：某学校的80名同学去距学校27千米的航空博物馆参观不过学校只有一辆接送车，车上最多只能载40人（除了司机）已知车速是45千米/时，同学们步行速度是3千米/时那么他们最少需要多少分钟才能到达博物馆？ 例2：甲、乙两班学生同时从学校出发前往天安门广场参加国庆活动，甲乙两班学生的步行速度都是每小时3千米，学校有一辆汽车，它的速度是每小时50千米(空载和满载时的速度是一样的)，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。为了使两班学生在最短时间内到达天安门广场，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是多少？甲需要步行全程的
34、几分之几？ 例3：某科研单位每天派汽车早8点准时到工程师家接他去上班但今天早晨，工程师临时决定提前到单位，于是他没有等汽车来接，就自己步行去单位步行途中遇到了前来接他的汽车，他马上上车回到单位，上车时是7点55分，问：工程师比平时提前多少分钟到单位？13. 中途变速行程：l 基础题型：1. 熟悉“速度相同的两段路程，路程与时间差成正比”； 2. 掌握“提速”后走过的路程与“提前”的时间成正比。总结：将变速后的过程与原速过程进行比较，得到时间差，如果题目给出时间差的倍数关系，就可以求出路程的倍数关系，反之题目给出路程的倍数关系，也可以求出时间差的倍数关系 例1：小明准时从家出发，以100米/分的
35、速度步行上学，恰好能准时到学校某天，当他走了1000米，发现手表慢了5分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课后来算了一下，如果小明从家开始就跑步，可以比从家出发就一直步行早10分钟到学校那么小明跑步的速度是多少米/分？l 进阶题型：通过正反比和时间差，求解中途变速的行程问题。总结：画图时用不同的线表示不同的速度，画出2段平时的路程便于比较，其次把能标上的数量都标上，然后再按照去相同比不同的方法进行比较，最后注意抓住平时的过程，利用它就能很好的联系两次变速过程的比较从而解决问题。 例2：小明从家骑车去上学如果开始行驶10分钟后，将速度提高三分之一，就比平时提前5分钟到学校；如果开始行驶120
36、0米后，再将速度提高二分之一，就比平时提前8分钟到学校；请问家到学校之间的路程是多少米？l 相遇点不变：按照“先不变，后变化”的步骤分析，学会抓住“路程相等，速度与时间成反比”解题。 例3：甲、乙两名骑车人分别从A、B两地同时出发相向而行，4小时后在途中相遇；若甲每小时少骑4千米/时，乙晚一小时出发，则两人仍在同一地点相遇已知AB两地间的距离是180千米，那么乙的骑行速度是_千米/时。行程问题关键在于一个公式：路程时间速度。虽然题目种类各有不同。但关键还是这个公式找准对策，返璞归真！行程问题难度相对较大，在小升初中经常作为压轴题出现，高频考点：变速，往返，多人。数形结合思想小奥思维中对初中，高
37、中帮助最多，最大的一个思维。第五章 应用题专题考点分析 植树问题 和差问题 倍数问题 盈亏问题 鸡兔问题 周期问题 经济问题 年龄问题平均问题 归一问题 还原问题 分百问题 工程问题 浓度问题 钟表问题 牛吃草问题 竞赛高频考点1. 植树问题：主要考察间隔数与棵树的关系。1. 审题：注意两侧、两边、两旁。判断两端、两头是否植树2. 相关公式：间隔数路长间隔长3. 间隔数与棵树的关系： 两端植树，棵树间隔数1 一端植树，棵树间隔数 （环形植树）4. 相关题型：锯木头（刀数）、爬楼层（楼梯数）、敲钟声（间隔）例1：把一根木头锯成4段需要6分钟，如果要锯成13段，需要多少分钟？例2：小平和小亮同住在
38、一幢大楼里，小平住五楼，小亮住三楼，小平每天回家要走80级台阶，小亮回家要走多少级台阶？2. 和差倍问题：熟练掌握画线段图分析问题。1. 画图注意：先找到1倍量；画出一倍量；根据倍数画图；求一倍量2. 内部传递：和不变，差距变化是传递数量的2倍例1：书架上分为上下两层，一开始上下两层的书一样多。若从上层拿16本放到下层，那么下层的书正好是上层的3倍。求原来两层的书各有多少本？3. 盈亏问题：一个口诀，一套解题模型。难点在于题目的条件转换成解题模型。1. 口诀：盈盈减，亏亏减；一盈一亏就要加；之后除以二次差；所得就是单位数。2. 模型： 每只分10个，多9个； 每只分13个，少6个。3. 考点：
39、注意分什么剩什么，每次都是平均分。原则是总数与单位数不变。例1：幸福小学少先队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3人则多出7人，若每条长椅上多坐4人则多出3条长椅。问：到会议室开会的少先队员有多少人？例2：小明计划在若干天内做完一章习题。如果每天做5道题，恰好提前1天做完；如果每天做7道题，恰好提前3天做完。这章习题一共有多少道题？4. 鸡兔问题：低年级一般采用假设法解题，高年级可以采用方程解题假设法：假设全是鸡；对比脚的数量变化；求出兔的数量考试型：假设全对；假设错一题所得的分数判断错一题实际带来的分数变化例1：同学们去春游，大船每船坐6人，小船每船坐4人。全班共有46人，刚好租借10条船。
40、请问：大船小船各有几条？例2：东湖路小学三年级举行数学竞赛，共20道试题.做对一题得5分，没有做一题或做错一题都要倒扣 3分。小明得了60分，问他做对了几道题？5. 周期问题：利用余数解决问题，难点是考察总数的统计及周期的变化规律。例1：小华2012年3月23日这一天想出去玩，但不知道是星期几，而我们知道今天2012年3月8日是星期四，那么2012年3月23日是星期几？例2：40位同学排成一行，从左向右报数：先让第一位同学报2，第二位同学报7，然后从第三位同学开始，每位同学都把前两位同学所报的数相乘，再报出乘积的个位来那么最后一位同学报的是多少？6. 年龄问题：1随着时间的推移，年龄在增大，倍
41、数在减小，年龄差不变。2年龄差不变：你长我也长，同时保证人数一样。意外：年龄差变了，有人去世或者有人出生。3工具：线段图。要点：抓住倍数画图(先画1倍量)。利用和差倍问题解题。 注意倍数与年龄和一定要同一时间段相符4考点：往前(往后)推一个年龄差的问题。解决方法，时间轴的使用。例1：今年，父亲是儿子年龄的5倍；15年后，父亲年龄是儿子年龄的2倍。问现在父子的年龄各是多少岁？例2：兄弟俩今年年龄和为30岁，当哥哥像弟弟现在这样大时，弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半，哥哥今年几岁？7. 平均问题：总数份数平均数，反之利用平均数求总数，化题为式分析问题。例1：三兄弟参加数学竞赛，他们三个人的平均成绩是81分，老大、老二的平均成绩比老三多9分，老大比老三多10分，那么老二的成绩是多少分？例2：有4个数，每次选取其中3个数，算出它们的平均数，再加上另一个数。用这种方法计算了4次，分别得到以下4个数：86、92、100、106，那么，原来4个数的平均数是多少？8. 还原问题：从结论出发，倒推到开始，利用线段图分析问题。例1：小强看一本卡通书，第一天看了这本书的一半又5页，第二
