1、数分高代定理大全高等代数第一章带余除法 对于中任意两个多项式与，其中，一定有中的多项式存在，使成立，其中或者，并且这样的是唯一决定的.定理 1 对于数域上的任意两个多项式，其中的充分必要条件是除的余式为零.定理 2 对于中任意两个多项式，在中存在一个最大公因式，且可以表示成，的一个组合，即有中多项式使.定理 3 中两个多项式，互素的充分必要条件是有中的多项式使.定理 4 如果，且，那么.定理 5 如果是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式，由一定推出或者.因式分解及唯一性定理 数域上每一个次数的多项式都可以唯一地分解成数域上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式那么必有，并
2、且适当排列因式的次序后有其中是一些非零常数.定理 6 如果不可约多项式是的重因式，那么它是微商的重因式.定理 7（余数定理） 用一次多项式去除多项式，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值.定理 8 中次多项式在数域中的根不可能多于个，重根按重数计算.定理 9 如果多项式，的次数都不超过，而它们对个不同的数有相同的值，即那么.代数基本定理 每个次数的复系数多项式在复数域中有一根.复系数多项式因式分解定理 每个次数的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.实系数多项式因式分解定理 每个次数的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.定理 10（高斯
3、（Gauss）引理） 两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理 11 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.定理 12 设是一个整系数多项式，而是它的有理根，其中互素，那么必有.特别地，如果的首项系数，那么的有理根是整根，而且是的因子.定理 13 （艾森斯坦（Eisenstein）判别法） 设是一个整系数多项式，如果有一个素数，使得 1.； 2.； 3.那么在有理数域上是不可约的. 第二章定理 1 对换改变排列的奇偶性.定理 2 任意一个级排列与排列都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的
4、奇偶性.定理 3 设，表示元素的代数余子式，则下列公式成立：定理 4 （克拉默法则） 如果线性方程组的系数矩阵的行列式，那么该线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为其中是把矩阵中第列换成方程组的常数项所成的行列式，即定理 5 如果齐次线性方程组 的系数矩阵的行列式，那么它只有零解.换句话说，如果该方程组有非零解，那么必有.定理 6 （拉普拉斯定理） 设在行列式中任意取定了个行.由这行元素所组成的一切级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式.定理 7 两个级行列式和的乘积等于一个级行列式，其中是的第行元素分别与的第列的对应元素乘积之和：.第三章定理 1 在齐次线性方程组中，如果，
5、那么它必有非零解.定理 2 设与是两个向量组，如果 1）向量组可以经线性表出， 2），那么向量组必线性相关.定理 3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量定理 4 矩阵的行秩与列秩相等.定理 5 矩阵 的行列式为零的充分必要条件是的秩小于.定理 6 一矩阵的秩是的充分必要条件为矩阵中有一个级子式不为零，同时所有级子式全为零.定理 7 （线性方程组有解判别定理） 线性方程组有解的充分必要条件为它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩。定理 8 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于，这里表示系数矩阵的秩.定理 9 如果是方程组的一个特解，那么该方程组的任一个
6、解都可以表成，其中是导出组的一个解.因此，对于方程组的任一个特解，当取遍 它的导出组的全部解时，就给出本方程组的全部解.第四章定理 1 设是数域上的两个矩阵，那么，即矩阵的乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积.定理 2 设是数域上矩阵，是数域上矩阵，于是，即乘积的秩不超过各因子的秩.定理 3 矩阵是可逆的充分必要条件是非退化，而 .定理 4 是一个矩阵，如果是可逆矩阵，是可逆矩阵，那么 .定理 5 任意一个矩阵都与一形式为的矩阵等价，它称为矩阵的标准形，主对角线上1的个数等于的秩（1的个数可以是零）.定理 6 级矩阵为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积： 第五章 定理 1 数域上
7、任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和. 定理 2 在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定理 3 任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的。 定理 4 任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的。 定理 5 （1）任一复对称矩阵都合同于一个下述形式的对角矩阵;,其中，对角线上1的个数等于的秩.（2）任一实对称矩阵都合同于一个下述形式的对角矩阵：，其中对角线上1的个数及-1的个数（是的秩）都是唯一确定的，分别称为的正、负惯性指数.它们的差称为的符号差.定理 6 元实二次型是正定的充分必要条
8、件是它的正惯性指数等于.定理 7 实二次型 是正定的充分必要条件为矩阵的顺序主子式全大于零.定理 8 对于实二次型，其中是实对称的，下列条件等价： （1）是半正定的， （2）它的正惯性指数与秩相等， （3）有可逆实矩阵，使 其中， （4）有实矩阵使， （5）的所有主子式皆大于或等于零.第六章定理 1 如果在线性空间中有个线性无关的向量，且中任一向量都可以用它们线性表出，那么是维的，而就是的一组基.定理 2 如果线性空间的非空子集合对于的两种运算是封闭的，那么就是一个子空间.定理 3 1）两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价.2）的维数等于向量组的秩.定理 4 设是数域上维线
9、性空间的一个维子空间，是的一组基，那么这组向量必定可扩充为整个空间的基.也就是说，在中必定可以找到个向量，使得是的一组基.定理 5 如果是线性空间的两个子空间，那么它们的交也是的子空间.定理 6 如果是的子空间，那么它们的和也是的子空间.定理 7 （维数公式）如果是线性空间的两个子空间，那么 维（）+维（）=维（）+维（）.定理 8 和是直和的充分必要条件是等式 只有在全为零向量时才成立.定理 9 设是的子空间，令，则的充分必要条件为 维（）=维（）+维（）.定理 10 设是线性空间的一个子空间，那么一定存在一个子空间使 .定理 11 是的一些子空间，下面这些条件是等价的： 1）是直和；2）零
10、向量的表法唯一；3） ；4）维（）=.定理 12 数域上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数.第七章定理 1 设是线性空间的一组基，是中任意个向量.存在唯一的线性变换使.定理 2 设是数域上维线性空间的一组基，在这组基下，每个线性变换对应一个矩阵.这个对应具有以下的性质：1） 线性变换的和对应于矩阵的和；2） 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；3） 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；4） 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.定理 3 设线性变换在基下的矩阵是，向量在基下的坐标是，则在基下的坐标可以按公式 计算.定理 4 设线性空间中线性变换在两组基 （6）
11、 （7） 下的矩阵分别为和，从基（6）到基（7）的过渡矩阵是，于是.定理 5 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.定理 6 相似的矩阵有相同的特征多项式.哈密尔顿凯莱（Hamilton-Caylay）定理 设是数域上一个矩阵，是的特征多项式，则.定理 7 设是维线性空间的一个线性变换，的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的充分必要条件是，有个线性无关的特征向量.定理 8 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.定理 9 如果是线性变换的不同的特征值，而是属于特征值的线性无关的特征向量，那么向量组也线性无关.定理 10
12、设是维线性空间的线性变换，是的一组基，在这组基下的矩阵是，则1）的值域是由基像组生成的子空间，即 .2）的秩的秩.定理 11 设是维线性空间的线性变换，则的一组基的原像及的一组基合起来就是的一组基.由此还有 的秩的零度.定理 12 设线性变换的特征多项式为，它可分解成一次因式的乘积.则可分解成不变子空间的直和 ，其中.定理 13 设是复数域上线性空间的一个线性变换，则在中必定存在一组基，使在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵.定理 14 每个级复矩阵都与一个若尔当形矩阵相似.定理 15 数域上级矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件为的最小多项式是上互素的一次因式的乘积.第八章定理 1 一个的-矩阵是可逆
13、的充分必要条件为行列式是一个非零的数.定理 2 任意一个非零的的-矩阵都等价于下列形式的矩阵 其中是首相系数为1的多项式，且.定理 3 等价的-矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子.定理 4 -矩阵的标准形是唯一的.定理 5 两个-矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.定理 6 矩阵是可逆的充分必要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积.定理 7设是数域上的两个矩阵.与相似的充分必要条件是它们的特征矩阵和等价.定理 8 两个同级复数矩阵相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子.定理 9 首先用初等变换化特征矩阵为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同
14、的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是的全部初等因子.定理 10 每个级矩阵的复数矩阵都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵唯一决定的，它称为的若尔当标准形.定理 11设是复数域上线性空间的线性变换，在中必定存在一组基，使在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被唯一决定的.定理 12 复数矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是，的初等因子全为一次的.定理 13 复数矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是，的不变因子都没有重根.定理 14 数域上方阵在上相似于唯一的一个有理标准形，称为的
15、有理标准形.定理 15设是数域上维线性空间的线性变换，则在中存在一组基，使在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由唯一决定，称为的有理标准形.第九章定理 1 维欧式空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.定理 2 对于维欧式空间中任意一组基，都可以找到一组标准正交基，使.定理 3 两个有限维欧式空间同构的充分必要条件是它们的维数相同.定理 4设是维欧式空间的一个线性变换，于是下面四个问题是相互等价的： （1）是正交变换； （2）保持向量的长度不变，即对于； （3）如果是标准正交基，那么也是标准正交基； （4）在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.定理 5 如果子空间两两正交，那么和
16、是直和.定理 6 维欧式空间的每一个子空间都有唯一的正交补.定理 7 对于任意一个级实对称矩阵，都存在一个级正交矩阵，使成对角形.定理 8 任意一个实二次型 都可以经过正交的线性替换变成平方和 ，其中平方项的系数就是矩阵的特征多项式全部的根.第十章定理 1 设是上一个维线性空间，是的一组基，是中任意个数，存在唯一的上线性函数使 .定理 2 的维数等于的维数，而且是的一组基.定理 3 设及是线性空间的两组基，它们的对偶基分别为及.如果由到的过渡矩阵为，那么由到的过渡矩阵为.定理 4 是一个线性空间，是的对偶空间的对偶空间. 到的映射 是一个同构映射. 定理 5 设是上维线性空间，是上对称双线性函
17、数，则存在的一组基，使在这组基下的度量矩阵为对角矩阵.数学分析第一、二章定理1.1（确界原理）设为非空数集.若有上界，则必有上确界；若有下界，则必有下确界.定理2.1 数列收敛于的充要条件是：为无穷小数列.收敛数列的性质：定理2.2（唯一性）若数列收敛，则它只有一个极限.定理2.3（有界性）若数列收敛，则为有界数列，即存在正数，使得对一切正整数有.定理2.4（保号性）若（或），则对任何（或），存在正数，使得当有（或）.定理2.5（保不等式性）设与均为收敛数列.存在正数，使时有，则.定理2.6（迫敛性）设收敛数列，都以为极限，数列满足：存在正数，当时有，则数列收敛，且.定理2.7（四则运算法则）
18、若与收敛，则数列，也都是收敛数列，且有 特别当为常数时有，.若在假设及，则也是收敛数列，且有.定理2.8 数列收敛的充要条件是：的任何非平凡子列都收敛.定理2.9（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限.定理2.10（柯西收敛法则）数列收敛的充要条件是：对任何给定的，存在正整数，使得当时有.第三章定理3.1 .函数极限的性质：定理3.2（唯一性）若极限存在，则此极限是唯一的.定理3.3（局部有界性）若存在，则在的某空心邻域内有界.定理3.4（局部保号性）若（或），则存在任何正数（或）存在，使得对一切有（或）.定理3.5(保不等式性)设与都存在，且在某邻域有,则.定理3.6（迫敛性）设
19、，且在某内有，则有.定理3.7（四则运算法则）若极限与都存在，则函数，当时极限也存在，且1）；2）； 又若，则当存在，且有3）.定理3.8（归结原则）设在内有定义. 存在的充要条件是：对任何含于内且以为极限的数列，极限都存在且相等.定理3.9 设函数在点的某空心右邻域有定义. 的充要条件是：对任何以为极限的递减数列，有.定理3.10 设为定义在上的单调有界函数，则右极限存在.定理3.11（柯西准则）设函数在内有定义. 存在的充要条件是：任给，存在正数（），使得对任何，有.定理3.12 设函数在内有定义，且有. （i）若，则； （ii）若,则.定理3.13（i）设在内有定义且不等于.若为时的无穷
20、小量，则 为时的无穷大量. （ii）若为时的无穷大量，则为时的无穷小量.第四章定理4.1 函数在点连续的充要条件是：在点既是右联系，又是左联系.连续函数的性质：定理4.2（局部有界性）若函数在点连续，则在某内有界.定理4.3（局部保号性）若函数在点连续，则（或），则对任何正数（或），存在某，使得对一切有（或）.定理4.4（四则运算）若函数和在点连续，则，（）也都在点连续.定理4.5 若函数在点连续，在点连续，则复合函数在点连续.定理4.6（最大、最小值定理）若函数在闭区间上连续，则在上有最大值和最小值.定理4.7（介值性定理）设函数在闭区间上连续，且.若为介于与之间的任何实数（或），则至少存在
21、一点，使得.定理4.8 若函数在上严格单调并连续，则反函数在其定义域或上连续.定理4.9（一致连续性定理）设函数在闭区间上连续则在上一致连续.定理4.10 设，为任意实数，则有.定理4.11 指数函数（）在R上是连续的.定理4.12 一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数.定理4.13 任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数.第五章定理5.1 若函数在点可导，则在点连续.定理5.2 若函数在点的某邻域内有定义，则存在的充要条件是与都存在，且.定理5.3（费马定理）设函数在点的某邻域内有定义，且在点可导.若点为的极值点，则必有.定理5.4（达布定理）若函数在上可导，且，为介于，之间任一实数，
22、则至少存在一点，使得.定理5.5 若函数和在点可导，则函数在点可导，且 .定理5.6 若函数和在点可导，则函数在点可导，且.定理5.7 若函数和在点可导，且，则在点可导，且.定理5.8 设为的反函数，若在点的某邻域内连续，严格单调且，则在点（）可导，且.定理5.9 设在点可导，在点可导，则复合函数在点可导，且.定理5.10 函数在点可微的充要条件是函数在点可导，而且中的等于.第六章定理6.1（罗尔中值定理）若函数满足如下条件： （i）在闭区间上连续； （ii）在开区间内可导； （iii）， 则在内至少存在一点，使得.定理6.2（拉格朗日中值定理）若函数满足如下条件： （i）在闭区间上连续； （
23、ii）在开区间内可导； 则在内至少存在一点，使得.定理6.3 设在区间上可导，则在区间上递增（减）的充要条件是（）.定理6.4 若函数在内可导，则在内严格递增（递减）的充要条件是： （i）对一切，有（）； （ii）在内的任何子区间上不恒为0.定理6.5（柯西中值定理）设函数和满足 （i）在上都连续； （ii）在内都可导； （iii）和不同时为零； （IV）， 则存在，使得.定理6.6 若函数和满足： （i）； （ii）在点的某空心邻域内两者都可导，且； （iii）（可为实数，也可为或）， 则.定理6.7 若函数和满足： （i）；（ii）在的某右邻域内两者都可导，且； （iii）（可为实数，也可
24、为或）， 则.定理6.8 若函数在点存在直至阶导数，则，即 定理6.9 （泰勒定理）若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点，使得定理6.10（极值的第一充分条件）设在点连续，在某邻域内可导. （i）若当时，当时，则在点取得极小值. （ii）若当时，当时，则在点取得极大值.定理6.11（极值的第二充分条件）设在的某邻域内存在一阶可导，在处二阶可导，且，. （i）若，则在点取得极大值. （ii）若，则在点取得极小值.定理6.12（极值的第三充分条件）设在的某邻域内存在直到阶导函数，在处阶可导，且，则 （i）当为偶数时，在点取得极值，且当时取得极大值，时取得
25、极小值. （ii）当为奇数时，在点处不取得极值.定理6.13 设为区间上的可导函数，则下述判断互相等价： 为上的凸函数； 为上的增函数； 对上的任意两点，有.定理6.14设为区间上的二阶可导函数，则在上为凸（凹）函数的充要条件是（），.定理6.15 若在二阶可导，则为曲线的拐点的必要条件是.定理6.16 设在可导，在某邻域内二阶可导.若在和上 的符号相反，则为曲线的拐点.第七章定理7.1（区间套定理） 若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得，即，定理7.2（魏尔斯特拉斯聚点定理）实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点.定理7.3（海涅-博雷尔有限覆盖定理）设为闭区间的一个（无限）开覆
26、盖，则从中可选出有限个开区间来覆盖.有界性定理 若函数在闭区间上连续，则在上有界.最大、最小值定理 若函数在区间上连续，则在上有最大值和最小值.介值性定理 设函数在闭区间上连续，且.若介于与之间的任意实数（或），则存在，使得.一致连续性定理 若函数在区间上连续，则在区间上一致连续.第八章定理8.1 若函数在区间上的连续,则在上存在原函数,.定理8.2 设是在区间上的一个原函数，则 （i）也是在上的原函数，其中为任意常量函数； （ii）在上的任意两个原函数之间，只可能差一个常数.定理8.3 若函数与在区间上都存在原函数，为两个任意常数，则在上也存在原函数，且.定理 8.4（换元积分法）设在上有定
27、义，在上可导，且，并记. （i）若在存在原函数，则在也存在原函数，即.（ii）又若，则上述命题（i）可逆，即当在 存在原函数时，在也存在原函数，且，即.定理8.5 （分部积分法）若与可导，不定积分存在，则 存在，并有.第九章定理9.1 若函数在上连续，且存在原函数，即，则在可积，且.定理9.2 若函数在上可积，则在上必定有界.定理9.3（可积准则）函数在上可积的充要条件是：任给，总存在相应一个分割，使得.定理9.4 若为上的连续函数，则在上可积.定理9.5 若为区间上只有有限个间断点的有界函数，则在上可积.定理9.6若为上的单调函数，则在上可积.定理9.7（积分第一中值定理）若为上的连续函数，
28、则至少存在一点，使得.定理9.8（推广的积分第一中值定理）若与都在上连续，且在上不变号，则至少存在一点，使得.定理9.9 若在上可积，则定义的在上连续.定理9.10（原函数存在定理）若在上连续，则定义的在上处处可导，且.定理9.11（积分第二中值定理）设函数在上可积. （i）若函数在上减，且，则存在，使得. （ii）若函数在上增，且，则存在，使得定理9.12（定积分换元积分法）若在上连续，在上连续可微，且满足，则有定积分换元公式：.定理9.13（定积分分部积分法）若，是上的连续可微函数，则定积分分部积分公式：.第十、十一章定理10.1 设曲线有参数方程给出.若为一光滑曲线，则是可求长的，且弧长为.定理11.1 无穷积分收敛的充要条件是：任给，存在，只要，就有.定理11.2 （比较法则）设定义在上的两个函数和都在任何有限区间上可积，且满足，则当收敛时必收敛（或者，当发散时，必发散）.定理11.3（狄利克雷判别法）若在上有界，在上当时单调趋于0，则收敛.定理11.4（阿贝尔判别法）若收敛，在上单调有界，则收敛.定理11.5 瑕积分（瑕点为）收敛的充要条件是：任给，存在，只要，总有.定理11.6（比较法则）设定义在上的两个函数与，瑕点同时为，在任何上都可积，且满足，则当收敛时，必收敛（或者，当发散时，必发散）.
