1、2.3.1 2.3.1 离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值一、学习目标一、学习目标 1 1、理解离散型随机变量的均值的概念及意、理解离散型随机变量的均值的概念及意义。义。2 2、能计算离散型随机变量的均值。掌握两、能计算离散型随机变量的均值。掌握两点分布、二项分布的均值。点分布、二项分布的均值。3 3、能利用随机变量的均值来解决一些实际、能利用随机变量的均值来解决一些实际问题。问题。1 1、什么叫、什么叫n n次独立重复试验？次独立重复试验？二、复习二、复习则称则称X服从参数为服从参数为n，p的二项分布，记作的二项分布，记作XB(n，p)一般地，由一般地，由n次试验构成，且每次试验互相独
2、立次试验构成，且每次试验互相独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与与，每次试验中，每次试验中P(A)p0。称这样的试验为。称这样的试验为n次独立次独立重复试验重复试验，也称，也称伯努利试验伯努利试验。A1).每次试验是在同样的条件下进行的每次试验是在同样的条件下进行的;2).各次试验中的事件是相互独立的各次试验中的事件是相互独立的3).每次试验都只有两种结果每次试验都只有两种结果:发生与不发生发生与不发生4).每次试验每次试验,某事件发生的概率是相同的某事件发生的概率是相同的.2 2、什么叫二项分布？、什么叫二项分布？其中其中0p1,p+q
3、=1,k=0,1,2,.,nP(Xk)knkknppC)1(一般地，设离散型随机变量一般地，设离散型随机变量可能取的值为可能取的值为x x1 1，x x2 2，x xi i，取每一个值取每一个值x xi i(i(i1 1，2 2，)的概率的概率P(P(x xi i)p pi i，则称下表，则称下表为随机变量为随机变量的概率分布，的概率分布，由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：列都具有下述两个性质：(1)p(1)pi i00，i i1 1，2 2，；(2)p(2)p1 1p p2 21 13 3、离散型随机变量的概率分布、离散
4、型随机变量的概率分布x1x2xiPp1p2pi (二二)讨论要求：讨论要求：（1 1）小组内先集中讨论，再组内一对一讨论，小）小组内先集中讨论，再组内一对一讨论，小组长注意控制讨论节奏，及时安排展示与点评。组长注意控制讨论节奏，及时安排展示与点评。（2 2）力争全部达成目标，且多拓展）力争全部达成目标，且多拓展,注重方法总结，注重方法总结，力争全部掌握力争全部掌握.（一）重点讨论的问题：（一）重点讨论的问题：1 1、离散型随机变量的均值是什么、离散型随机变量的均值是什么?。2 2、变量的均值与样本的平均值有何联系和区别？、变量的均值与样本的平均值有何联系和区别？3 3、两点分布和二项分布的均值
5、如何计算？、两点分布和二项分布的均值如何计算？三、讨论及要求（约三、讨论及要求（约5 5分钟）分钟）四、新课四、新课 对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化两极分化”则需要考察
6、这个班数学成绩的方差。则需要考察这个班数学成绩的方差。我们还常常希望我们还常常希望直接通过数字直接通过数字来反映随机变量的某来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有个方面的特征，最常用的有期望与方差期望与方差.引入：引入：问题：问题：某人射击某人射击10次，所得环数分别是：次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数；则所得的平均环数是多少？是多少？2104332221111 X把环数看成随机变量的概率分布列：把环数看成随机变量的概率分布列：X1234P10410310210121014102310321041 X权数权数加权平均加权平均 权权：称棰，权衡轻重
7、的数值；：称棰，权衡轻重的数值；加权平均加权平均：计算若干数量的平：计算若干数量的平均数时，考虑到每个数量在总均数时，考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同，分量中所具有的重要性不同，分别给予不同的权数别给予不同的权数。按按3：2：1的比例混合的比例混合 18元/kg 混合糖果中每一粒糖果的质量都混合糖果中每一粒糖果的质量都相等相等24元/kg 36元/kg 定价为混合糖果的平均价格是否合理？定价为混合糖果的平均价格是否合理？某商场为满足市场需求要将单价分别为某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg 的的3种糖果按种糖果按3：2：1的的 比例混合销比例混合销
8、售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？何对混合糖果定价才合理？2618+24+363定价为定价为 可以吗？可以吗？181/2+241/3+361/6=23元/kg假假如如从从这这种种混混合合糖糖果果中中随随机机选选取取一一颗颗，记记X X为为这这颗颗元元糖糖果果所所属属种种类类的的单单价价（）,你你能能写写出出X X的的分分布布列列吗吗？kgkg假假如如从从这这种种混混合合糖糖果果中中随随机机选选取取一一颗颗，记记X X为为这这颗颗元元糖糖果果所所属属种种类类的的单单价价（）,你你能能写写出出X X的的分分布布列列吗吗？
9、kgkg181/2+241/3+361/6 x 18 24 36 p 1/2 1/3 1/618 2436X解解：随随机机变变量量 可可取取值值为为，和和111182436236(),(),()P XP XP X而而所所以以X X分分布布列列为为=18P(X=18)+24P(X=24)+36P(X=36)随机变量均值随机变量均值（概率意义下的均值）（概率意义下的均值）样本平均值样本平均值1、离散型随机变量取值的平均值、离散型随机变量取值的平均值一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：的概率分布为：nniipxpxpxpxEX 2211则称则称为随机变量为随机变量X的均值
10、或数学期望。的均值或数学期望。它反映了离它反映了离散型随机变量取值的平均水平。散型随机变量取值的平均水平。P1xix2x1p2pipnxnpX随机变量随机变量X的均的均值与值与X可能取值可能取值的算术平均数相的算术平均数相同吗同吗X的分布列32118243623666EX 182436263可能取值的算术平均数为可能取值的算术平均数为XX182436P612636随机变量随机变量x的均值与的均值与x可能取值的算术平可能取值的算术平均数均数何时相等何时相等 举例举例 随机随机抛掷一个骰子抛掷一个骰子，求所得骰子的，求所得骰子的点数点数X的均值。的均值。x123456P6 61 16 61 16
11、61 16 61 16 61 16 61 1111712.66662EX 126762.X可能取值的算术平均数为3、随机变量的均值与样、随机变量的均值与样本的平均值有何区别和联本的平均值有何区别和联系系随机变量的均值是常数，而样本的平均值随随机变量的均值是常数，而样本的平均值随 着样本的不同而变化，因而样本的平均值是着样本的不同而变化，因而样本的平均值是 随机变量；随机变量；对于简单随机样本，随着样本容量的增加，对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近总体的平均值，因样本的平均值越来越接近总体的平均值，因 此，我们常用样本的平均值来估计总体的平此，我们常用样本的平均值来估计
12、总体的平 均值。均值。例题例题1 随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数X的期望的期望，若将所得点数的，若将所得点数的2倍加倍加1作为得分数，作为得分数，即即Y=2X+1，试求，试求Y的均值？的均值？X 1 2 3 4 56 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6解：随机变量解：随机变量X的取值为的取值为1，2，3，4，5，6其分布列为其分布列为故随机变量故随机变量Y的均值为的均值为 EY=3 1/6+5 1/6+71/6+9 1/6+11 1/6+13 1/6=8你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗?=
13、2EX+1 Y 3 5 7 9 11 13 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6EX=3.5 而随机变量Y的分布列为归纳求离散型随机变量均值的步骤：归纳求离散型随机变量均值的步骤：、确定离散型随机变量可能的取值。、确定离散型随机变量可能的取值。、写出分布列，并检查分布列的正确与否。、写出分布列，并检查分布列的正确与否。、求出均值。、求出均值。设设YaXb，其中，其中a，b为常数，则为常数，则Y也是也是随机变量随机变量（1）Y的分布列是什么？的分布列是什么？（2）EY=？思考：思考：P1xix2x1p2pipnxnpXnniipxpxpxpxEX 2211P1xix2x1p2pip
14、nxnpXP1xix2x1p2pipnxnpXYbax 1baxi bax 2baxn nnpbaxpbaxpbaxEY)()()(2211 )()(212211nnnpppbpxpxpxa baEX nniipxpxpxpxEX 2211P1xix2x1p2pipnxnpX数学期望的性质数学期望的性质baEXbaXE )(1 1、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是135P0.50.30.2(1)则则E=.2、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是2.4(2)若若=2+1，则，则E=.5.847910P0.3ab0.2E=7.5,则则a=b=.0.40.1解解:的分布列为的分布列为 所以所
15、以 EE0 0P(P(0)0)1 1P(P(1)1)0 00.150.151 10.850.850.850.85例题例题2篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 1分，分，罚不中得罚不中得0 0分已知姚明目前罚球命中的概分已知姚明目前罚球命中的概率为率为0.850.85，求他罚球，求他罚球1 1次的得分次的得分的均值？的均值？0 1 P 0.15 0.85解解:的分布列为的分布列为 所以所以 EE0 0P(P(0)0)1 1P(P(1)1)0 00.150.151 10.850.850.850.85例题例题2 0 1 P 0.15 0.85P1-PP1-PP篮球运动
16、员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 1分，分，罚不中得罚不中得0 0分已知姚明目前罚球命中的概分已知姚明目前罚球命中的概率为率为0.850.85，求他罚球，求他罚球1 1次的得分次的得分的均值？的均值？2.、一般地，如果随、一般地，如果随机变量机变量X服从两点分服从两点分布，那么布，那么EX=？10(1)EXppp 一般地，如果随机变量一般地，如果随机变量X X服从两点分布，服从两点分布，X10Pp1p则则pppEX )1(01小结：小结：例题例题2变式变式：若姚明在某次比赛中罚球：若姚明在某次比赛中罚球10次，次，求他罚球的得分求他罚球的得分的均值？的均值？若若B(1
17、，0.85),则则E=0.85若若B(10，0.85),则则E=?你能猜想出你能猜想出结果吗结果吗?篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 1分，分，罚不中得罚不中得0 0分已知姚明目前罚球命中的概分已知姚明目前罚球命中的概率为率为0.850.85，求他罚球，求他罚球1 1次的得分次的得分的均值？的均值？求证：求证：若若B(n，p)，则则E=npE =0Cn0p0qn+1Cn1p1qn-1+2Cn2p2qn-2+kCnkpkqn-k+nCnnpnq0P(=k)=Cnkpkqn-k证明：证明：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+Cn-1k-1pk-
18、1q(n-1)-(k-1)+Cn-1n-1pn-1q0)0 1 k n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 Cnkpkqn-k Cnnpnq0(k Cnk=n Cn-1k-1)=np(p+q)n-1=np2、如果、如果XB（n，p），），那么那么EX=？1110nkknknknpCp qnp 111(1)101nnkkn kkknknnkkEXkC p qnpCpq 一般地，如果随机变量一般地，如果随机变量X服从二项分布，服从二项分布，即即XB（n,p），则），则小结：小结：npEX 学生甲在这次单元测验中学生甲在这次单元测验中的成绩一定会是的成绩一定会是90分吗？分吗？他的成绩的均值是他
19、的成绩的均值是90分的分的含义是什么含义是什么1、展示人规范快速；、展示人规范快速；其他同学讨论完毕总其他同学讨论完毕总结整理完善，结整理完善，不浪费不浪费一分钟，力争全部过一分钟，力争全部过关关。2、点评人员：点评、点评人员：点评人要声音洪亮，语言人要声音洪亮，语言清晰，先点评书写、清晰，先点评书写、对错，再点评思路，对错，再点评思路，最后总结规律方法；最后总结规律方法；其它同学：认真倾听、其它同学：认真倾听、积极思考，重点内容积极思考，重点内容记好笔记，记好笔记，有不明白有不明白或有补充的要大胆提或有补充的要大胆提出出展示问题展示问题展示地点展示地点展示小展示小组组改正点改正点评小组评小组
20、课本课本64页页5前黑板前黑板1组组4组组学案学案36页例页例2前黑板前黑板2组组5组组学案学案36页例页例1前黑板前黑板7组组8组组展示自我，提高自信，我是最棒的！展示自我，提高自信，我是最棒的！五、展示与点评：五、展示与点评：展示与点评要求展示与点评要求1、离散型随机变量取值的平均值、离散型随机变量取值的平均值nniipxpxpxpxEX 2211P1xix2x1p2pipnxnpX2、数学期望的性质、数学期望的性质baEXbaXE )(3 3、如果随机变量、如果随机变量X X服从两点分布，服从两点分布，X10Pp1p则则pEX 四、如果随机变量四、如果随机变量X服从二项分布，即服从二项分布，即XB（n,p），则），则npEX 2某篮球运动员某篮球运动员3分球投篮命中的概率分球投篮命中的概率是是 ,在某次三分远投比赛中在某次三分远投比赛中,共投篮共投篮3次次,设设 是他投中的次数是他投中的次数.1)求求E ;2)若投中若投中1次得次得3分分,求他得分的均值求他得分的均值;3210七、当堂检测七、当堂检测14,若若E E=3 3，=2 2则则E E=_ _ _ _ _ _ _ _
