1、金融工程课程1第九章债券久期的基本概念【本章学习要点本章学习要点】久期是债券投资及其风险管理的重要概念。本章久期是债券投资及其风险管理的重要概念。本章涉及的其他重要概念有：涉及的其他重要概念有：麦考利久期、修正久期、美元久期、凸度及麦考利久期、修正久期、美元久期、凸度及风险免疫等。要求掌握和理解久期的计算及其数学解释、久期与债券到风险免疫等。要求掌握和理解久期的计算及其数学解释、久期与债券到期期限、票息率、及市场利率之间的关系等；对将久期概念应用到债券期期限、票息率、及市场利率之间的关系等；对将久期概念应用到债券组合资产的风险免疫有一定的理解和认识。组合资产的风险免疫有一定的理解和认识。金融工
2、程课程2第一节第一节 麦考利久期麦考利久期一、债券价格与市场利率的关系二、麦考利久期（Macaulay Duration）的计算三、修正久期、美元久期及债券价格变化估计四、久期的数学解释五、凸度第二节第二节 久期与债券到期期限、票息率、及市场利率之间的关系久期与债券到期期限、票息率、及市场利率之间的关系一、久期与债券到期期限的关系二、久期与市场利率之间的关系三、久期与债券票息率之间的关系第三节第三节 债券的风险免疫债券的风险免疫一、久期与债券的风险免疫二、债券组合的久期与免疫资产的组合三、免疫债券组合的免疫分析四、实践中存在的问题金融工程课程3第一节第一节 麦考利久期麦考利久期一、债券价格与市
3、场利率的关系一、债券价格与市场利率的关系（）较长期限的债券价格变动幅度大于较短期限的债券价格变动幅度。（）较长期限的债券价格变动幅度大于较短期限的债券价格变动幅度。（）息票额较大的债券的变动幅度小于息票额较低的债券的变动幅度。（）息票额较大的债券的变动幅度小于息票额较低的债券的变动幅度。对于各种不同期限、不同票息额的债券，能否找到一种共同具备的特征量对于各种不同期限、不同票息额的债券，能否找到一种共同具备的特征量，由该特征量就可以简单比较出不同债券的价格变化呢？，由该特征量就可以简单比较出不同债券的价格变化呢？答案是存在的，即每一种债券都存在一个叫做答案是存在的，即每一种债券都存在一个叫做“久
4、期久期”的特征量。的特征量。“久期久期”是资是资产组合利率敏感性的一个测度，产组合利率敏感性的一个测度，久期相等的资产对于利率波动的敏感性是一致的久期相等的资产对于利率波动的敏感性是一致的。金融工程课程4久期的定义及其用途久期的定义及其用途（）当利率发生变化时，迅速对债券价格变化或债券资产组合价（）当利率发生变化时，迅速对债券价格变化或债券资产组合价值变化作出大致的估计。值变化作出大致的估计。（）风险管理。（）风险管理。金融工程课程5二、麦考利久期（二、麦考利久期（Macaulay Duration）的计算）的计算（）麦考莱久期估算法（）麦考莱久期估算法将久期表述为债券现金流的时间加权现值之和
5、与现金流的总现值将久期表述为债券现金流的时间加权现值之和与现金流的总现值的比率。的比率。MttMttPtPD11总现值时间加权现值金融工程课程6BtMtttMttttttMttBMtttMtttMtttMPPPPiCiCWtWPitCiCitCD111111)1/()1/()1/()1/()1/(金融工程课程7例题例题9-1：一种债券的面值为一种债券的面值为100元。票息额为每年元。票息额为每年9元。市场利率为元。市场利率为8。债。债券的到期期限为券的到期期限为6年。计算该债券的久期。年。计算该债券的久期。解：解：itCM8%9元元 6 表表 91 例题例题9-1久期的计算久期的计算MD时间时
6、间t票息额票息额Ct折现因子折现因子1/(1+i)t折现值折现值Ct/(1+i)t时间的加权值时间的加权值tCt/(1+i)t1.00 9.00 0.93 8.33 8.33 2.00 9.00 0.86 7.72 15.43 3.00 9.00 0.79 7.14 21.43 4.00 9.00 0.74 6.62 26.46 5.00 9.00 0.68 6.13 30.63 6.00 9.00 0.63 5.67 34.03 6.00 100.00 0.63 63.02 378.10 加总加总104.62 514.42 =(514.42/104.62)=4.92（年）（年）金融工程课程8
7、iDDM1*D*称为修正久期修正久期两个常用术语：两个常用术语：D*(美元久期美元久期)D*(修正久期修正久期)PBPB债券的现行价格，债券的现行价格，PB债券的价格变动债券的价格变动D债券的久期；债券的久期；i预期利率的变动预期利率的变动iDiPDPBB*(1)(2)(3)金融工程课程9的推导的推导tttBiCP)1(因为，因为，ttttttBitCiitCdidP)1()1(1)1(1diiDdiPiitCPdPMBtttBB)1()1()1(iPDPBB*金融工程课程10因为，因为，diiDPdPMBB)1(diPDdPBB*iDiPDPBB*金融工程课程11例题例题9-2：已知某种债券
8、当前的市场价格为：已知某种债券当前的市场价格为125美元，当前的市场年利率为美元，当前的市场年利率为5，债券的久期为债券的久期为4.6年，年，求：如果市场利率上升求：如果市场利率上升40个基点，债券的市场价格将发生个基点，债券的市场价格将发生怎样的市场变化？怎样的市场变化？解解：BPiMDi美元3.2004.01256.4iPDPBMB125美元美元 5 4.6年年 0.004更加精确的计算结果为：更加精确的计算结果为：美元19.205.1004.01256.4)1(iiPDPBMB金融工程课程12四、四、久期的数学解释久期的数学解释市场利率的波动是债券价格变动的主要原因。如果将债券的价格看成
9、是市场利率市场利率的波动是债券价格变动的主要原因。如果将债券的价格看成是市场利率的函数，记为，的函数，记为，)(iPPBBididPPBBiPdidPPPBBBB BBPdidPD*iPDPBB*债券的价格的变化等于债券的修正久期乘以债券的价格再乘以市场利率债券的价格的变化等于债券的修正久期乘以债券的价格再乘以市场利率的变化的变化 金融工程课程13五、五、凸度凸度久期实际描述的是债券价格对市场利率的一阶导数关系；久期实际描述的是债券价格对市场利率的一阶导数关系；债券价格对市场利率的二阶导数关系即为凸度债券价格对市场利率的二阶导数关系即为凸度cci-ii 0PBiaabbABCDEFG金融工程课
10、程14五、五、凸度凸度久期实际描述的是债券价格对市场利率的一阶导数关系；久期实际描述的是债券价格对市场利率的一阶导数关系；凸性描述的债券价格对市场利率的二阶导数关系；凸性描述的债券价格对市场利率的二阶导数关系；222)(21idiPdididPPBBB222)(21iPdiPdiPdidPPPBBBBBBBBBPdiPdC222)(21iCiDPPBBBTttBBBBiCttiPdiPdPC)1()1()1(11222令令CB表示凸度表示凸度金融工程课程15五、五、凸度凸度例例9-3：一种债券的面值为一种债券的面值为100元。票息额为每年元。票息额为每年9元。债券的到期期限为元。债券的到期期限
11、为6年。年。计算在不同市场利率情况下以及市场利率增加计算在不同市场利率情况下以及市场利率增加0.5%，该债券的久期和凸度以及，该债券的久期和凸度以及债券市场价格的估计变化。债券市场价格的估计变化。市场市场利率利率债券的债券的价格价格PB修正久期修正久期D*近考虑久期近考虑久期的价格变化的价格变化PB凸度凸度CB近考虑久期近考虑久期与凸度的价与凸度的价格变化格变化PB 两种债券价格变两种债券价格变化估计的差距化估计的差距3.00132.504.67-3.1028.43-3.05-0.055.00120.304.63-2.7828.04-2.74-0.048.00104.624.55-2.3827
12、.45-2.35-0.0310.0095.644.50-2.1527.04-2.12-0.03金融工程课程16第二节第二节 久期与债券到期期限、票息率、及市场利率之久期与债券到期期限、票息率、及市场利率之间的关系间的关系一、一、久期与债券到期期限的关系久期与债券到期期限的关系零息票债券的久期等于到它的到期时间零息票债券的久期等于到它的到期时间 如果给定市场利率和票息率，久期与债券到期期限的关系：债券的到期期限越如果给定市场利率和票息率，久期与债券到期期限的关系：债券的到期期限越长，久期也越长。下图表示出，当市场利率为长，久期也越长。下图表示出，当市场利率为8，而票息率为，而票息率为7%的债券的
13、久期的债券的久期随着到期期限的变化关系。随着到期期限的变化关系。金融工程课程17二、二、久期与市场利率之间的关系久期与市场利率之间的关系如果给定债券的票息率，久期与市场利率之间的关系是：市场利率越低，久期越如果给定债券的票息率，久期与市场利率之间的关系是：市场利率越低，久期越长。图长。图9-3表示，票息率为表示，票息率为7%的债券的久期随着市场利率的变化关系。的债券的久期随着市场利率的变化关系。金融工程课程18三、三、久期与债券票息率之间的关系久期与债券票息率之间的关系如果给定市场利率，久期与债券票息率之间的关系是：票息率越低，久期越长。如果给定市场利率，久期与债券票息率之间的关系是：票息率越
14、低，久期越长。图图9-4表示，市场利率为表示，市场利率为7%的债券的久期随着债券票息率的变化关系。的债券的久期随着债券票息率的变化关系。金融工程课程190.050.080.10.120.1421.951.9251.9091.8951.88154.4884.2814.174.0743.991107.6617.0446.7596.5366.358159.6488.7418.3678.0917.882010.7419.7469.3659.0958.893到期年限到期年限息票率息票率久期久期债券久期值的变化（收益率债券久期值的变化（收益率7%）金融工程课程20第三节第三节 债券的风险免疫债券的风险免疫
15、一、一、久期与债券的风险免疫久期与债券的风险免疫大型基金管理机构或保险公司两个重要金融目标：大型基金管理机构或保险公司两个重要金融目标：要在现在对资产组合于将来某一特定时点的价值进行保值；要在现在对资产组合于将来某一特定时点的价值进行保值；对于投资要获得预定的年收益率（一般要等于现行到期收益率）对于投资要获得预定的年收益率（一般要等于现行到期收益率）免疫的概念：免疫的概念：市场利率的变动不影响资产组合的期末价值，资产组合具有市场利率的变动不影响资产组合的期末价值，资产组合具有免疫性；免疫性；在投资期末，资产组合的总价值等于投资期初预计的价值；在投资期末，资产组合的总价值等于投资期初预计的价值；
16、金融工程课程21零息债券显然是具有免疫的。零息债券显然是具有免疫的。因为它没有息票收入的再投资。因为它没有息票收入的再投资。零息债券的久期等于债券的期限。零息债券的久期等于债券的期限。因而债券息票收入再投资收益率的变动是问题的关键因而债券息票收入再投资收益率的变动是问题的关键金融工程课程22二、二、债券组合的久期与免疫资产的组合债券组合的久期与免疫资产的组合 债券组合的久期就是资产组合中所有单项债券久期的权重平均值，权重债券组合的久期就是资产组合中所有单项债券久期的权重平均值，权重即为单项债券的市值与总的资产组合的市值之比即为单项债券的市值与总的资产组合的市值之比 28.6PD28.65.71
17、1102803.611105301.51110300PD债券市值（万元）久期A3005.1B5306.3C2807.5债券组合1110金融工程课程23二、二、债券组合的久期与免疫资产的组合债券组合的久期与免疫资产的组合如果某投资机构面临这样的一个问题：如果某投资机构面临这样的一个问题：三年后有一笔现金流出，需支付三年后有一笔现金流出，需支付10,000,000美元；美元；假设目前市场利率为假设目前市场利率为8。他可以考虑的投资债券有两种：。他可以考虑的投资债券有两种：u第一种债券的期限为第一种债券的期限为1年，息票利息率为年，息票利息率为6，当前市场价格为，当前市场价格为98.15美元（面美元
18、（面值为值为100美元，美元，98.15美元美元106美元美元/（18），其久期为），其久期为1年；年；u第二种债券是例题第二种债券是例题91所示的债券，它的久期所示的债券，它的久期4.92年，其当前的市场价格为年，其当前的市场价格为104.62美元。美元。金融工程课程24EDDwDw2211121 ww1w=0.4898 2w=0.5102 金融工程课程25当前需要投资债券的金额应当是当前需要投资债券的金额应当是7,938,322.30美元（美元（10000000/(1+8%)3）3888190.26美元（美元（7,938,322.30 ）用来购买第一种债券；）用来购买第一种债券；约购买面值
19、约购买面值100美元的该种债券约美元的该种债券约39614.78张（张（3888190.26/98.15）1w4050132.04美元（美元（7,938,322.30 ）用来购买第二种债券；）用来购买第二种债券；约购买面值约购买面值100美元的该种债券约美元的该种债券约38712.79张（张（4050132.04/104.62）2w这样的投资组合免疫效果如何？这样的投资组合免疫效果如何？金融工程课程26三、三、免疫债券组合的免疫分析免疫债券组合的免疫分析表表9-4 债券组合的利率风险免疫效果债券组合的利率风险免疫效果债券组合在久期时点的市场价值（美元）假设1年后的市场利率7893年到期时点第一
20、种债券的价值10639614.78张(1+i)24807625.93 4897908.02 4989029.93 第二种债券在第1年年末的利息再投资价值938712.79(1+i)2398900.46 406391.38 413951.99 第二种债券在第2年年末的利息再投资价值938712.79(1+i)372804.17 376288.32 379772.47 第二种债券在第3年年末的利息938712.79348415.11 348415.11 348415.11 第二种债券在第3年年末的出售价格10938712.79/(1+i)3+938712.79/(1+i)2+938712.79/(
21、1+i)4074468.19 3971045.61 3871279.00 在3年时点的债券组合价值10002213.86 10000048.44 10002448.50 金融工程课程27（1）利率上涨导致债券资产价值损失；）利率上涨导致债券资产价值损失；（2）利率上涨债息收入再投资收益率上涨；）利率上涨债息收入再投资收益率上涨；金融工程课程28四、四、实践中存在的问题实践中存在的问题免疫债券组合需要经常进行动态调整免疫债券组合需要经常进行动态调整 当可投资的债券比较多时，如何选择债券来构造债券组合？当可投资的债券比较多时，如何选择债券来构造债券组合？上面方程组仅包括两个方程，要求解的变量有上面
22、方程组仅包括两个方程，要求解的变量有n个，所以有许多个解个，所以有许多个解。一是选择收益率高的债券，原因是构成的成本低；二是选择债券本身的久期与一是选择收益率高的债券，原因是构成的成本低；二是选择债券本身的久期与保值期限比较近的债券保值期限比较近的债券 EiiniDDw)(111niiw金融工程课程29本章小结：本章小结：本章讲述了有关债券期货的基本概念。讲述了标准债券本章讲述了有关债券期货的基本概念。讲述了标准债券、转换因子、可交割债券等重要概念。债券期货的特点和功能、如、转换因子、可交割债券等重要概念。债券期货的特点和功能、如何利用修正久期、美元久期对债券价格变化作出估计作了重点分析何利用
23、修正久期、美元久期对债券价格变化作出估计作了重点分析；分别阐述了久期与债券到期期限的关系，久期与市场利率之间的；分别阐述了久期与债券到期期限的关系，久期与市场利率之间的关系以及久期与债券票息率之间的关系；对债券组合的久期与债券关系以及久期与债券票息率之间的关系；对债券组合的久期与债券资产组合的风险免疫问题结合实践问题作了概述。资产组合的风险免疫问题结合实践问题作了概述。金融工程课程30复习题1.一般而言，债券的价格变化与利率变化之间的关系有和规律？2.麦考莱久期的计算公式是什么？各个变量是何意义？3.推导债券价格变化和久期及利率变化的关系公式。4.久期与债券的到期期限以及息票支付额之间的关系如何？5.固定收益率证券资产组合的久期是如何计算的？6.什么是债券的风险免疫概念？
