1、1.用伊藤引理验证式(12.3)是随机微分方程(12.2)的解。先定义G=lnS，则我们可以求得:GS=1S ，2GS2=-1S2 ，Gt=0由于S满足dSt=Stdt+StdZ，可以对G利用伊藤引理，并将上式带入，有：dG=dlnSt=-22dt+Zt关于时间从0到t对上式积分，有：lnSt-lnS0=lnStS0=-22dt+Zt整理可得：St=S0e(-122)t+Zt2.假设股票价格服从几何布朗运动,计算其在未来某确定时刻的期望值及方差(即对数正态分布的均值与方差)。根据第1题，有：dG=dlnSt=-22dt+dZt （*）其中和为常数，以上方程说明G满足一个广义维纳过程，其漂移率为
2、常数-22，波动率为常数2。对（*）式两边从0到T积分得lnST= lnS0+-22T+ZT （#）ST服从对数正态分布lnST lnS0+-22T,2T 解（#）得ST=S0Exp-22T+ZT注意到Exp-22T+ZT是一个指数鞅，因此直接计算可得EST=S0ExpTVarST=EST2- E2ST= S02Exp2T(Exp2T-1)另外，本题也可以直接利用对数正态分布的密度函数求出对数正态的各阶矩。详见http:/www-2.rotman.utoronto.ca/hull/technicalnotes/TechnicalNote2.pdf3.不求积分,直接推导出看涨期权到期时不被执行的
3、概率。看涨期权被执行的概率就是STK的概率，其中ST是T时刻的股票价格。在风险中性的世界有:ST= S0Expr-22T+ZT STK的概率与lnSTlnK的概率相同，则：ProblnSTlnK=ProblnS0+r-22T+ZTlnK=ProbZTlnK-lnS0-r-22T=ProbzeK+(lnST-K)g(ST)dST，（*）其中g(ST)为ST的密度函数。令x=lnST,则x服从正态分布(lnS0+r-122T,2T)作变量替换将x代入（*）式得e-rTEmaxlnST-K,0=e-rTxK+(x-K)h(x)dx (#)其中hx=e-x12Te-(x-lnS0+r-122T)222
4、T对（#）的指数部分配方，积分即可。10.证明期货的公平价值满足布莱克-斯科尔斯方程。期货的公平价值为：f=S-Ke-r(T-t)布莱克-斯科尔斯方程为：ft+rSfS+122S22fS2=rf将期权的公平价值式带入布莱克-斯科尔斯方程左侧，有：-rKe-rT-t+rS=r(S-Ke-r(T-t)括号内刚好为期货的公平价值，值为f，因此左侧的值为rf，满足布莱克-斯科尔斯方程。11.设x=lnS,将布莱克斯科尔斯方程用x和v(期权价格)表示出来。由题可知：vS=vxxS=1Svx2vS2=2vx2xSxS+vx2xS2=1S22vx2-1S2vx将上述二式带入到布莱克-斯科尔斯方程中有：vt+
5、rS(1Svx)+122S2(1S22vx2-1S2vx)=rv整理得：vt+(r-122)vx+1222vx2=rv12.假设无风险利率很低以致可以忽略不计,波动率为15%,当前股票价格为50,欧式看涨期权一年到期,行权价为50。需要用多少股份数来对冲这个看涨期权(通过心算估计)?根据例12-5，对冲份数即为Nd1有：d1=lnS0K+r+122TT将S0=50，=0.15，T=1，K=50，r=0代入，可得d1=0.075查正态分布表，得对冲份数Nd1=0.5313.计算所有次月到期的S&P500指数欧式看涨期权在最近一个交易日的价格。提示:历史波动率的估算,请参见赫尔的教科书。要利用布莱
6、克-斯科尔斯公式计算所有次月到期的S&P500指数欧式看涨期权在最近一个交易日的价格，需要的参数有S、T、K、r、。其中前四个参数都可以在市场中直接得到，其中r可参考Libor或者联邦基准利率，这里只讨论如何用历史数据估计波动率。定义n+1为观测次数，Si为第i个时间区间结束时变量的价格，其中i=0,1,n，为时间区间的长度，以年为单位。令：ui=ln(SiSi-1)，i=0,1,nui的标准差s通常估计为：s=1n-1i=1n(ui-u)2其中u为ui的均值。由于ui的标准差为，而s是的估计值。所以本身可以被估计为，估计值为：=s14.讨论用几何布朗运动模拟股票价格的优缺点。一方面，股票的价
7、格变动类似于随机游走，从数据上而言，几何布朗运动在相对简洁的前提下，比较接近地反映了股票价格的波动，另一方面几何布朗运动可以保证股票的价格非负，符合现实情况。但同时，几何布朗运动的要求又过于严格。它要求股票价格符合对数正态分布，但在现实中往往存在明显的肥尾现象。此外，几何布朗运动还要求股票价格的变动是连续的，但现实世界里股票的价格使离散的，并且有跳。对数正态分布表面股价收益率可以取到任意负值，实际上股票是有限责任，最多-100%。15.对式(12.14)两边取伊藤微分,应该有:dV-dS+fPdP-Sd+PdfP=0 （*）这与式(12.10)不一致。请解释原因。式（12.10）为：dV-fs
8、dS-fpdP=0式（12.14）为：V-S-fpP=0其中=V/S。从数学上讲，（*）才是正确的，尽管（12.10）不影响最终的结果。从金融上，Peter Carr利用复制的自融资投资方法，解释了（12.10）也可以自圆其说，这里不赘述。有兴趣的同学可参见 Peter Carr.FAQs in Option Pricing Theory. 1999.第4个去问他。 链接： https:/pdfs.semanticscholar.org/4bc9/4be583ad44417ddf4fe5923ee8192b9e60c2.pdf 16.如果期权的市场交易价格与布莱克斯科尔斯无套利公平价格不一样,
9、你能通过套利获得无风险的收益吗?期权的市场交易价格与布莱克-斯科尔斯无套利公平价格不同有非常多可能的原因，并不总是能够套利获得无风险的收益。一种可能性是布莱克-斯科尔斯模型的部分假定不满足市场中的实际情况，比如存在交易费用、股票价格不满足几何布朗运动等等。还有一种可能性是布莱克-斯科尔斯模型的参数只能通过历史数据进行估计，因此估计出的不一定是真正波动率的反映，期权的隐含波动率和标的资产的波动率有很大的差异，前者反应了投资者很多的恐慌性情绪在里面。因此，以上情况并不能够套利获得无风险收益，只有当明显偏离，进入了一个安全边际时才可能进行适当套利。17.我们说股票无法定价,但期权可以定价。既然期权价
10、格是股票价格的函数,在知道期权价格的情况下,取这个函数的反函数之后,不就可以对股票定价了吗?股票不是说无法定价，只是说定不准，因为除了公司基本面外，还存在投资者情绪，以及市场整体环境下给股票的溢价水平等太多影响因素。期权是股票价格和时间的函数，这本身就是非常强的一个假定，在此假定下，基于无套利原理，利用期权对股票来相对定价。对期权取反函数，数学上的确可以得到一个“股票价格”，但这个价格是“风险中性股票价格”。绕了复杂的一大圈，效果肯定还不好，因为这里存在非常多的问题，有兴趣的同学，可看看Bakshi G, Kapadia N, Madan D. Stock Return Characteris
11、tics, Skew Laws, and the Differential Pricing of Individual Equity OptionsJ. Review of Financial Studies, 2003: 101-143. 首先无风险利率在现实世界究竟是多少并不清楚，另外，期权定价公式中的参数本身也存在隐含波动率和历史波动率的差异。再者，若利用的是布莱克-斯科尔斯期权公式，则基本前提是股票价格满足几何布朗运动，且不说股价是否真的服从对数正态分布，即使满足，也表明股价是随机的，也就不存在定价错误的说法了。因此，学术上没有人采用期权的反函数对股票进行定价。18.Liu等(2011)指出,无法用不能卖空来解释认购权证的负溢价现象。你认为呢? 根据Liu的文章，尽管A股市场由于卖空限制而不完整，但观察到的负溢价现象不能用这种限制加以解释。文章的结果表明，理性投资者可以充分利用这一现象进行相应的交易，以使得股票价格变化，因此，这些权证的价格不得低于其内在价值。文章给了出两个负溢价现象的解释，一个是投资者非理性和经验匮乏，另一个是A股市场的T+1交易制度。权证和期权存在很大的差异，前者有发行规模，买卖有换手率，后者只要发现有价格套利，理论上可以一直套利直至溢价消失。
