1、2.3 空间点、平面、直线的关系空间点、平面、直线的关系(Relationships of points、planes and straight lines in space)2.3.1 点与平面的位置关系点与平面的位置关系 2.3.2 点与直线的位置关系点与直线的位置关系 2.3.3 两平面的位置关系两平面的位置关系 2.3.4 空间两直线的相关位置空间两直线的相关位置 2.3.5 直线与平面的相关位置直线与平面的相关位置2.3.1 点与平面的位置关系点与平面的位置关系(Mutual position of points and planes)1)点与平面的位置关系点与平面的位置关系 点与平
2、面的位置关系点与平面的位置关系,有有2种情形种情形,就是就是点在平面上点在平面上和和点不点不在平面上在平面上.前者的条件是点的坐标满足平面方程前者的条件是点的坐标满足平面方程.点不在平面上点不在平面上时时,一般要求点到平面的距离一般要求点到平面的距离,并用离差反映点在曲面的哪一侧并用离差反映点在曲面的哪一侧.2)点到平面的距离点到平面的距离 定义定义1 自点自点P0向平面向平面 引垂线引垂线,垂足为垂足为P1.向量向量 在平面在平面 的单位法向量的单位法向量n0上的射影称为上的射影称为P0与平面与平面 之间的之间的离差离差,记作记作 (2.3-1)当当 与与n0同向时同向时,离差离差 0；当；
3、当 与与n0反向时反向时,离差离差 0；而对于平面另一侧的点而对于平面另一侧的点,则有则有AxByCzD 0,在平面在平面 上的点有上的点有AxByCzD=0.例例2 判别点判别点M(2,-1,1)和和N(1,2,-3)在由平面在由平面与与 所构成的同一个二面角内，还是分别在相邻所构成的同一个二面角内，还是分别在相邻二面角内，或是在对顶的二面角内？二面角内，或是在对顶的二面角内？解解：记：记将点将点M(2,-1,1)代入上式，得代入上式，得 0，同理，对于点，同理，对于点N(1,2,-3)得得 0.故点故点M和和N在由平面在由平面 1与与 2所构成的相邻二面角内所构成的相邻二面角内.2.3.2
4、 点与直线的位置关系点与直线的位置关系(Mutual position of points and straight lines)1)点与直线的位置关系点与直线的位置关系 任给一条直线任给一条直线L的方程和一点的方程和一点P0,则则L和和P0的位置关系只有的位置关系只有2种：种：点在直线上点在直线上和和点不在直线上点不在直线上.从代数上从代数上,这两种情况对应这两种情况对应点的坐标满足直线方程和点的坐标不满足直线方程点的坐标满足直线方程和点的坐标不满足直线方程.2)点到直线的距离点到直线的距离 设空间中有一点设空间中有一点P0(x0,y0,z0)和一条直线和一条直线 此处此处P1(x1,y1,
5、z1)是是L上的一点上的一点,v=(X,Y,Z)是是L的方向向量的方向向量.以以v和和 为邻边作一平行四边形为邻边作一平行四边形,则其面积为则其面积为 ,点点P0到直线到直线L的距的距离离d就是此平行四边形的对应于底就是此平行四边形的对应于底|v|的高的高,所以有所以有 (2.3-4)在实际计算中在实际计算中,记忆上式的第二个等号后面的部分是没有记忆上式的第二个等号后面的部分是没有实际意义的实际意义的.只需根据公式的前半部分计算即可只需根据公式的前半部分计算即可.也可以先求出过点也可以先求出过点P0且与直线且与直线L垂直的平面垂直的平面 ,再求出再求出L与与 的交点的交点P0,由由两点间距离公
6、式两点间距离公式求出点到直线的距离求出点到直线的距离.例例3 求点求点(5,4,2)到直线到直线 的距离的距离d.解解 P0(5,4,2),取取P1(-1,3,1),v=(2,3,-1)则则 则则 ，所以，所以2.3.3 两平面的位置关系两平面的位置关系(Mutual position of two planes)1)两平面的位置关系两平面的位置关系 空间两平面的相关位置有空间两平面的相关位置有3 3种情形种情形,即即相交相交、平行平行和和重合重合.设两平面设两平面 1与与 2的方程分别是的方程分别是 1:A1x+B1y+C1z+D1=0,2:A2x+B2y+C2z+D2=0.则两平面则两平面
7、 1与与 2相交、平行或是重合相交、平行或是重合,就决定于由两方程就决定于由两方程构成的方程组是有解还是无解构成的方程组是有解还是无解,或无数个解或无数个解,它们与两平面的法它们与两平面的法向量向量n1,n2,即方程的系数有密切关系即方程的系数有密切关系,从而可得下面的定理从而可得下面的定理.定理定理1 1 空间两平面相关位置空间两平面相关位置,有下面的充要条件有下面的充要条件(1)相交相交:(2.3-5)(2)平行平行:(2.3-6)(3)重合重合:(2.3-7)由于两平面由于两平面 1与与 2的法向量分别为的法向量分别为n1=(A1,B1,C1),n2=(A2,B2,C2),当且仅当当且仅
8、当n1不平行于不平行于n2时时 1与与 2相交相交,当且仅当且仅当当n1n2时时 1与与 2平行或重合平行或重合,由此我们同样能得到上面由此我们同样能得到上面3 3个个条件条件.2)两平面间的夹角两平面间的夹角 设两平面的夹角为设两平面的夹角为,规定规定为锐角为锐角,那么显然有那么显然有(如图如图)：和两平面法向量和两平面法向量n1与与n2的夹角相等即的夹角相等即 ,或者与两或者与两平面法向量平面法向量n1与与n2的夹角互补的夹角互补,即即 .根据两向量的夹角公式可得根据两向量的夹角公式可得 (2.3-8)公式公式(2.3-8)称为称为两平面的夹角公式两平面的夹角公式.由由(2.3-8)可得：
9、可得：两平面垂直的充要条件两平面垂直的充要条件是是 A1A2+B1B2+C1C2=0 (2.3-9)例例4 求两平面求两平面 1:2x-3y+6z-12=0和和 2:x+2y+2z-7=0的夹角的夹角.解解：,代入公式代入公式(2.3-8)得得故所求两平面之间的夹角为故所求两平面之间的夹角为 例例5 一平面过两点一平面过两点P1 1(1,1,1)(1,1,1)和和P2 2(0,1,-1)(0,1,-1)且垂直于平面且垂直于平面xyz=0,求它的方程求它的方程.解解:设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为 ,由于由于在所求平面上在所求平面上,有有 ，即，即 .又又n垂直于平面垂直于平面xyz=
10、0的法向量的法向量n1=(1,1,1),故有故有 .从而得从而得 代入平面的点法式代入平面的点法式,得平面方程为：得平面方程为：2(x-1)-(y-1)-(z-1)=0,即即2xyz=0.2)1,0,(21PPnPP210 0nPP2101nn).1,1,2()1,1,1()2,0,1(121nnPP 例例6 求过点求过点A(1,1,-1)且与且与x-y+z-7=0,3x+2y-12z+5=0都垂直都垂直的平面的平面.解解 设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为n=(A,B,C),n1=(1,-1,1),n2=(3,2,-12),由于由于 ,故故 ，所以可取，所以可取因为因为则取则取 n=(
11、2,3,1)，代入平面的点法式方程得所求平面方程为代入平面的点法式方程得所求平面方程为 2(x-1)+3(y-1)+(z+1)=0,即即 2x+3y+z-4=0.12,nnnn12/nnn12kn=nn12111(10,15,5)5(2,3,1)3212ijknn3)平面束平面束 作为两平面关系的更广泛情形，下面讨论平面束作为两平面关系的更广泛情形，下面讨论平面束.定义定义2 通过一条定直线的所有平面的全体，称为一个通过一条定直线的所有平面的全体，称为一个有轴有轴平面束平面束，定直线称为平面束的，定直线称为平面束的轴轴。平行于一个定平面的所有平。平行于一个定平面的所有平面的全体，称为一个面的全
12、体，称为一个平行平面束平行平面束。定理定理2 以二相交平面以二相交平面 1:A1x+B1y+C1z+D1=0,2:A2x+B2y+C2z+D2=0.的交线的交线L为轴的为轴的有轴平面束有轴平面束的方程是的方程是 (2.3-10)这里这里,是不同时为零的任意实数是不同时为零的任意实数,称为参数称为参数.证证 先证明对于任意一组不同时为零的参数值先证明对于任意一组不同时为零的参数值,方程方程(2.3-10)表示一个平面表示一个平面.,0)()(22221111DzCyBxADzCyBxA将方程将方程(2.3-10)改写为改写为而上式中而上式中x,y,z的系数不同时为零的系数不同时为零,否则否则 设
13、设 ,则有则有 而这与题设而这与题设 1,2相交矛盾相交矛盾,所以所以(2.3-10)确是三元一次方程确是三元一次方程,表表示平面示平面.再证对于任意一组不同时为零的参数值再证对于任意一组不同时为零的参数值,方程方程(2.3-10)表示的平面过表示的平面过 1与与 2 的交线的交线L.因为因为 1,2 交线交线L上任一点的坐标必满足上任一点的坐标必满足 1及及 2的方程的方程,因而也必满足因而也必满足(2.3-10),从而从而L必在方程必在方程(2.3-10)所表示的平面上所表示的平面上.,0)()()()(21212121DDzCCyBBxAA,0,0,0212121CCBBAA0,2121
14、21CCBBAA 最后证明通过交线最后证明通过交线L的任一平面的任一平面,都可以通过选取适当的都可以通过选取适当的,值值,用方程用方程(2.3-10)表示表示.设在平面设在平面 上上,但不在交线但不在交线L上任取一点上任取一点P(,),因为因为P不在不在L上上,所以所以 与与 不能同不能同时为零时为零.如果如果 ,可取可取把满足这个关系的一组把满足这个关系的一组,值代入方程值代入方程(2.3-10)得：得：显然这个方程既通过了显然这个方程既通过了L,又通过了又通过了P点点,即为平面即为平面 的方程的方程.1111DCBA2222DCBA02222DCBA,22221111DCBADCBA)(1
15、1112222DzCyBxADCBA0)(22221111DzCyBxADCBA 特别地，当特别地，当 =1时，可以选取时，可以选取 ；当；当 =2时时,可以选取可以选取 .注：注：为了计算方便为了计算方便,有时也把上述平面束的方程写成有时也把上述平面束的方程写成 (2.3-11)它只含有一个参数它只含有一个参数,所以计算方便所以计算方便.但要注意但要注意,不管不管取何值取何值,方方程程(2.3-11)都不能表示平面都不能表示平面即即(2.3-11)决定的平面的全体比决定的平面的全体比(2.3-10)决定的平面束少了一决定的平面束少了一个平面个平面 2.下面讨论下面讨论平行平面束平行平面束,已
16、给定平面已给定平面 的方程为的方程为 由于平行于由于平行于 的平面可看成与的平面可看成与 具有相同的法向具有相同的法向,因而因而平行平行平面束平面束的方程可写成的方程可写成 (2.3-12)其中其中为参数为参数.1,00,1.0)()(22221111DzCyBxADzCyBxA,02222DzCyBxA.0DCzByAx,0CzByAx 例例7 求过直线求过直线 且与且与x y面垂直的平面面垂直的平面.解解 过二平面过二平面2x-y+2z=0,x+2y-2z-6=0的交线的平面方程可看的交线的平面方程可看成有轴平面束成有轴平面束,设为设为即即该平面的法向量该平面的法向量 .由题设该平由题设该
17、平面与面与x y面垂直面垂直,得得 ,即即 .解得解得 取取 则则由此可得所求平面方程由此可得所求平面方程 3x-y-6=0.0622022zyxzyx,0)622()22(zyxzyx.06)22()2()2(zyx)22(),2(),2(n0kn022.,11 例例8 求与平面求与平面3x+y-z+4=0平行且在平行且在z轴上截距等于轴上截距等于-2的平的平面方程面方程.解解 可设所求平面方程为可设所求平面方程为因该平面在因该平面在z轴上的截距为轴上的截距为-2,所以该平面通过点所以该平面通过点(0,0,-2),由此得由此得所以所以因此所求平面方程为：因此所求平面方程为：,03zyx,02
18、,2.023zyx2.3.4 空间两直线的相关位置空间两直线的相关位置(Mutual position of two lines in space)1)空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系 空间两直线的相关位置有空间两直线的相关位置有异面异面与与共面共面,共面时又有共面时又有相交相交、平平行行和和重合重合3种情形种情形.设二直线的方程为设二直线的方程为 i=1,2.直线直线L1上定点上定点P1(x1,y1,z1)和方向向量和方向向量v1=(X1,Y1,Z1),而直线而直线L2上定点上定点P2(x2,y2,z2)和方向向量和方向向量v2=(X2,Y2,Z2).由图容易看出由图容易看出,两直线
19、的相关位置决定于三向量两直线的相关位置决定于三向量 ,v1,iiiiiiiZzzYyyXxx:LllMMvv11122221PPv2的相互关系的相互关系.当且仅当这三个向量异面时当且仅当这三个向量异面时,两直线异面；当且两直线异面；当且仅当这三个向量共面时仅当这三个向量共面时,两直线共面两直线共面.共面时共面时,若若v1,v2不平行不平行,则则L1和和L2相交相交;若若v1v2但不与但不与 平平行行,则则L1和和L2平行平行;v1v2 ,则则L1和和L2重合重合.因此有因此有 定理定理3 空间两直线空间两直线L1和和L2的相关位置的相关位置,有下面的充要条件有下面的充要条件(1)异面异面：(2
20、.3-13)(2)相交相交：(2.3-14)(3)平行平行：(2.3-15)(4)重合重合：(2.3-16)21PP21PP0222111121212ZYXZYXzzyyxx222111:,0ZYXZYX)(:)(:)(:121212222111zzyyxxZYXZYX)(:)(:)(:121212222111zzyyxxZYXZYX 例例9 判定直线判定直线 和和 的位置关系的位置关系.解解 因为直线因为直线L1过点过点P1(0,0,-1),方向向量为方向向量为v1=(1,-1,0),而直而直线线L2过点过点P2(1,1,1),方向向量为方向向量为v2=(1,1,0),从而有从而有 所以所以
21、L1与与L2是两是两异面直线异面直线.0111:1zyxL011111:2zyxL.04011011211),(2121vvPP2)空间两直线的夹角空间两直线的夹角 平行于空间两直线平行于空间两直线L1,L2的两向量间的夹角，称为空间两的两向量间的夹角，称为空间两直线的夹角直线的夹角,规定规定为锐角为锐角.显然，若两直线间的夹角是显然，若两直线间的夹角是，则也可认为它们之间的夹，则也可认为它们之间的夹角是角是 -.它们与两直线方向向量它们与两直线方向向量v1,v2之间关系是之间关系是或或 .根据两向量之间的根据两向量之间的夹角公式夹角公式可得可得 (2.3-17)由此得出两直线由此得出两直线L
22、1与与L2垂直的充要条件是垂直的充要条件是 v1.v2=X1X2Y1Y2Z1Z2=0.(2.3-18),(21vv),(21vv12121 21222222212111222cosX XYYZ ZXYZXYZv vv v 例例10 求以下两条直线的夹角求以下两条直线的夹角 解解 直线直线L1的方向向量为的方向向量为v1=(1,-4,1)，直线直线L2的方向向量为的方向向量为故故 则两直线的夹角为则两直线的夹角为 .02,02:,13411:21zxyxLzyxL),1,2,2(2010112kjiv,22)1()2(21)4(1)1(1)2()4(21cos22222243)异面直线间的距离与
23、公垂线的方程异面直线间的距离与公垂线的方程 空间两直线的点之间的最短距离称为这两条直线之间的距离空间两直线的点之间的最短距离称为这两条直线之间的距离.两相交或两重合直线间的距离为零；两平行直线间的距离两相交或两重合直线间的距离为零；两平行直线间的距离等于其中一直线上的任意一点到另一直线的距离等于其中一直线上的任意一点到另一直线的距离.与两条异面直线都垂直相交的直线称为与两条异面直线都垂直相交的直线称为两异面直线的两异面直线的公垂公垂线线.两异面直线间的两异面直线间的距离距离等于它们的等于它们的公垂线夹在两异面直线间公垂线夹在两异面直线间的线段的长的线段的长.设两异面直线设两异面直线L1和和L2
24、的方程的方程如前如前，L1和和L2与它们的公垂线的与它们的公垂线的交点分别为交点分别为N1和和N2，则则L1和和L2之之间的间的距离距离 llMMvv111222NN12l0121212121212()Pr jM MdN NM Mvvvvvv也就是也就是 (2.3-19)它的它的几何意义几何意义为：因为为：因为 为由三向量为由三向量构成的平行六面体的体积，而构成的平行六面体的体积，而 为由两向量构成的平行四为由两向量构成的平行四边形的面积，也就是上述平行六面体的一个面的面积，因此，边形的面积，也就是上述平行六面体的一个面的面积，因此，由公式容易知道，两异面直线间的由公式容易知道，两异面直线间的
25、距离距离d恰为三向量恰为三向量构成的平行六面体在两向量构成的平行六面体在两向量 构成的平行四边形底面上的构成的平行四边形底面上的高高.222112221122211222111121212YXYXXZXZZYZYZYXZYXzzyyxxd1212()M M vv1212,M Mv,v12vv1212,M Mv,v12v,v 公垂线公垂线L0的的方向向量方向向量可取作可取作v1v2=(X,Y,Z),而公垂线可看而公垂线可看作作两个平面两个平面的交线，这两个平面一个通过点的交线，这两个平面一个通过点M1,以以v1和和v1 v2为为方位向量，另一个平面通过点方位向量，另一个平面通过点M2,以以v2和
26、和 v1 v2为方位向量为方位向量.由由平面的点位式方程可得平面的点位式方程可得公垂线公垂线L0的的一般方程一般方程为为 (2.3-20)其中其中(X,Y,Z)是向量是向量 v1 v2的坐标，即的坐标，即L0的方向数的方向数.00222222111111ZYXZYXzzyyxxZYXZYXzzyyxx现在求现在求两异面直线两异面直线L1和和L2的的公垂线公垂线的方程的方程.例例11 判定两直线判定两直线 和和 是异面直线是异面直线,并求公垂线方程及其距离并求公垂线方程及其距离.解解 直线直线L1上点上点P1(3,0，-1),方位向量方位向量v1=(2,1,0);直线直线L2上点上点P2(-1,
27、-2,0),方位向量方位向量v2=(1,0,1)，由由故直线故直线L1与与L2为异面直线为异面直线.又因为又因为L1与与L2的公垂线的公垂线L0的方向向量的方向向量可取为可取为 v1v2=(1,-2,-1)所以所以L1与与L2之间的距离为之间的距离为 01123:1zyxL10211:2zyxL.01101012124),(2121vvPP.6661),(212121vvvvPPd根据根据(2.3-20)得公垂线得公垂线L0的方程为的方程为 即即.012110111,012101213zyxzyx.03,0852zyxzyx 例例12 求过点求过点P0(1,1,1)且与两直线且与两直线都相交的
28、直线的方程都相交的直线的方程.解解 设所求直线的方向向量设所求直线的方向向量v=(X,Y,Z)，那么所求直线那么所求直线L的的方程可写成：方程可写成：因为因为L与与L1，L2都相交都相交,而且而且L1过点过点P1(0,0,0),方向向量为方向向量为v1=(1,2,3),L2过点过点P2(1,2,3),方向向量为方向向量为v2=(2,1,4).所以有所以有 即即 43z12y21x:L,3z2y1x:L21,111ZzYyXx,0321111),(1101ZYXPPvv,02ZYX 即即由上两式得：由上两式得：v=(1,-2,1)(1,2,-1)=2(0,1,2).v不平行于不平行于v1,v不平
29、行于不平行于v2，符合相交条件，所以所求直线符合相交条件，所以所求直线L的方程为的方程为,0412210),(2202ZYXPPvv,02ZYX.211101zyx2.3.5 直线与平面的相关位置直线与平面的相关位置(Mutual position of lines and planes)1)直线与平面的相关位置直线与平面的相关位置 直线与平面的相关位置有直线与平面的相关位置有3种情形：直线与平面种情形：直线与平面相交相交，直，直线与平面线与平面平行平行和和直线在平面上直线在平面上.设直线设直线L与平面与平面 的方程分别为的方程分别为 ：AxByCzD=0.将直线方程写成参数式将直线方程写成参
30、数式 ZzzYyyXxxL000:000,xxXtyyYtzzZt代入平面方程代入平面方程,整理可得整理可得 (AXBYCZ)t=(Ax0By0Cz0D).当且仅当当且仅当AXBYCZ0时时,上式有唯一解上式有唯一解 这时直线这时直线L与平面与平面 有唯一公共点；当且仅当有唯一公共点；当且仅当AXBYCZ=0,Ax0By0Cz0D0时时,上式无解上式无解,直线直线L与平面没有公与平面没有公共点；当且仅当共点；当且仅当AXBYCZ=0,Ax0By0Cz0D=0时时,上上式有无数多解式有无数多解,直线直线L在平面在平面 上上.于是有于是有 定理定理4 直线直线L与平面与平面 的相关位置的相关位置,
31、有下面的充要条件：有下面的充要条件：(1)相交相交：AXBYCZ0;(2.3-21)(2)平行平行：AXBYCZ=0,Ax0By0Cz0D0；(2.3-22)(3)直线在平面上直线在平面上：AXBYCZ=0,Ax0By0Cz0D=0.(2.3-23).CZBYAXDCzByAxt000 以上条件的以上条件的几何解释几何解释：就是直线：就是直线L的方向向量的方向向量v与平面与平面 的的法向量法向量n之间关系之间关系.(1)表示表示v与与n不垂直；不垂直；(2)表示表示v与与n垂直垂直,且直且直线线L上的点上的点(x0,y0,z0)不在平面不在平面 上；上；(3)表示表示v与与n垂直垂直,且直线且
32、直线L上上的点的点(x0,y0,z0)在平面在平面 上上.2)直线与平面的夹角直线与平面的夹角 当直线当直线L与平面与平面 相交时相交时,可求可求它们的夹角它们的夹角.当直线不与平面垂直时当直线不与平面垂直时,直线与直线与平面的交角平面的交角 是指直线和它在平面是指直线和它在平面上的射影所构成的上的射影所构成的锐角锐角；垂直时规；垂直时规定是直角定是直角.设设v=(X,Y,Z)是直线是直线L的方向向的方向向量量,n=(A,B,C)是平面是平面 的法向量的法向量,则则令令(L,)=,(v,n)=,就有就有 lnvlnv ,或或 (为钝角为钝角),因而因而 sin =cos =(2.3-24)从这
33、个公式也可直接得到定理从这个公式也可直接得到定理4中的条件中的条件.显然显然,直线直线L垂直于平面垂直于平面 的充要条件是的充要条件是vn,即即 (2.3-25)附注附注1 直线与平面的位置关系，是点、直线和平面关系的直线与平面的位置关系，是点、直线和平面关系的纽带纽带,是求直线、平面方程的基础是求直线、平面方程的基础.附注附注2 当直线和平面平行时，直线和平面间的距离当直线和平面平行时，直线和平面间的距离d 等于等于P0到平面到平面 的距离的距离.22vnvn.222222ZYXCBACZBYAX.ZCYBXA 附注附注3 当直线和平面垂直时，可取直线方向向量当直线和平面垂直时，可取直线方向
34、向量v作为平面作为平面法向量法向量n,反之亦然反之亦然.附注附注4 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式,与平面间、直线间的夹角公与平面间、直线间的夹角公式不同式不同,尤应引为注意尤应引为注意.例例13 设直线设直线 平面平面 求求直线与平面的夹角直线与平面的夹角.解解所以所以 为所求夹角为所求夹角.,21121:zyxL,32:zyx)2,1,2(),2,1,1(vn6379622)1()1(21sin222222pnmCBACpBnAm637arcsin 例例14 求空间一点求空间一点P(5,2,-1)关于平面关于平面 的对称的对称点的坐标点的坐标.解法解法1 过过P(5,2,-1)作
35、平面作平面的垂线的垂线L的方程为的方程为化为参数式化为参数式 将上式代入的方程得将上式代入的方程得 t=-2,以以t=-2代入上式得代入上式得L与的交点坐与的交点坐标标Q(1,4,-7).求求R(x,y,z)使线段使线段PR的中点为的中点为Q，则则解之得解之得P点关于的对称点点关于的对称点R坐标为坐标为(-3,6,-13).-3+230 x yzp+=：2521,213xyz-+=-52,2,13,xtytzt=+=-=-+5211,4,7,222xyz+-=-解法解法2 设对称点为设对称点为R(x,y,z),则有则有PRn,且且PR的中点在的中点在 上上,即即联立求解联立求解,得得R(-3,
36、6,-13).例例15 平面平面 垂直于平面垂直于平面 并通过从点并通过从点P0(5,1,-1)到直线到直线 的垂直相交线，求平面的垂直相交线，求平面 的的方程方程.解解 设平面设平面 的法向量的法向量n=(A,B,C),方程为方程为 A(x-5)+B(y-1)+C(z+1)=0.因为因为 ，n.n1=0,所以有所以有 A+B+C=0.过过P0(5,1,-1)作作L的垂面的垂面 2，则，则 2的方程为的方程为 2(x-5)+3(y-1)+2(z+1)=0,311225zyx.023)21(3)22()25(2zyx150,xyzp+-=：484232xyzL+=：1pp求出求出 2与与L的交点
37、的交点Q(2,1,2),所求平面过所求平面过Q,即即 ,得得 A(2-5)+B(1-1)+C(2+1)=-3A+3C=0,从而从而 代入平面代入平面 的方程为的方程为 x-2y+z-2=0.例例16 求通过点求通过点P(1,0,-2)而与平面而与平面3x-y+2z-1=0平行且与直平行且与直线线 相交的直线方程相交的直线方程.解解 设所求直线设所求直线L的方向向量的方向向量v=(X,Y,Z),方程为方程为 因为因为L与与L1相交，相交，L1过过P0(1,3,0)，方向向量方向向量v1=(4,-2,1)，L过过P(1,0,-2),方向向量方向向量v=(X,Y,Z),所以所以 00PQn103(1,2,1),nnPQ113421xyzL-=-：1+2xyzXYZ-=0,P PXYZ010-3-2=(,)=4-21D=vv即即 7X+8Y-12Z=0.又所求直线与平面又所求直线与平面3x-y+2z-1=0平行，所以平行，所以 ,即即 3X-Y+2Z=0.从而得从而得 所求直线方程为所求直线方程为 0nv),31,50,4()2,1,3()12,8,7(v12.45031xyz-+=-End
