1、第7章 平稳过程的谱分析内容提要q平稳过程的谱密度平稳过程的谱密度q谱密度的性质谱密度的性质q窄带过程和白噪声过程窄带过程和白噪声过程q联合平稳过程的互谱密度联合平稳过程的互谱密度q平稳过程通过线性系统的分析平稳过程通过线性系统的分析7.1 平稳过程的功率谱密度帕塞伐公式：帕塞伐公式：普通时间函数 x(t)的谱分析ttxFtixde)()(d)(21d)(22xFttx能谱密度d),(21lim21d)(21lim22TFTttxTxTTTT功率密度TTtixttxTFde)(),(截尾截尾函数：函数：TtTttxtxT ,0 ),()(平均功率平稳过程的谱分析设设 X(t)是均方连是均方连续
2、的随机过程，续的随机过程，TtTttXtXT ,0 ),()(d),(21d)(d)(222TFttXttXXTTTd),(21lim21d)(21lim22TFETttXTEXTTTT功率谱密度TTtitiTXttXttXTFde)(de)(),(功率谱密度定义 设设 X(t),t 是均方连续的随机过程，称是均方连续的随机过程，称为为 X(t)的的平均功率平均功率。称。称为为 X(t)的的功率谱密度，简称，简称谱密度。TTTttXTEd)(21lim22),(21lim)(2TFETsXTX当当 X(t)是均方连续的平稳过程时，是均方连续的平稳过程时，)0()(d)(21lim222XTTT
3、RtXEttXETd)(212Xs解例1(例7.1)设有随机过程设有随机过程 X(t)=a cos(0t+)，其中其中 a,0 为常数，为常数，在下列情况下，求在下列情况下，求 X(t)的平均功率的平均功率(1)是在是在(0,2 )上服从均匀分布的随机变量；上服从均匀分布的随机变量；(2)是在是在(0,/2)上服从均匀分布的随机变量。上服从均匀分布的随机变量。(1)随机过程随机过程 X(t)是平稳过程，是平稳过程，相关函数：相关函数：)cos(2)(02aRX平均功率：平均功率：2)0(22aRX(2)2sin(2)(cos)(0220222taataEtXE平均功率：平均功率：X(t)是非平
4、稳过程是非平稳过程2d)(21lim222attXETTTT对平稳随机序列平稳随机序列 ，均值为0，如果当 在 上取值时，若绝对一致收敛，则 是 上的连续函数，称为平稳序列 的谱密度谱密度。这时,2,1,0,nXn,2,1,0,nXnnXnR|)(|,ninXXenRs)()()(Xs,)()(ninXXenRs,2,1,0,nXn,2,1,0,)(21)(ndesnRinXX目录7.2 功率谱密度的性质设设 X(t),t 0,m n，分母无实根。，分母无实根。sX()单边功率谱0 ,00 ,de)(1lim2)(20TtiTXttXETG单边功率谱实平稳过程的谱密度实平稳过程的谱密度 sX(
5、)是偶函数，是偶函数，因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。0 ,00 ,)(2)(XXsGGX()例2(例7.2)解20220200000)()(d)cos()cos(ed)cos()cos(e2)(aaaasaaX)cos(e)(0aXRn已知平稳过程的相关函数为已知平稳过程的相关函数为 ，其中其中 a 0,0 为常数，求谱密度为常数，求谱密度 sX().例3(例7.3)n已知平稳过程的谱密度为已知平稳过程的谱密度为 ，求相，求相关函数关函数 RX()及平均功率及平均功率 2.)(2)(2223aAasX例4(例7.5)n设平稳随机序列
6、的谱密度为设平稳随机序列的谱密度为 求相关函数求相关函数 RX(n).1|,|1|)(22iXes目录常见的平稳过程的常见的平稳过程的相关函数及相应的谱密度相关函数及相应的谱密度参见表参见表7.1（P120）7.3 窄带过程及白噪声过程相关函数：相关函数：窄带随机过程谱密度限制在很窄的一段频率范围谱密度限制在很窄的一段频率范围内。内。2sin2cos2d)cos()(1)(122100ssRXX谱密度：谱密度：sX()s0 1 2-2-10RX()0其它 ,0 ,)(210ssX 函数函数具有下列性质的函数称为 函数函数：0,0,0)().1(xxx注 1与与 ()是一对傅式变换。是一对傅式变
7、换。1)().2(dxx 函数函数有一个重要的运算性质，即对任何连续函数 f(x):)0()()(fdxxxf或)()()(TfdxTxxf1)(0iiededei121)(因此白噪声过程定义 设设 X(t),t 为实平稳过程，若它的均值为实平稳过程，若它的均值为零，且谱密度在所有频率范围内为非零的常数，即为零，且谱密度在所有频率范围内为非零的常数，即 sX()=N0()，则称，则称 X(t)为为白噪声过程。相关函数：相关函数：)(de2de)(21)(00NNsRiiXX定义 称均值为零、相关函数称均值为零、相关函数 RX()=N0 ()的实平的实平稳过程为稳过程为白噪声过程。目录7.4 联
8、合平稳过程的互谱密度de)(21)(iXYXYsRd)(XYRde)()(iXYXYRs定义定义 设设 X(t)和和 Y(t)是两个平稳过程，且它们是联合是两个平稳过程，且它们是联合平稳（平稳相关）的，若它们的互相关函数平稳（平稳相关）的，若它们的互相关函数 RXY()满满足足 ，则称，则称是是 X(t)和和 Y(t)的的互功率谱密度，简称，简称互谱密度。互谱密度的性质;)()(YXXYss(1);)()()(2YXXYsss(3)(4)若若 X(t)和和 Y(t)相互正交，则相互正交，则0)()(YXXYss(2)ResXY()和和 ResYX()是是 的偶函数，而的偶函数，而ImsXY()
9、和和 ImsYX()是是 的奇函数；的奇函数；联合平稳过程的谱密度若若 X(t)和和 Y(t)相互正交，则相互正交，则设设 X(t)和和 Y(t)是两个平稳过程，且它们是平稳相是两个平稳过程，且它们是平稳相关的，关的，W(t)=X(t)+Y(t)，则，则)()()()()(YXXYYXWRRRRR)(Re2)()()()()()()(XYYXYXXYYXWssssssss)()()(YXWRRR)()()(YXWsss例3 如图所示如图所示X(t)是平稳过程，是平稳过程，分析过程分析过程Y(t)的平稳性，并求的平稳性，并求Y(t)的谱密度。的谱密度。解)cos(1)(2)()()(2d)()(
10、)(2d)()(TsesesseTRTRReRsXTjXTjXXjXXXjYYY(t)是平稳过程。是平稳过程。X(t)Y(t)延迟延迟T)()()(TtXtXtY目录 线性时不变系统系统：)()(txLty线性系统：)()()()()()(221122112211tyatyatxLatxLatxatxaL时不变系统：)()(txLty7.5 平稳过程通过线性系统的分析 下列微分算子和积分算子是线性时不变的下列微分算子和积分算子是线性时不变的（1）dtdL（2）tduL)(频率响应与脉冲响应对于线性时不变系统，对于线性时不变系统，输出输出 y(t)等于等于输入输入 x(t)与与单位单位脉冲响应脉
11、冲响应 h(t)的卷积，的卷积，)()()(thtxty)()()(HXY傅式变换傅式变换输出频谱输出频谱Y()与与输入频谱输入频谱 X()的关系：的关系：定理1设设L为线性时不变系统为线性时不变系统，当，当输入一个谐波信号输入一个谐波信号 x(t)=ei t 时，则输出为时，则输出为titieHeLtY)()(0|)(ttieLH其中其中随机过程通过线性系统的输出设线性系统的设线性系统的单位脉冲响应单位脉冲响应为为 h(t)，当，当输入一个随机输入一个随机过程过程 X(t)时，其输出随机过程时，其输出随机过程 Y(t)为为d)()()()()(htXthtXtY)()()(HXY傅式变换：傅
12、式变换：线性系统输出的均值设线性系统的设线性系统的输入随机过程输入随机过程 X(t)的均值为的均值为 mX(t)，则其，则其输出过程输出过程 Y(t)的均值为的均值为)()(d)()(d)()(d)()()()(thtmhtmhtXEhtXEtYEtmXXY当输入过程当输入过程 X(t)为均值平稳时，为均值平稳时，常数d)(hmmXY线性系统输出的相关函数设线性系统的设线性系统的输入随机过程输入随机过程 X(t)的相关函数为的相关函数为 RX(t1,t2)，则其输出过程则其输出过程 Y(t)的相关函数为的相关函数为)(,)()()(dd)()()()(21tthhRvuvhuhvuRRXXY
13、vuvhuhvtutRvuvhuhvtXutXEvvhvtXuuhutXEtYtYEttRXYdd)()(),(dd)()()()(d)()(d)()()()(),(2121212121 当输入过程当输入过程 X(t)为自相关平稳时，为自相关平稳时，输出与输入的互相关函数)()()(hRRXXY同理，同理，uuhtutRuuhtXutXEutXuhutXEtXtYEttRXYXd)(),(d)()()(d)()()()()(),(2121212121当输入过程当输入过程 X(t)为自相关平稳时，为自相关平稳时，)()(d)()()(hRuuhuRRXXYX输出相关函数)()()(hRRXYX)
14、()()()()()()()(hRhRhhRRXYYXXY)()()(hRRXXY)(XR)(h)(h)(YXR)(YR输出过程的平稳特性n当线性系统当线性系统输入一平稳过程输入一平稳过程 X(t)时，其输出过程时，其输出过程 Y(t)的均值的均值 mY(t)为常数，相关函数为常数，相关函数 RY(t1,t2)=RY()只与只与时间差时间差 有关，故输出过程有关，故输出过程 Y(t)也是平稳的。也是平稳的。n由于互相关函数由于互相关函数 RYX()和和 RXY()也都只与时间差也都只与时间差 有有关，故输出过程关，故输出过程 Y(t)与输入过程与输入过程 X(t)之间还是联合之间还是联合平稳的
15、。平稳的。例4(例7.14)（h(t)的估计的估计）设线性系统输入一个设线性系统输入一个白噪声过程白噪声过程 X(t)，其相关函数为，其相关函数为 RX()=N0 ()，则，则)(d)()()(00hNuuhuNRYX)(1)(0YXRNh)()(1)(0tXtYNh假定假定过程过程 X(t)和和 Y(t)是各态历经的，是各态历经的，线性系统的谱密度设设线性系统的频率响应函数为线性系统的频率响应函数为H()，当输入平稳过程，当输入平稳过程 X(t)具有谱密度具有谱密度 sX()时，则输出平稳过程时，则输出平稳过程 Y(t)的谱密度为的谱密度为)()()(2XYsHs)()()()()()()(
16、)()()(2XXYXYsHHHsshhRR故因为例5(例7.15)如图如图RC电路，若输入白噪声电压电路，若输入白噪声电压 X(t)，其，其相关函数为相关函数为 RX()=N0 ()，求输出电压，求输出电压 Y(t)的相关的相关函数和平均功率。函数和平均功率。解X(t)Y(t)RCRCiH1 ,)(其中)0()(tetht0)(FT)(NRsXX02222)()()(NsHsXY0()IFT()2YYNRse 2)0(02NRYY例6(例7.17)如图有两个如图有两个LTI系统系统H1()和和H2()，若输入若输入同一个均值为零的平稳过程同一个均值为零的平稳过程 X(t)，它们的输出分别为，
17、它们的输出分别为 Y1(t)和和Y2(t)。如何设计。如何设计H1()和和H2()才能使才能使Y1(t)和和Y2(t)互不相关？互不相关？解X(t)Y1(t)H1()H2()Y2(t)互不相关互不相关 协方差为零协方差为零d)()()()()(htXthtXtY0d)(11hmmXY0d)(22hmmXY)()()(dd)()()()()()(21212121 hhRvuvhuhvuRtYtYERXXYY)()()()(2121HHssXYY,0)(21时当YYs0)(21YYR当两个当两个LTI系统的系统的幅频特性幅频特性互不重叠时互不重叠时，则，则它们的输出它们的输出Y1(t)和和Y2(t)互不相关。互不相关。目录
