1、第五章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计学时：12学习目标学习目标.掌握数字滤波器的类型、性能指标以及数字滤波器设计掌握数字滤波器的类型、性能指标以及数字滤波器设计的基本步骤。的基本步骤。.冲激响应不变法设计冲激响应不变法设计IIRIIR数字滤波器的基本原理、实现数字滤波器的基本原理、实现步骤以及冲激响应不变法的优缺点。步骤以及冲激响应不变法的优缺点。.双线性变换法设计双线性变换法设计IIRIIR数字滤波器的基本原理、实现步数字滤波器的基本原理、实现步骤以及双线性变换法的优缺点。骤以及双线性变换法的优缺点。.模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器设计IIRIIR数字滤波器（低通、带通、带
2、数字滤波器（低通、带通、带阻、高通）的基本原理、实现步骤。阻、高通）的基本原理、实现步骤。.数字低通滤波器设计各类数字低通滤波器设计各类IIRIIR数字滤波器的基本原理、数字滤波器的基本原理、实现步骤。实现步骤。滤波器滤波器：对输入信号频率成分进行选择的器件或系统：在某对输入信号频率成分进行选择的器件或系统：在某些频率分量通过的同时，抑制另一些频率分量些频率分量通过的同时，抑制另一些频率分量。数字滤波器数字滤波器：是指输入输出均为数字信号，通过一定运算关系：是指输入输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输改变输 入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成入信号所含频率成分的相对比例或者滤除
3、某些频率成分的器件。分的器件。数字滤波器设计数字滤波器设计：构建因果稳定的：构建因果稳定的LTI系统，并使之具有所期系统，并使之具有所期望的频率选择特性。望的频率选择特性。数字滤波器分类数字滤波器分类：根据数字滤波器的冲激响应：根据数字滤波器的冲激响应h(n)的形式，数的形式，数字滤波器可以分成无限长冲激响应滤波器（字滤波器可以分成无限长冲激响应滤波器（IIR）和有限长冲）和有限长冲激响应滤波器（激响应滤波器（FIR）。）。5.1 滤波器性能指标与设计步骤5.1.1滤波器概述 按频率选择特性不同，滤波器可以分为低通、高通、带按频率选择特性不同，滤波器可以分为低通、高通、带通、带阻等类型。通、带
4、阻等类型。|)(|jH|)(|jH|)(|jH|)(|jH|)(|jeH000002|)(|jeH02|)(|jeH02|)(|jeH02低通低通高通高通带通带通带阻带阻由于抽样过程造成由于抽样过程造成频率特性延拓，数字频率特性延拓，数字滤波器所有的频率特滤波器所有的频率特性位于数字角频率轴性位于数字角频率轴上的上的02区间。其区间。其低频频率成分位于低频频率成分位于的偶数倍附近，而高的偶数倍附近，而高频成分位于频成分位于的奇数的奇数倍附近。倍附近。5.1.2 数字滤波器技术指标滤波器的特性主要由频率响应表述滤波器的特性主要由频率响应表述)(|)(|)(jjjeeHeH|)(|jeH其中其中称
5、为滤波器的称为滤波器的)(je称为滤波器的称为滤波器的对于相位响应，令对于相位响应，令ddej)()(称为滤波器的群延迟响应称为滤波器的群延迟响应当滤波器的群延迟响应当滤波器的群延迟响应)(je为常数时，称为线性相位滤波器为常数时，称为线性相位滤波器线性相位滤波器将在下一章讨论线性相位滤波器将在下一章讨论幅度响应幅度响应相位响应相位响应 理想滤波器对应的时域响应为非因果的，因而实际的滤理想滤波器对应的时域响应为非因果的，因而实际的滤波器频率特性是用一个具有因果冲激响应的系统函数对理想波器频率特性是用一个具有因果冲激响应的系统函数对理想滤波器频率特性的逼近。滤波器频率特性的逼近。|)(|jeH通
6、带阻带过渡带111 2ps11|)(|1jeH2|)(|jeHsp|过渡带过渡带p|通带通带p通带截止频率通带截止频率1通带容限通带容限|s阻带阻带s阻带截止频率阻带截止频率2通带容限通带容限低通滤波器幅频特性通带和阻带的衰减情况还可表示为通带和阻带的衰减情况还可表示为通带最大衰减通带最大衰减p)1lg(20|)(|lg20|)(|)(|lg201ppjjjpeHeHeH阻带最小衰减阻带最小衰减s2lg20|)(|lg20|)(|)(|lg20ssjjjseHeHeH通常通常1|)(|0jeH当当22|)(|pjeH时时，dBp3称称 为为 截止带宽截止带宽dB3pIIRIIR滤波器设计过程滤
7、波器设计过程按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标。按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标。将数字滤波器指标转换成模拟滤波器指标。将数字滤波器指标转换成模拟滤波器指标。设计一个满足设计指标的模拟滤波器系统函数设计一个满足设计指标的模拟滤波器系统函数H H(s s)逼近此性逼近此性能指标。能指标。将设计的模拟滤波器系统函数将设计的模拟滤波器系统函数H H(s s)转换成数字滤波器系统函转换成数字滤波器系统函数数H H(z z)。IIRIIR滤波器设计任务：滤波器设计任务：用一因果稳定的离散用一因果稳定的离散LSILSI系统逼近给定的性能要求系统逼近给定的性能要求NkkkMkkkzaz
8、bzH101)(先设计一个模拟滤波器系统先设计一个模拟滤波器系统函数函数H H（s s），然后转换成数），然后转换成数字滤波器系统函数字滤波器系统函数H H（z z）5.1.3 常用模拟滤波器设计方法1 1 由幅度平方函数确定系统函数由幅度平方函数确定系统函数模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数表示模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数表示)()(|)(|*2jHjHjHaaa由于滤波器冲激响应由于滤波器冲激响应 是实函数，因而有是实函数，因而有)(tha)()(*jHjHaa所以所以jsaaaaasHsHjHjHjH|)()()()(|)(|2)(sHa即为模拟滤波器的系统函数即为模拟滤波器的系统
9、函数2 2 巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数NCajH22)(11|)(|N N为滤波器阶次为滤波器阶次为滤波器截止频率为滤波器截止频率C特点：特点：（1 1）处无衰减处无衰减01|)(|02jHa即为巴特沃斯低通滤波器的即为巴特沃斯低通滤波器的3dB3dB带宽带宽C（2 2）21|)(|2jHaC即即21|)(jHa因此因此dBjHjHCp3|)(|)0(|lg20为通带最大衰减为通带最大衰减p|)(|jHa1210CN=2N=8N=4在在0（3 3）C前（前（2N2N1 1）阶导数为）阶导数为0 02|)(|jHa具有最平坦幅度特性，
10、具有最平坦幅度特性，在通带内单调减小，阶次越高，衰减在通带内单调减小，阶次越高，衰减越慢。越慢。2|)(|jHa（4 4）C2|)(|jHa的增加而快速减小。阶次越高，衰减越快。的增加而快速减小。阶次越高，衰减越快。随着随着巴特沃斯滤波器的幅频特性完全由滤波器的阶次决定。巴特沃斯滤波器的幅频特性完全由滤波器的阶次决定。NCaaajssHsHjHjs22)(11)()(|)(|NkejsNkjCCNk2,3,2,1)()1(2122121极点极点 左半左半s s平面极点即为平面极点即为 的极点，因而巴特沃斯低通滤波器的极点，因而巴特沃斯低通滤波器的系统函数为的系统函数为 )(sHaNkessss
11、HNkjCkNkkNCa,3,2,1)()(212211当当 时时,称为归一化，归一化后的低通滤波器称为称为归一化，归一化后的低通滤波器称为原型滤波器。其系统函数为原型滤波器。其系统函数为sradC/1NNansasasaaKsH22100)(或或)()()(210NanssssssKsH例例1 试写出三阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数，设试写出三阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数，设解：三阶巴特沃斯归一化原型滤波器系统函数为解：三阶巴特沃斯归一化原型滤波器系统函数为sradC/23322100)(sasasaaKsHan由附表可查出由附表可查出2,221aa所以所以320221)(sssKsHan
12、若令若令 ，则有，则有1)0(anH10K在在 频率下频率下sradC/2324888)()(ssssHsHCana设计中设计中即可得到所需要的滤波器系统函数即可得到所需要的滤波器系统函数ssC3 3 根据实际滤波器性能指标设计巴特沃斯滤波器根据实际滤波器性能指标设计巴特沃斯滤波器通带最大衰减通带最大衰减阻带最小衰减阻带最小衰减ps给定给定|)(|jH通带阻带过渡带1psps由定义由定义|)(|lg20|)(|)0(|lg20papaapjHjHjH|)(|lg20|)(|)0(|lg20sasaasjHjHjH代入代入NCajH22)(11|)(|)(1lg102NCPp)(1lg102NC
13、SS有有及及可解出可解出lg2/110110lg101.01.0spSPN计算结果取整数计算结果取整数求解求解C若希望通带指标有富裕量若希望通带指标有富裕量NsCs211.0 110若希望阻带指标有富裕量若希望阻带指标有富裕量NpCp211.0 110例例2 试设计一个巴特沃斯模拟低通滤波器，要求在通带频率低试设计一个巴特沃斯模拟低通滤波器，要求在通带频率低于于1kHz时，允许幅度误差在时，允许幅度误差在1dB以内，在频率大于以内，在频率大于1.5kHz的阻的阻带内，衰减大于带内，衰减大于15dB。解：模拟低通滤波器的指标为解：模拟低通滤波器的指标为sradfpp/20002dBp1通带最大衰
14、减为通带最大衰减为sradfSS/30002dBs15阻带最小衰减为阻带最小衰减为巴特沃斯低通滤波器阶数为巴特沃斯低通滤波器阶数为884.530002000lg2/110110lg10151.011.0N取取N=6，代入，代入NpCp211.0 1106543286.346.714.946.786.311)(sssssssHan得到得到kHzfsradcC1192.1/1.7032归一化巴特沃斯低通滤波器系统函数为归一化巴特沃斯低通滤波器系统函数为ssC86.346.714.946.786.3)(65423324566sssssssHCCCCCCCa 使数字滤波器对应的时域冲激响应使数字滤波器
15、对应的时域冲激响应h（n）模仿模拟滤波）模仿模拟滤波器的冲激响应器的冲激响应h（t）。）。5.2 冲激响应不变法5.2.1变换原理)()()(1)(zHznhnTtthLsHaa变换变换经过抽样经过抽样)()(nTThnha则在抽样序列的则在抽样序列的z变换和模拟信号的拉普拉斯变换之间，存变换和模拟信号的拉普拉斯变换之间，存在关系在关系)2(|)(TkjsHzHkaezsT变换过程为从变换过程为从z平面到平面到s平面的映射平面的映射js平面)Im(zj)Re(zz平面11TT3T3T冲激响应不变法映射关系5.2.2 模拟滤波器的数字化方法NkkkassAsH1)(设模拟滤波器的系统函数设模拟滤
16、波器的系统函数 只有单阶极点，且分母的阶次只有单阶极点，且分母的阶次大于分子的阶次。大于分子的阶次。)(sHaNktskaatueAsHLthk11)()()(滤波器的冲激响应滤波器的冲激响应 为为)(thaNknTskNknTskanueTAnueTAntThnhkk11)()()()()(对对 求求z变换变换)(nh011011)()()()(nnTsNkknNknTsknnzeTAzeTAznhzHkk比较比较1|1zeTsk若若 或或|1 zeTskNkTskzeTAzHk111)(NkkkassAsH1)(NkTskzeTAzHk111)(和和1.s1.s平面单极点平面单极点 变换为
17、变换为z z平面平面 的单极点。的单极点。kss Tskez S S平面的左半平面上平面的左半平面上1|ReTsTskkee2.2.的部分分式系数是的部分分式系数是 的的T T倍。倍。)(zH)(sHa3.3.稳定的模拟滤波器变换为稳定的数字滤波器。稳定的模拟滤波器变换为稳定的数字滤波器。例例1 1设计滤波器时，设计滤波器时，都是实数，因此都是实数，因此 的极点一定是以的极点一定是以共轭形式出现。对于这种共轭极点，共轭形式出现。对于这种共轭极点，形成二阶的基本形成二阶的基本节，其模拟滤波器的二阶基本节有两种形式节，其模拟滤波器的二阶基本节有两种形式)(tha)(sHa)(sHa22)(kkks
18、skkkjs极点极点相应数字滤波器二阶基本节的形式为相应数字滤波器二阶基本节的形式为TkTkTkkkezTezTez2211cos21cos11 12 222)(kkkskkkjs极点极点相应数字滤波器二阶基本节的形式为相应数字滤波器二阶基本节的形式为TkTkTkkkezTezTez2211cos21sin5.2.3 冲激响应不变法实现步骤冲激响应不变法设计的数字滤波器具有模拟滤波器的相似特性。冲激响应不变法设计的数字滤波器具有模拟滤波器的相似特性。设计过程：设计过程：1.1.确定数字滤波器性能指标确定数字滤波器性能指标 和和 。pp,ss,2.2.数字滤波器指标转换成模拟滤波器指标数字滤波器
19、指标转换成模拟滤波器指标 和和 。pp,ss,利用利用sT3.3.设计模拟滤波器的系统函数设计模拟滤波器的系统函数 。)(sHa4.4.模拟滤波器系统函数转换成数字滤波器系统函数。模拟滤波器系统函数转换成数字滤波器系统函数。5.2.4 冲激响应不变法的优点和缺点优点优点：1.1.冲激响应模仿模拟滤波器，时域特性逼进程度好。冲激响应模仿模拟滤波器，时域特性逼进程度好。2.2.模拟角频率和数字角频率之间为线性关系。模拟角频率和数字角频率之间为线性关系。T3.3.转换简单。转换简单。缺点缺点：频谱混叠现象，只能构成低通和带通滤波器。频谱混叠现象，只能构成低通和带通滤波器。解：模拟滤波器系统函数可表示
20、为解：模拟滤波器系统函数可表示为342)(2sssHa例例3 设模拟滤波器的系统函数为设模拟滤波器的系统函数为 ，试利用，试利用冲激响应不变法设计冲激响应不变法设计IIR数字滤波器。数字滤波器。3111342)(2sssssHa所以数字滤波器系统函数为所以数字滤波器系统函数为TTezTezTzH31111)(若令抽样时间若令抽样时间T12113110183.0418.01318.01111)(zzzezezzHTT 为了克服冲激不变法造成的多值映射而产生混叠失真，采为了克服冲激不变法造成的多值映射而产生混叠失真，采用两次映射的方法：用两次映射的方法：5.3 双线性变换法5.3.1变换原理 通过
21、上述两次映射，整个通过上述两次映射，整个s平面上的点与平面上的点与z平面上的点一平面上的点一一对应，消除了多值映射造成的混叠。一对应，消除了多值映射造成的混叠。1.s平面映射为平面映射为s1平面上平面上 之间的条带区域。之间的条带区域。TT 2.s1平面上平面上 之间的条带区域映射至之间的条带区域映射至z平面。平面。TTj0s平面1j10s1平面TTImzjRezz平面011双线性变换映射关系5.3.2 模拟滤波器数字化方法s s平面到平面到s1s1平面的变换关系为平面的变换关系为)2tan(1Tc21C C为常数为常数1122221111sjsjeeeecjTjTjTjTj令可得可得s s平
22、面到平面到s s1 1平面的关系为平面的关系为TsTsTsTsTsTseeceeeecs111111112222由由s1s1平面到平面到z z平面的关系平面的关系Tsez1可得可得s s平面到平面到z z平面的关系为平面的关系为1111zzcs以及以及scscz称为双线性变换称为双线性变换c c用来调解模拟频率和数字频率之间的对应关系：用来调解模拟频率和数字频率之间的对应关系：1.1.在低频频率处模拟滤波器和数字滤波器有较确切的对应关系在低频频率处模拟滤波器和数字滤波器有较确切的对应关系12)2tan(11TT由由21Tc有有Tc2即即)2tan(2)2tan(21TTT于是，于是，s s平面
23、和平面和z z平面的映射关系成为平面的映射关系成为11112zzTs以及以及sTsTz222.2.在某一确定频率处模拟滤波器和数字滤波器有较确切的对应在某一确定频率处模拟滤波器和数字滤波器有较确切的对应关系关系T由对应关系由对应关系 ，若希望有，若希望有 CC则对则对)2tan()2tan(1cTc应有应有)2cot(cCc注意：通过注意：通过c c的选择，仅仅能使模拟滤波器某个频率点及其附近的选择，仅仅能使模拟滤波器某个频率点及其附近频率与数字滤波器的频率对应，其他点上仍然是非线性关系。频率与数字滤波器的频率对应，其他点上仍然是非线性关系。|)(|jeH)(tan21c211212333|)
24、(|jH|)(|jeH1230000双线性变换产生的频率畸变线性幅频响应 与 之间的非线性关系|)(|jH 和 之间的线性关系|)(|jeH 的非线性幅频响应|)(|jeH预畸变方法：预畸变方法：在由数字频率转换至模拟频率过程时，数字频率转换为模拟频在由数字频率转换至模拟频率过程时，数字频率转换为模拟频率采用率采用)2tan(c5.3.3 双线性变换法实现步骤1.1.确定数字滤波器指标确定数字滤波器指标2.2.数字滤波器指标转换为模拟滤波器指标数字滤波器指标转换为模拟滤波器指标)2tan(c3.3.设计模拟滤波器，得到设计模拟滤波器，得到)(sHa4.4.模拟滤波器转换为数字滤波器模拟滤波器转
25、换为数字滤波器1111|)()(zzcsasHzH一般情况下，一般情况下，c c取取2/T2/T，T T取取1 1例例解：解：1.数字滤波器指标：数字滤波器指标：衰减未要求，由滤波器阶数确定。衰减未要求，由滤波器阶数确定。例例4 已知一阶模拟低通滤波器为已知一阶模拟低通滤波器为 ，其中，其中 为为其其3dB带宽。用双线性变换法将其转换为数字滤波器带宽。用双线性变换法将其转换为数字滤波器 ，并，并要求其要求其3dB带宽为带宽为ppssH )(p2.0p)(zH2.0p 通带截止频率通带截止频率2.频率转换：频率转换：ccpp3249.0)2tan(cscssHpp3249.03249.0)(3.
26、设计模拟滤波器：设计模拟滤波器：4.模拟滤波器转换为数字滤波器：模拟滤波器转换为数字滤波器：1111|)()(zzcssHzH结果：结果：11111115095.01)1(2453.0)1(3249.01)1(3249.03249.0113249.0)(zzzzzczzcczH频率响应为：频率响应为：jjezjeezHeHj5095.01)1(2453.0|)()(dBeHeHjj3|)(|2.00|)(|0满足设计要求满足设计要求5.4 模拟低通滤波器设计IIR数字滤波器 频率变换法：频率变换法：将数字滤波器的性能指标先转换为模拟滤波器指标，设计模拟将数字滤波器的性能指标先转换为模拟滤波器指
27、标，设计模拟归一化原型滤波器。再根据频率转换关系（低通归一化原型滤波器。再根据频率转换关系（低通低通、带通、低通、带通、高通、带阻，模拟高通、带阻，模拟数字）设计数字滤波器。数字）设计数字滤波器。模拟归一化低通滤波器1p模拟 模拟 频率变换实际模拟低通、高通、带通、带阻滤波器实际数字低通、高通、带通、带阻滤波器数字化模拟归一化低通滤波器1p数字 数字 频率变换数字低通滤波器实际数字低通、高通、带通、带阻滤波器数字化 频率变换法的两种方式频率变换法的两种方式变换类型变换类型频率变换关系频率变换关系S S平面变换关系平面变换关系低通低通 原型归一化低通原型归一化低通高通高通 原型归一化低通原型归一
28、化低通带通带通 原型归一化低通原型归一化低通带阻带阻 原型归一化低通原型归一化低通ppsspsspB220BsSs220220B220SBss频率变换关系表中：表中：归一化低通模拟滤波器角频率归一化低通模拟滤波器角频率实际模拟滤波器角频率实际模拟滤波器角频率s实际模拟滤波器系统变量实际模拟滤波器系统变量s归一化低通模拟滤波器系统变量归一化低通模拟滤波器系统变量B 带通及带阻滤波器的带宽带通及带阻滤波器的带宽 12PPB0 滤波器中心频率滤波器中心频率 210PP5.4.1模拟低通滤波器转换数字低通滤波器例例5 54 4 小结模拟域频率变换法变换过程：小结模拟域频率变换法变换过程：1.1.数字滤
29、波器指标转换为模拟滤波器指标。数字滤波器指标转换为模拟滤波器指标。(频率转换）频率转换）2.2.设计原型低通滤波器。（根据衰减指标求原型滤波器阶次）设计原型低通滤波器。（根据衰减指标求原型滤波器阶次）3.3.原型低通滤波器转换成实际模拟滤波器。（频率转换关系式原型低通滤波器转换成实际模拟滤波器。（频率转换关系式及及3dB3dB截止频率代入原型低通滤波器系统函数）截止频率代入原型低通滤波器系统函数）4.4.冲激不变法或双线性变换法转换模拟滤波器为数字滤波器。冲激不变法或双线性变换法转换模拟滤波器为数字滤波器。例例5 54 4试用试用冲激响应不变法设计一巴特沃斯数字低通滤波器，冲激响应不变法设计一
30、巴特沃斯数字低通滤波器，要求在通带频率低于要求在通带频率低于0.2 rad0.2 rad时，允许幅度误差衰减在时，允许幅度误差衰减在1dB1dB以以内，在频率内，在频率0.30.3到到之间阻带衰减在之间阻带衰减在15dB15dB。通带频率通带频率 rad/srad/s，通带最小衰减通带最小衰减p p=1dB=1dB；阻带频率阻带频率 rad/srad/s，阻带最大衰减阻带最大衰减s s=15dB=15dB。2.0/Tpp 3.0/Tss解：解：转换为模拟滤波器指标（设采样周期转换为模拟滤波器指标（设采样周期T=1T=1）:实际模拟低通实际模拟低通滤波器指标滤波器指标数字滤波器的性能指标为数字滤
31、波器的性能指标为:通带频率通带频率 ，通带最大衰减，通带最大衰减 ；阻带频率阻带频率 ，阻带最小衰减，阻带最小衰减 。radp2.0rads3.0dBs15dBP1设计巴特沃斯原型低通滤波器设计巴特沃斯原型低通滤波器884.5lg2/110110lg1.01.0spspN取取N6sradNpCp/7032.0110211.0)193.1)(141.1)(157.0(1)(222sssssssHan即为满足设计要求的巴特沃斯原型滤波器即为满足设计要求的巴特沃斯原型滤波器转换为实际低通滤波器转换为实际低通滤波器根据平面对应关系，原型低通滤波器到实际低通滤波器的转根据平面对应关系，原型低通滤波器到实
32、际低通滤波器的转换方式为换方式为Css即是即是)(|)()(CanssanasHsHsHC由巴特沃斯滤波器的设计方法由巴特沃斯滤波器的设计方法于是于是)93.1)(41.1)(57.0()(|)()(2222226CcCcCcCcanssanasssssssHsHsHc即为实际低通滤波器的系统函数即为实际低通滤波器的系统函数转换为数字低通滤波器转换为数字低通滤波器将将 展开为部分分式并采用冲激不变法展开为部分分式并采用冲激不变法)(sHa21121121126.099.0163.086.137.007.1115.114.269.013.0145.029.0)(zzzzzzzzzzH5.4.2模
33、拟低通滤波器转换数字带通滤波器1.1.由归一化原型低通滤波器到模拟带通滤波器的转换由归一化原型低通滤波器到模拟带通滤波器的转换0|)(|jHBP0|)(|jH1s2s1p2p0spsp0归一化原型低通滤波器到模拟带通滤波器的频率转换关系为归一化原型低通滤波器到模拟带通滤波器的频率转换关系为B202其中其中B 带通滤波器的带宽带通滤波器的带宽 12PPB0滤波器中心频率滤波器中心频率 210PPBsss202及及BsssLPBPsHsH202|)()(于是于是2.2.由模拟带通滤波器到数字带通滤波器的转换由模拟带通滤波器到数字带通滤波器的转换冲激不变法冲激不变法分解分解 成部分分式，转换为数字滤
34、波器成部分分式，转换为数字滤波器 )(sHBP双线性变换法双线性变换法1111|)()(zzcsBPBPsHzH结合频率变换关系后，有结合频率变换关系后，有BzzzcsLPBPsHzH)1()1()1(22120212|)()(例例5 55 5 对于双线性变换法设计数字滤波器特别需对于双线性变换法设计数字滤波器特别需要注意频率变化过程中的频率畸变。要注意频率变化过程中的频率畸变。试用试用双线性变换法设计一个抽样频率为双线性变换法设计一个抽样频率为1kHz1kHz的巴特沃斯数字带的巴特沃斯数字带通滤波器。通滤波器。要求：通带范围从要求：通带范围从200Hz200Hz到到250Hz250Hz，在此
35、两频率处衰，在此两频率处衰减不大于减不大于3 3dBdB，在，在100Hz100Hz和和400Hz400Hz频率处衰减不得小于频率处衰减不得小于14dB14dB。解：解：4.01020022311sppffdBP3由于采用双线性变换法，需要对转换频率进行预畸变由于采用双线性变换法，需要对转换频率进行预畸变预畸变是由数字域向模拟域的转换，所以需要先将模拟频率转预畸变是由数字域向模拟域的转换，所以需要先将模拟频率转换为数字频率。换为数字频率。5.01025022322sppff2.01010022311sssff8.01040022322sssffdBs14转换为模拟频率并预畸变转换为模拟频率并预
36、畸变dBccppppp3,2tan,2tan2211dBccsssss14,2tan,2tan2211设计归一化低通滤波器设计归一化低通滤波器模拟带通模拟带通滤波器指标滤波器指标1)(|121212120211pppppppPB归一化原型低通滤波器通带频率为归一化原型低通滤波器通带频率为1)(|122212220222pppppppPB归一化原型低通滤波器通带频率归一化原型低通滤波器通带频率 ,1p通带最大衰减为通带最大衰减为3dB3dB归一化原型低通滤波器阻带频率为归一化原型低通滤波器阻带频率为99.6)2.0tan25.0(tan1.0tan2.0tan25.0tan1.0tan)2tan
37、2(tan2tan2tan2tan2tan)(|21212112121212120211ppsppsppsppsssB39.10|22022sBs归一化原型低通滤波器阻带频率归一化原型低通滤波器阻带频率99.6,min21sss归一化原型低通滤波器阶数为归一化原型低通滤波器阶数为18.199.61lg2/110110lglg2/110110lg4.13.01.01.0spspN令令 ,。1pC2N巴特沃斯原型低通滤波器系统函数为巴特沃斯原型低通滤波器系统函数为141.11)(2sssHLP变换为实际带通通滤波器变换为实际带通通滤波器141.1)(1|)()(2022202202sBssBssH
38、sHsBssLPBP22022022)()(41.1)(1sssBsB数字化数字化)11()11()11(2)11()11(|)()(220211220211211221122111111zzczzcBzzcBzzcBzzcsHzHzzcsBPBP代入代入221212032.02tan2tancccppppccBpppp68.0)2tan2(tan121243212264.045.064.156.01)1(02.0)(zzzzzzH最后有最后有小结模拟域频率变换法变换过程：小结模拟域频率变换法变换过程：1.1.数字滤波器指标转换为模拟滤波器指标。数字滤波器指标转换为模拟滤波器指标。(频率转换）频率转换）2.2.设计原型低通滤波器。（根据衰减指标求原型滤波器阶次）设计原型低通滤波器。（根据衰减指标求原型滤波器阶次）3.3.原型低通滤波器转换成实际模拟滤波器。（频率转换关系式原型低通滤波器转换成实际模拟滤波器。（频率转换关系式及及3dB3dB截止频率代入原型低通滤波器系统函数）截止频率代入原型低通滤波器系统函数）4.4.冲激不变法或双线性变换法转换模拟滤波器为数字滤波器。冲激不变法或双线性变换法转换模拟滤波器为数字滤波器。
