1、 等差数列（三）等差数列（三）有关最值问题有关最值问题练习：练习：nanS nanmnSS nmS1.1.已知数列已知数列是等差数列，是等差数列，是数列是数列的前的前项和，若项和，若 ，则，则)(mn 法法1.1.法法2.2.法法3.3.8642-2-4-6-8-10-5510一、关于数列的基本运算的方法有：一、关于数列的基本运算的方法有：1.1.设出数列的公差和首项，然后列出方程设出数列的公差和首项，然后列出方程（组）解出（组）解出;2.2.利用等差数列的性质解题利用等差数列的性质解题.二、体现出的数学思想二、体现出的数学思想:1.函数与方程的思想函数与方程的思想;2.整体处理的思想整体处理
2、的思想.1.1.首项为正数的等差数列首项为正数的等差数列 na问此数列前多少项之和最大？问此数列前多少项之和最大？，它的前，它的前3 3项之和与前项之和与前1111项项之和相等，之和相等，na01a1121321aaaaaa01154aaa0)(487 aa na7a8a7a8a07a08a解法一：因为数列解法一：因为数列为等差数列，且为等差数列，且，即，即,8796105114aaaaaaaa，由题可知此数列为，由题可知此数列为 由于由于所以所以 由于数列由于数列为递减的等差数列，且为递减的等差数列，且与与为相邻两项，为相邻两项，与与必不全为必不全为0 0，故，故，即此数列前即此数列前7 7
3、项之和最大项之和最大.递减数列，且递减数列，且所以所以 na01a,13221011112233111addada0ka01ka5.75.60)132(10)132)(1(1kkk解法二：设数列解法二：设数列为等差数列，其中首项为等差数列，其中首项公差公差d d，则由题意知：，则由题意知：设当设当n=kn=k时，时，且且，即，即所以所以k=7k=7，即数列第，即数列第7 7项最大项最大.na113SS,021321011112233111dadada0d)14(22)1(2132)1(21nnddnnnddnnnaSn49)7(22nd0d.77最大时，当Sn 解法三：设数列解法三：设数列的公
4、差为的公差为d d，则由题意可知，则由题意可知，即，即 na)(.2nfbnanSn113)11()3(SffS)(nf72113n na na0a7n7S解法四：由于数列解法四：由于数列为等差数列，所以设它的前为等差数列，所以设它的前n项和项和由题意可知由题意可知可知可知对称轴为对称轴为又由题意可知数列又由题意可知数列为首项为正数公差小于为首项为正数公差小于0的，的，为递减数列，故为递减数列，故由二次函数的性质可知当由二次函数的性质可知当时时最大最大.所以数列所以数列 na总结：在求等差数列总结：在求等差数列的前的前n n项和的最大值或最小值时，项和的最大值或最小值时，我们要充分利用数列与函
5、数的关系分析解决问题，我们要充分利用数列与函数的关系分析解决问题，因而有如下方法：因而有如下方法：,1nnSS即递减即递减 0na0na0na,1nnSS0na或（或（）成立的最大的）成立的最大的n n即可。即可。时，时，即递增，当即递增，当时，时，3.3.通项法：求使通项法：求使这是因为：当这是因为：当Nn1.1.二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n n项和的最值，项和的最值，但要注意的是：但要注意的是：nS2.2.图象法：利用二次函数图象的对称性来确定图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n n的值，使的值，使取得最值取得最值;na,844
6、anS.0,01110SS0na,321nSSSS2.等差数列等差数列中，公差为中，公差为d，前前n项和为项和为，且，且（1）求）求d的取值范围的取值范围;的最小自然数的最小自然数n的值的值;求求M的取值范围的取值范围.（3）设集合）设集合（2）求使得）求使得中，元素的最大值为中，元素的最大值为M，,021011110291010843111dadada4256d.0,011211)(6611111aaaaS0,0,0)(5210)(5656510110aaaaaaaS nad,00na,321nSSSS5SddaS542010515,700630,42565Sd)700,630(解：（解：（
7、1）由）由解得解得 （2）随随n增大而减小，增大而减小，使使的最小自然数的的最小自然数的n为为6.中中最大，最大，即即M的取值范围为的取值范围为(3)由（由（2）知，在）知，在 na nb),(*21Nnaaabnnnn nbnS na,083125 aanS3.3.设数列设数列是等差数列，数列是等差数列，数列满足满足的前的前n n项和用项和用表示，若表示，若中满足中满足试问试问n n多大时，多大时，取得最大值，证明你的结论取得最大值，证明你的结论.512555138,38(7),5676,0,55aaaaddadad na176(1)00,50,760.5nndndaadnd即1115165
8、5n,0.0.0,0,1618171616171615151617aaabaaabaan,1131514SSSS,16151514SSSS.059,0561815dada,1815aa最大中故即16141616151615,.0,SSSSbbbbn解：解：故故是首项是正数的递减数列。是首项是正数的递减数列。解得解得 na120032004200320040,0,.0aaaaa0nS 练习：练习：1.若若是等差数列，首项是等差数列，首项，则使前，则使前n项和项和A4005 B4006 C4007 D4008成立的最大自然数成立的最大自然数n是：是：（）B nanS01a3mmmSanSnanna
9、S nnaS nnaS nnaS 2.等差数列等差数列的前的前n项和为项和为，且，且，若存在自然数，若存在自然数，使得，使得，当，当nm时，时，与与的大小关系为的大小关系为 （）B.C.D.A.方法一方法一.nnaS,0121321mmmmaaaaaaaaS naa,01)0(,011daam2)1()(2)1)(1111ndmnaanaaaSmnnn,02)1()(ndmn是递减数列且是递减数列且方法二：方法二：A nakSmnSnmSnm,nmS3.m,n为不相等的正整数，等差数列为不相等的正整数，等差数列的前的前k项和为项和为，若，若，则，则A.必大于必大于4 B.必小于必小于4 C.可
10、能等于可能等于4 D.不能判断与不能判断与4的大小的大小的值为的值为（A）,2)1(,2)1(11mndnnnaSnmdmmmaSnm,211mnnmdnma42)(2)1)()(21mnnmmnnmdnmnmanmSnm解法一：解法一：两式相减得两式相减得解法二解法二:利用数列利用数列nSn为等差数列来解决为等差数列来解决在解决数列的相关问题时，通常用以下思路：在解决数列的相关问题时，通常用以下思路：1.运用函数观点来分析、解决，因为数列本质上就运用函数观点来分析、解决，因为数列本质上就特殊的函数。特殊的函数。2.运用方程的思想来解决的有关计算运用方程的思想来解决的有关计算;3.能自觉地运用等差数列的特性来简化计算能自觉地运用等差数列的特性来简化计算.总结：总结：
