1、2第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算数项级数幂级数付氏级数:问题问题?,)(问此人能走多远问此人能走多远半半以后每天走前一天的一以后每天走前一天的一公里公里一个人第一天走了一个人第一天走了101?,)(问问此此人人能能走走多多远远公公里里走走了了天天第第公公里里第第二二天天走走了了公公里里一一个个人人第第一一天天走走了了nn121123第一节第一节 常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质一一.常数项级数的概念常数项级数的概念引例引例.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正),2,1,0(23nn边形,时,这个和逼近于圆的面
2、积 A.0a1a2ana它们的面积可表示为n即naaaaA21041.定义定义：给定一个数列,321nuuuu将各项依次相加，简记为,1nnu即1nnunuuuu321称上式为无穷级数无穷级数，其中第 n 项nu叫做级数的一般项一般项,2.级数的前 n 项和nkknuS1称为级数的部分和部分和.如果SSnnlim存在,1nnu记作,1nnuS否则称为发散发散.收敛收敛,并称 S 为级数的和和,则称无穷级数nuuuu321,1S,2SnS.称为部分和数列称为部分和数列5例如例如,122121211n数列数列可可组组成成一一无无穷穷级级数数1121nn121nnu通项通项niinS11211212
3、211211nn2nnSlim收敛收敛1121nn22111nn且且6例例1.讨论等比级数(又称几何级数又称几何级数)0(20aqaqaqaaqannn(q 称为公比)的敛散性.解解:1)若,1q12nnqaqaqaaSqqaan1当1q时,0limnnq从而qaSnn1lim因此级数收敛,;1qa当1q时,limnnq从而,limnnS因此则部分和级数发散.由于其和为由于72).若,1q当1qanSn因此级数发散;当1q时,aaaaan 1)1(因此nSn 为奇数n 为偶数从而nnSlim)0(20aqaqaqaaqannn综合 1)、2)可知,1q时,等比级数收敛;1q时,等比级数发散.则
4、时,级数成为,a,0不存在,因此级数发散.8例例2.判别下列级数的敛散性.)1(1)2(;1ln)1(11nnnnnn解解:(1)12lnnSnnln)1ln()2ln3(ln)1ln2(ln)1ln(n）n(所以级数(1)发散;技巧技巧:利用“拆项相消拆项相消”求和23ln34lnnn1ln9例例2.判别下列级数的敛散性.)1(1)2(;1ln)1(11nnnnnn(2)1(1431321211nnSn211111n）n(1所以级数(2)收敛,其和为 1.31214131111nn技巧技巧:利用“拆项相消拆项相消”求和10例例 3 3 判判别别无无穷穷级级数数 )12()12(1531311
5、nn 的的收收敛敛性性.解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn11)1211(21limlim nsnnn),1211(21 n,21.21,和为和为级数收敛级数收敛124例例.,)(,121也收敛证明级数收敛级数收敛设数列nnnnnnaaanna:证明证明,limAnann记,)(21Saannnn121)(nkkkaak)(1)(3)(212312nnaanaaaa）（1111nnkkanaa）（13121111)(1nkkknnkkaakanaa）（121111)(lim
6、1limlimnkkknnnnkknaakanaa）（即SAa1.收敛收敛级数级数1nna145例例证明调和级数证明调和级数.发散发散nnn13121111:证明证明,积积由到所围曲边梯形的面由到所围曲边梯形的面考虑曲线考虑曲线xy11A2AnA由图知由图知nSn1211nAAA21dxxn111)ln(n1.级数发散级数发散15二二.无穷级数的基本性质无穷级数的基本性质性质性质1.若级数1nnu收敛于 S,1nnuS则各项乘以常数 c 所得级数1nnuc也收敛,其和为 c S.证证：令,1nkknuS则nkknuc1,nScnnlimSc这说明1nnuc收敛，其和为 c S.nnSclim说
7、明说明：级数各项乘以非零常数非零常数后其敛散性不变.即16性质性质2.设有两个收敛级数,1nnuS1nnv则级数)(1nnnvu 也收敛,其和为.S证证:令,1nkknuS,1nkknv则)(1knkknvu nnS)(nS这说明级数)(1nnnvu 也收敛,其和为.S收敛收敛例如例如13121nnn)(17性质性质2.设有两个收敛级数说明说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则)(1nnnvu 必发散.但若二级数都发散,则)(1nnnvu 不一定发散.例如,)1(2nnu,)1(12 nnv0nnvu,1nnuS1nnv则级数)(1nnnvu 也收敛,其和为.S(1)性质 2 表明收敛级数
8、可逐项相加或减.用反证法可证18性质性质3.在级数前面加上或去掉有限项有限项,不会影响级数的敛散性.证证:将级数1nnu的前 k 项去掉,1nnku的部分和为nllknu1knkSS由于nnkS时n敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为.kSS 类似可证前面加上有限项的情况.与 极限状况相同,故新旧两级数所得新级数19性质性质4.收敛级数加括弧加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证证:设收敛级数1nnuS若它按某一规律加括弧,例如设为 54321uuuuu显然,新级数的部分和序列),2,1(mm为原级数部分和序列),2,1(nSn的一个子序列.nnmmS limlimS推论推论:若加括弧后的
9、级数发散,则原级数必发散.注意注意:原级数发散,则加括号后不一定发散,)()(01111但但级数1111却发散.因此必有例如用反证法可证用反证法可证20三三.级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件设收敛级数,1nnuS则必有0limnnu证证:1nnnSSu1limlimlimnnnnnnSSu0SS由此可知:若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0,则级数必发散则级数必发散.例如,级数1)1(544332211nnn其一般项为,1)1(1nnunn当n不趋于0,因此这个级数发散.时nu21注意：注意：0limnnu并非级数收敛的充分条件.例如，调和级数nnn13121111虽然，01liml
10、imnunnn但此级数发散.22例例3.判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:;!)1(1nnnnne解解:(1)令;231)2(123nnnn.212)3(1nnn,!nnnnneu 则nnuu1nne)1(1),2,1(1n故euuunn11从而,0limnnu这说明级数1!nnnnne发散.111)1()1(nnnne11)1(!)1(nnnnennnne!23123231)2(nnnn因nnn23123)2)(1()2(21nnnnn)2)(1(1)1(121nnnn),2,1(nnknkkkS123231nkkkkk1)2)(1(1)1(121进行拆项相消进行拆项相消,41limnnS
11、这说明原级数收敛,.41)2)(1(1nnn其和为)2)(1(121121nn24.212)3(1nnn级数的部分和为32252321nS,212nn 则nnSS211432212252321nn2121221132121n1212nn21211211211n1212nn121121n1212nn,2122132nnnnSnn21225232132这说明原级数收敛,其和为 3.,3limnnS故25四、小结1 1.由由定定义义,若若ssn,则则级级数数收收敛敛;2 2.当当0lim nnu,则则级级数数发发散散;3 3.按按基基本本性性质质.常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法基本审敛法26261、小球从 1 米高处自由落下,每次跳起的高度减少一半,问小球是否会在某时刻停止运动?说明道理.由自由落体运动方程2g21ts 知g2st 则小球运动的时间为1tT 22t32tg21 2122)2(1 212g12 63.2(s)设 tk 表示第 k 次小球落地的时间,注：第二项之后的系数是小球上升、下降的距离之和。2122121gtt232122gt 27272、判断级数的敛散性:141141131131121121解解:考虑加括号后的级数)()()(1411411311311211211111nnun12nnnu2发散,从而原级数发散.nn121
