1、立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法全国名校高中数学优质学案汇编（附详解）异面直线异面直线所成的角所成的角范围范围:(0,/2/2则直线a1和b1所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角O空间中过点,作直线a1a,b1b,复习回顾：复习回顾：斜线与平面所成的角斜线与平面所成的角平面的一条斜线平面的一条斜线和它在这个平面内的射影和它在这个平面内的射影所成的所成的锐角锐角AOB复习回顾：复习回顾：二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条
2、射线所成的角叫做二面角的平面角这两条射线所成的角叫做二面角的平面角O复习回顾：复习回顾：(1)如何确定一个点在空间的位置？A(2)在空间给一个定点 和一个定方向(向量)，能够确定一条直线在空间的位置吗？A(3)在空间给一个定点 和两个定方向(向量)，能够确定一个平面在空间的位置吗？A(4)在空间给一个定点 和一个定方向(向量)，能够确定一个平面在空间的位置吗？立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形。为了用空间向量解决立体几何问题，首先必须把点、直线、平面的位置关系表示出来。那么，自然会问：提出问题提出问题OPP 我们把向量叫做点 的位置向量。,O如图 在空间中,取一点
3、作为基点,POP 那么，空间中任意一点的位置就可用向量来表示OP空间中，点的位置的确定空间中，点的位置的确定BPall空间中一条直线 位置可由 上一个定点和一个方向确定Alal如图，是直线 上一点,向量表示直线 的方向(叫做方向向量)lP那么对于 上任意一点，Aall这样，点 和向量 不仅可以确定直线 的位置，还可以具体表示出 上的任意一点lABa 在 上取，,APtABt 一定存在实数 使得空间中，直线位置的确定空间中，直线位置的确定直线的点直线的点向式表示向式表示空间中平面 的位置可以由 内两条相交直线来确定Oab 如图,设这两条直线相交于点,其方向向量分别为 和，P为平面上任意一点，(,
4、),.x yOPxayb 由平面向量基本定理知，存在有序实数对使Oa b 这样,点 与向量，不仅可以确定平面 的位置，还可以具体表示出 内的任意一点,这种表示在解决几何问题时有十分重要的作用abP P空间中，平面位置的确定空间中，平面位置的确定(1)空间中平面 的位置还可以用它的法向量来确定,lla 如图,若直线则直线 的方向向量叫做平面的法向量,AaAa给定一点 和一个法向量，那么,过点以向量为法向量的的平面就完全确定了,.mmbab如果还有一条直线在直线 上任取向量，那么 与 有什么关系想想一一想想：A Aa空间中，平面位置的确定空间中，平面位置的确定(2)0AP a 平面的点法式表示：因
5、为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可用直线的方向向量与平面的法向量表示空间线面间的平行，垂直，夹角等位置关系111222(,)(,)lua b cva b c如图，设直线 的方向向量为，平面 的法向量为，则有：121 21 2/00luvu va abbc c 线面平行的向量表示：线面平行的向量表示：111222121212/(,)(,)luvukva b ck a b cakabkbckc111222(,)(,)lua b cva b c如图，设直线 的方向向量为，平面 的法向量为，则有：线面垂直的向量表示：线面垂直的向量表示：111222(,)(,)lua b cva b
6、 cl如图，设直线 的方向向量为，平面 的法向量为，直线 与平面的夹角为，则有：121 21 2222222111222|sin|a abbc cu vu vabcabc 线面夹角的向量表示：线面夹角的向量表示：探究题：探究题：P103,l mabu v 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则有/()lmabakb kR线线平行：/0laua u 线面平行：1.空间平行关系的向量表示：空间平行关系的向量表示：/()uvukv kR面面平行：线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合注注意意：归纳小结：归纳小结：,l mabu v 设直线的方向向量分别为，平面的法向
7、量分别为，则有0lmaba b 线线垂直：/()lauaku kR线面垂直：2.空间垂直关系的向量表示：空间垂直关系的向量表示：0uvu v 面面垂直：,l mabu v 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则有,(0),2l m线线夹角：设的夹角为则,(0),2l线面夹角：设的夹角为则3.空间夹角的向量表示：空间夹角的向量表示：|cos|a ba b|sin|a ua u cos|u vu v,(0),面面夹角：设的夹角为则cos|u vu v 或,/,/l ml mlmlm 直线和平面，其中，与 相交，已知：/求证：,hl m pa b p 在 内任取一条直线，设的方向向量分 证明
8、 别为：，,.l ml mx ypxayb 且相交存在实数，使例例1.证明平面和平面平行的判定定理：证明平面和平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行平行,则这两个平面平行则这两个平面平行例例1.证明平面和平面平行的判定定理：证明平面和平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行平行,则这两个平面平行则这两个平面平行,/,/,0,0,u vlmav bva vb v 设的法向量分别为，()0,/,/.p vxaybvxa vyb vvvuv 的法向量 与 内的任一直线垂直，也是 的法向量
9、，pxayb，,/l mlmlm直线和平面，其中，已知：/l求证：,l ma bu 设的方向向量分别为，平面 的法向：量证明/(),lmakb kR，练习：练习：证明直线和平面平行的判定定理：证明直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与这个平面内的一条平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行直线平行,则该直线与这个平面平行则该直线与这个平面平行,0,umubu b ()0,/.u aukbl 试一试试一试,.lll 直线 和平面，其中且已知：求证：,lau v 设直线 的方向向量为平面的法证向量分别为，明：,/,(),lauuk a kR练习：练习：证明平面和平面垂直的判定定理：证明平面和平面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直则这两个平面垂直,0,()0,la vu vk av 于是 试一试试一试
