1、9-5-19-5-1第一类曲线积分第一类曲线积分引例引例 1 1曲线形物体的质量曲线形物体的质量设设曲曲线线形形物物体体在在 oxy面面上上是是一一段段曲曲线线弧弧L，它它的的端端点点为为A、B，其其线线密密度度为为连连续续函函数数),(yxf，求求该该物物体体的的质质量量m.oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L分割分割,121inlMMM ,),(iiil .),(iiiisfm 求和求和.),(1 niiiisfm 取极限取极限.),(lim10 niiiidsfm 近似近似,max 1inisd 令令2 2第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的定义 设设 L 为为oxy面上
2、的一条光滑（或分段光滑）曲线弧，面上的一条光滑（或分段光滑）曲线弧，),(yxf在在 L 上上有界有界.任取点列任取点列121,nMMM，把，把 L 分为分为小小 n段段),2 ,1(nili ，并以，并以iils 表示表示 的弧的弧 长长.任取任取iiis ),(，作和式，作和式),(1 niiiisf ，设，设 max1inisd ，如果当，如果当时时 0d，和式的极限总存在，和式的极限总存在，则称此极限为则称此极限为),(yxf在曲线弧在曲线弧 L 上上的的第一型曲线积分第一型曲线积分 niiiidLsfsyxf10),(limd ),(被积函数被积函数弧长元素弧长元素积分弧积分弧第一型
3、曲线积分的性质第一型曲线积分的性质.d),(d),(d),(),(LLLsyxgsyxfsyxgyxf ,d),(d),(d),(21 LLLsyxfsyxfsyxf则有则有为常数为常数又又可积可积设设,gf)(1 线性性质线性性质性质性质则有则有首尾相接成首尾相接成与与设设 ,21LLL)(2 可加性可加性性质性质.d 的的长长度度LsL 3 性质性质.d),(21 LLLsyxf简记为简记为.d),(),(LsyxfLyxf为为上上对对弧弧长长的的曲曲线线积积分分记记在在闭闭曲曲线线第一型曲线积分的计算第一型曲线积分的计算,d)()(d22ttytxs .d)()()(),(d),(22t
4、tytxtytxfsyxfL .d)(1),(d),(,d)(1d ,)()(22yyxyyxfsyxfyyxsydycyxxLLdc 为为参参数数则则取取给给出出由由方方程程若若.d)(1)(,d),(,d)(1d ,)()(.222xxyxyxfsyxfxxysxbxaxyyLLba 为参数为参数则取则取给出给出由方程由方程若若 d)()(sin)(,cos)(d),(22 fsyxfLttztytxtztytxfszyxfLd)()()()(),(),(d),(222 ,d41d ,10 :22xxsxyxxyBO 解解：BOABOAL oxABy1 x2xy 0 y,dd ,0,100
5、 :xsyxyOA ,dd ,101 :ysyyyxAB xxxyyxd41dd 01 0 21 0 1 0 ).755(121)155(121320 oxABy1 x2xy 0 y OAABBOLsyd 故故yoxAB,dd)(cos)sin(d22tttts 2422dcosdttesxeLyx.)221(e ,cos 22texeyx 被被积积函函数数.)22,22(1 )1 0,(,d .22222处处的的一一段段劣劣弧弧到到沿沿圆圆周周是是从从其其中中计计算算例例 ByxALsxeLyx解法解法 2 2 L的极坐标方程为的极坐标方程为 1 ，24 ，,ddd22 s.)221(dco
6、sd 2422eesxeLyx yoxAB,cos 22 exeyx 被被积积函函数数 1 22221d1d22yyyesxeLyxyoxAB解法解法 3 3 L：21 yx ，122 y，.)221(e ,12yyxy ,1dd1d22yyyxsy ,1 222yexeyx 被被积积函函数数 .1 ,142)21(22xzyx).20(.cos221 ,sin2 ,cos221 ttztytx其参数方程为其参数方程为.1 29 ,d)(.3 222222的的交交点点与与平平面面为为球球面面其其中中计计算算例例 zxzyxLszyxL,d2d)sin2()cos2()sin2(d222tttt
7、ts LLsszyxd 29 d)(222故故.18d229 20 t LLsxysd 2d12 Lsxy d)212(L关于关于y轴对称，被积函数轴对称，被积函数xy关于关于x为奇函数为奇函数.12012aa （代入（代入L的方程）的方程）Lsxyyxd)243(22.d)243(,134 .42222的的值值求求其其周周长长为为为为椭椭圆圆设设例例 LsxyyxayxL而而平平面面0 zyx通通过过原原点点，.0d)(31ddd szyxsysxszLLLLszyxszsxsyLLLLd)(31ddd222222 LsRd312,3223132RRR .32ddd)(322RsyszsyzLLL 故故22200()d3sin5sin9cosd354cosdcos159ln5.4CAy sttt ttt
