1、3.1.53.1.5空间向量运算的坐标空间向量运算的坐标表示表示一、向量的直角坐标运算一、向量的直角坐标运算则设),(),(321321bbbbaaaa;ab;ab;a;a b/;.ab;ab112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaaR1 12233a ba ba b112233,()ab ab abR112222/ababab1 122330a ba ba b已知已知(3,-2,4)，(-2,5,-3)，则，则_ba _ba _b5a3 _ba _)b2a()ba2(二、距离与夹角二、距离与夹角2222123|aa aaaa2222123|b
2、b bbbb1.1.距离公式距离公式（1 1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。角线的长度。|ABABAB AB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222,212121()()()A Bdxxyyzz在空间直角坐标系中，已知、在空间直角坐标系中，已知、，则，则111(,)A xyz222(,)B xyz（2 2）空间两点间的距离公式）空间两点间的距离公式终点坐标减终点坐标减起点坐标起点坐标cos,|a ba bab1 1223 3222222123123;a ba
3、 ba baaabbb2.2.两个向量夹角公式两个向量夹角公式注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向；（2）当）当 时，反向；时，反向；（3）当）当 时，。时，。cos,1 a b与 abcos,1 a b与 abcos,0 a bab思考：当思考：当 及及 时，的夹角在什么范围内？时，的夹角在什么范围内？1cos,0 a b,10cos a b练习一：练习一：1.求下列两个向量的夹角的余弦：求下列两个向量的夹角的余弦：(1)(2,3,3),(1,0,0);ab(2)(1,1,1),(1,0,1);ab2.求下列两点间的距离：求下列两点间的距离：(1)(1,1,0),(1,1,1);AB
4、(2)(3,1,5),(0,2,3).CD三、应用举例三、应用举例例例1已知、，求：已知、，求：（1）线段的中点坐标和长度；）线段的中点坐标和长度；(3,3,1)A(1,0,5)BAB解：设是的中点，则解：设是的中点，则(,)M xy zAB113()(3,3,1)1,0,52,3,222 OMOAOB点的坐标是点的坐标是.M32,32222,(13)(03)(5 1)29.A BdOABM（2）到两点距离相等的点的）到两点距离相等的点的坐标满足的条件。坐标满足的条件。、AB(,)P xy z,xy z解：点到的距离相等，则解：点到的距离相等，则(,)P xy z 、AB222222(3)(3
5、)(1)(1)(0)(5),xyzxyz化简整理，得化简整理，得46870 xyz即到两点距离相等的点的坐标满即到两点距离相等的点的坐标满足的条件是足的条件是 、AB(,)xy z46870 xyz例例2如图，在正方体中，如图，在正方体中，求与所成的角的余弦值。，求与所成的角的余弦值。1111ABCDA BC D11B E11114A BD F1BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，如图建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则Oxyz13(1,1,0),1,1,4BE11(0,0,0),0,1.4，DF1311,1(1,1,0)
6、0,1,44BE 例例2如图，在正方体中，如图，在正方体中，求与所成的角的余弦值。，求与所成的角的余弦值。1111ABCDA BC D11B E11114A BD F1BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCxyzO1110,1(0,0,0)0,1.44，DF111115001 1,4416 BE DF111717|,|.44 BEDF111111151516cos,.17|171744 BE DFBEDFBEDF练习二：练习二：用向量方法）的距离。到直线求点求的中点，分别是、，正方体(EFA)2,1)ADCCFEABCDDCBA1111111EFABFEC1B1A1D1DABC练习三：练习
7、三：。求证：的值；求的长；求的中点，、分别为、，棱，中，底面：直三棱柱如图MCBA3)CB,cos2)BN1)AABANM2AA90BCA1CBCAABC,11111111o111BACBAABCBCC1A1B1ANM四、课堂小结：四、课堂小结：1.基本知识：基本知识：（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；）向量的长度公式与两点间的距离公式；（2）两个向量的夹角公式。）两个向量的夹角公式。2.思想方法：用向量计算或证明几何问题思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或标化，借
8、助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。证明。思考题：。的面积方法求用向量（、（已知SABC),5,1,1(),6,1,2B)3,2,0AC江苏省电化教育馆制作复习：2710=3420=2810=2040=54+3=68+2=23+2=59+4=江苏省电化教育馆制作直接写得数：2710=270 3420=6802810=280 2040=80054+3=23 68+2=5023+2=8 59+4=492 7 21 9 32 6 42 7 21 9 32 6 45 45 70 41江苏省电化教育馆制作我家订一份牛奶一份牛奶(每天一瓶)全月28元订一份牛奶一年要花多少钱？江苏省电化教育馆制作281
9、2=()江苏省电化教育馆制作2812=()2810=280，2812要比280多，可能是300多。江苏省电化教育馆制作2812=()3012=360,2812大约是360。江苏省电化教育馆制作2812=先算一个季度要多少钱，再算一年要多少钱。283=84(元)844=336(元)336(元)江苏省电化教育馆制作2812=先算半年要多少钱，再算一年要多钱。286=168(元)1682=336(元)336(元)江苏省电化教育馆制作2812=先算10个月和2个月各要多少钱，再合起来。2810=280(元)282=56(元)336(元)28056=336(元)2江苏省电化教育馆制作2812=2 812
10、江苏省电化教育馆制作2812=2 81652江苏省电化教育馆制作2812=2 8165(2个月的钱)(10个月的钱)2江苏省电化教育馆制作2812=2 81652 8(2个月的钱)(10个月的钱)(12个月的钱)1 2江苏省电化教育馆制作2812=2 8652 83 3 6(2个月的钱)(10个月的钱)(12个月的钱)336(元)1 2江苏省电化教育馆制作2812=2 8652 83 3 61 2江苏省电化教育馆制作2812=2 8652 83 3 61 2江苏省电化教育馆制作2812=2 8651 2江苏省电化教育馆制作2812=2 8652 81 2江苏省电化教育馆制作2812=2 865
11、2 83 3 6336(元)2 8江苏省电化教育馆制作1228=1 22 8江苏省电化教育馆制作1228=1 2692 43 3 63362 3江苏省电化教育馆制作2 44 16 27 21 32 3江苏省电化教育馆制作2 44 16 2264 85 4 27 21 3629 19 3 6278425252江苏省电化教育馆制作用竖式计算，并验算。3321451213523321=6932 13 3336 66 9 3验算：3 32 1366 36 9 34512=5401 24 5094 55 4 0验算：4 51 2064 85 4 01352=6765 21 3626 56 7 6验算：1 35 2655 26 7 61江苏省电化教育馆制作2 51 407829 82 33 4276 87 5 2江苏省电化教育馆制作2 51 407829 82 51 4072 83 5 0对位错误江苏省电化教育馆制作2 33 4276 87 5 22 33 4206 87 8 21计算错误江苏省电化教育馆制作我买32张儿童票成人 每位24元儿童 每位12元你能提出什么问题？江苏省电化教育馆制作我买32张儿童票成人 每位24元儿童 每位12元买32张儿童票需要多少钱？3212=384(元)1 23 2463 23 8 4答：买32张儿童票要384元。江苏省电化教育馆制作
