1、按秘密级事项管理丹东市2023届高三总复习质量测试（二）数学注意事项：l.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.本试卷共22题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。l.已知向量a=(2,1),b=(3,2)，则a(ab)=A.5 B.3 3 2.不等式1的解集为x+2 C.3B.xl
2、xlD.5A.xlxl,x#2C.x|2xlD.xixl3.直线x+ay3=0 与直线(a+l)x+2y6=0 平行，则a=A.2 B.1C.2或1D.l或24.古希腊科学家阿基米德发明了享誉世界的汲水器，称为阿基米德螺旋泵，两千多年后的今天，左图所示的螺旋泵，仍在现代工农业生产中使用，其依据是“阿基米德螺线”.y X 竺琴零琴三4，泾：三毛一它二三今室令三云亏=三-在右图所示的平面直角坐标系xOy中，点A匀速离开坐标系原点o,同时又以固定的角速度绕坐标系原点0逆时针转动，产生的轨迹就是“阿基米德螺线”，该阿基米德螺线与坐标轴交点依次为A1(l,0)，A2(0,2),AJ(3,0)，儿(0,4
3、),A5(5,0),按此规律继续，若四边形A,A+,A11+2A11+3的面积为220,则n=A.7B.8C.9D.10数学试题第1页（共4页）数学试题答案第1页（共8页）丹东市丹东市 2023 届高三总复习质量测试（届高三总复习质量测试（二二）数学试题评分参考 一、选择题 1B 2C 3A 4C 5D 6A 7D 8D 二、选择题 9BC 10AC 11ABD 12BCD 三、填空题 137 1422 1512 169 四、解答题 17解：（1）当 n2 时，由 nan1Snn(n1)21 得(n1)anSn1n(n1)21，两式相减得an1an1 由a15，得a2S15，从而an1是以 5
4、 为首项，1 为公差的等差数列 故an1a2(n1)(1)6n 因为 716a1，所以an 5，n1，7n，n2 （5 分）（2）由题设及（1）可知Snnan1n(n1)2112(n6.5)21618 当 n6 和 n7 时，Sn取最大值 20，于是Sn20 （10 分）18解：（1）f(x)2sin(x3)，由2，得 2 列表如下：x 0 12 3 712 56 2x3 3 2 32 2 73 f(x)3 2 0 2 0 3 描点连线，得 f(x)在0，)内的图象简图：数学试题答案第2页（共8页）（6 分）（2）解法 1：由 f(x)在12，712上是减函数知71212T2，因为 T2，所以
5、 2 因为 0，x12，712，所以 x3123，7123 由 02 得31232，3712332，由题意只能1232，从而 2 （12 分）解法 2：因为 0，x12，712，所以 x3123，7123 由题设知123，71232k2，2k32，kZ，从而 1232k2，71232k32 解得 24k2247k2因为 0，所以 247k20，24k2247k2 故712k0，因为 kZ，所以 k0，于是 2 （12 分）19解法 1：（1）因为平面 CDD1C1平面 ABCD，ADDC，所以 AD平面 CDD1C1，D1DC 是二面角D1ADC 的平面角，故D1DC120 连结 DE，则 D
6、EC1D1，从而 DECD又 ADCD，DEADD，所以 CD平面AED，因此 CDAE （6 分）y 12 3 712 563 x O 2 2 数学试题答案第3页（共8页）D1 C B A A1 B1 C1 F E G O D D1 C B A A1 B1 C1 F E D y x zH D1 C B A A1 B1 C1 F E G I D（2）设 AB2，则 DE 3，所以 CEAE AD2DE2 7 连结 AC 交 BD 于点 O，连结 CE 交交 DF 于点 G，连结 OG因为 AE平面 BDF，所以 AEOG，因为 O 为 AC 中点，所以 G 为 CE 中点，故 OG12AE72
7、且直线 OG 与 DF所成角等于直线 AE 与 DF 所成角 在 RtEDC 中，DG12CE72，因为 OD 2，所以 cosOGD(72)2(72)2(2)22727237 因此直线 AE 与 DF 所成角的余弦值为37 （12 分）解法 2：（1）同解法 1（2）设 AB2，则 DE 3，所以 AE AD2DE2 7 取 DC 中点为 G，连结 EG 交交 DF 于点 H，则 EGDD12 连结 AG 交 BD 于点 I，连结 HI，因为 AE平面 BDF，所以 AEIH 直线 HI 与 DH 所成角等于直线 AE 与 DF 所成角 正方形 ABCD 中，GI13AG，DI13DB2 2
8、3，所以 GH13EG，故 HI13AE73 在DHG 中，GH13EG23，GD1，EGD60，由余弦定理 DH73在DHI 中，cosDHI(73)2(73)2(2 23)22737337 因此直线 AE 与 DF 所成角的余弦值为37 （12 分）解法 3：（1）同解法 1（2）由（1）知 BE平面 ABCD，以 D 为坐标原点，DA为 x 轴正方向，|DA|为 2 个单 位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz 由（1）知 DE 3，得 A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，0，3)，C1(0，1，3)则CC1(0，1，3)，DC(0，2，0)，AE(2，0
9、，3)，DB(2，2，0)由CFtCC1(0t1)，得DFDCCF(0，2t，3t)数学试题答案第4页（共8页）因为 AE平面 BDF，所以存在唯一的，R，使得AEDBDF，解得 t23，从而DF(0，43，233)所以直线 AE 与 DF 所成角的余弦值为|cos|AEDF|AE|DF|37 （12 分）20解：（1）f(x)定义域为(0，)，f(x)1axx，由 f(12)0 得 a2 若 a2，当 0 x12时，f(x)0，f(x)单调递增；当 x12时，f(x)0，f(x)单调递减 因此 a2 （4 分）（2）设 g(x)xf(x)(x12)2，则 g(x)lnx2x2f(x)因为 g
10、(e2)2e20，g(12)1ln20，所以存在唯一x0(0，12)，使 g(x0)0，且当 0 xx0时，g(x)0，g(x)单调递减；当x0 x12时，g(x)0，f(x)单调递增，当 1x32时，g(x)0，g(x)单调递减 由 g(x0)0 得 lnx02x02，所以 g(x0)(x012)20 因此当 0 x12时，g(x)g(x0)0 而 g(32)12(ln27ln8e)0，于是当 0 x32时，xf(x)(x12)20 （12 分）21解：（1）法 1：记甲地小白鼠样本 X 值的平均数为-x，方差为s21；记乙地小白鼠样本 X 值的平均数为-y，方差为s22，则-x14，-y2
11、1，s216，s2217，所以 120-x90-y21012014902121017 2120s21(-x)290s22(-y)2210 46(1417)2317(2117)27 23 （4 分）法 2：记甲地小白鼠样本的 X 值为x1，x2，x120，平均数为-x，方差为s21；记乙地小白鼠样本的 X 值为y1，y2，y90，平均数为-y，方差为s22 因为-x14，-y21，s216，s2217所以 120-x90-y21012014902121017 由k1120(xk)-x)2120s21，k1120(xk)-x)0，可得 数学试题答案第5页（共8页）k1120(xk)2k1120(x
12、k)-x-x)2 k1120(xk)-x)22(xk-x)(-x)(-x)2 k1120(xk)-x)22(-x)k1120(xk)-x)k1120()-x)2 120s21120(-x)2 3060 同理k190(yk)290s2290(-y)23099，于是 s21210k1120(xk)2k190(yk)23060309921023 （4 分）（2）法 1：因为 234.8，所以 P(12.2X21.8)P(X)0.68 从注射过疫苗的小白鼠取出 N 只，其中产生抗体的有 K 只，则 KB(N，0.68)，P(Kk)C102N0.32N(178)k(k0，1，2，N)当 N102 时，P
13、(K102)0；当 N102 时，P(K102)(178)102C102N0.32N 记(N)(178)102C102N0.32N，则(N)(N1)C102N0.32C102N1N1010.32(N1)由(N)(N1)1 等价于 N1010.32(N1)，当且仅当 N101.320.68149，知当 103N148 时，(N)(N1)；当 N149 时，(N)(N1)；当 N149 时，(N)(N1)；故 N149 或 N150 时，(N)最大，所以 N 的估计值为 149，或 150 （8 分）法 2：因为 234.8，所以 P(12.2X21.8)P(X)0.68 从注射过疫苗的小白鼠取出
14、 N 只，其中产生抗体的有 K 只，则 KB(N，0.68)，P(Kk)C102N0.32N(178)k(k0，1，2，N)当 N102 时，P(K102)0；当 N102 时，P(K102)(178)102C102N0.32N 若 N102，则 P(K102)178102P(K101)P(K101)若 N103，则 (178)102C102N0.32N(178)102C102N10.32N1，(178)102C102N0.32NC102N10.32N1 化简得 0.32(N1)N101，0.32NN102解得 149N150 综上，N 的估计值为 149，或 150 （8 分）数学试题答案第
15、6页（共8页）（3）记 n 只小白鼠检测费用为 Y 元，当 n 只小白鼠全部产生抗体时，Yn9，当 n只小白鼠不都产生抗体时，Y11n9，则 P(Yn9)0.991n，P(Y11n9)10.991n 因此 E(Y)n(n9)0.991n(11n9)(10.991n)n1110(10.009)n9n 因为 n50，所以(10.009)n1C1n0.0091C2n0.0092C3n0.009310.009n 故E(Y)n0.09n9n120.09n9n12.8，当且仅当 n10 时取等号 于是每只小白鼠平均检测费用的最小值约为 2.8 元，n 的估计值为 10 （12 分）【注 1】（2）等价于这
16、个问题：数列an中，an 0，1n102，(178)102C102n0.32n，n102，求使an取最大值时的 n 值【注 2】（2）法 2 若 N102 时的验证不可少【注 3】（2）因为 234.8，所以 P(12.2X21.8)P(X)0.68 从注射过疫苗的小白鼠取出 N 只，其中产生抗体的有 Y 只，则 KB(N，0.68)，P(Kk)C102N0.32N(178)k(k0，1，2，N)（5 分）【以下得以下得 0 分分】因为使 P(Kk)取得最大值时的整数 k102，所以 C102N0.32N(178)102C101N0.32N(178)101，C102N0.32N(178)102
17、C103N0.32N(178)103 化简得 N1011020.320.68，N1021030.320.68解得 149N150.47 因此 N 的估计值为 149，或 150 （5 分）22解法 1：（1）由题设 4a2，a2由a2b2 a32，得 b1 所以 C 的方程为x24y21 （4 分）（2）A(2，0)，B(2，0)，设 M(x1，y1)，则y214x214，所以直线 AM 与 BM 的斜率之积为y1x12y1x12y21x21414 因为直线 BM 与 BN 的斜率之积为34，所以直线 BN 斜率为 AM 斜率的 3 倍 （6 分）数学试题答案第7页（共8页）因为M1(x1，y
18、1)，设 N(x2，y2)，由 y2x223y1x12，y2x24y1x14得x25x182x15，y23y12x15 由对称性知 MN 经过 x 轴上的定点 Q(t，0)，因为y2x2t3y12x155x182x15t3y1(52t)x1(85t)，由y2x2ty1x1t，得 t1，所以 MN 经过定点 Q(1，0)（8 分）所以|S1S212|QA|QB|y1y2 2y1(4x1)2x15(4x21)(4x1)2(2x15)2 14(52x1952x12)264 设 52x1x，因为2x12，所以 1x9设 f(x)x9x，f(x)(x3)(x3)x，因为当 1x3 时，f(x)0，当 3
19、x9 时，f(x)0，所以 6f(x)10 因此|S1S214f(x)226414(62)264 3，当且仅当 x3 取等号，取等号时，x11，y132 于是当 M(1，32)，N(1，32)时，|S1S2取最大值 3 （12 分）解法 2：（1）同解法 1（2）A(2，0)，B(2，0)，设 M(x1，y1)，则y214x214，所以直线 AM 与 BM 的斜率之积为y1x12y1x12y21x21414 因为直线 BM 与 BN 的斜率之积为34，所以直线 BN 斜率为 AM 斜率的 3 倍 （6 分）因为M1(x1，y1)，设 N(x2，y2)，由 y2x223y1x12，y2x24y1
20、x14得x25x182x15，y23y12x15 由y211x214，知x224y22(5x18)24(2x15)29y21(2x15)2(5x18)2369x214(2x15)21，故点 N 在 C 上 数学试题答案第8页（共8页）由对称性知 MN 经过 x 轴上的定点 Q(t，0)，因为y2x2t3y12x155x182x15t3y1(52t)x1(85t)，由y2x2ty1x1t，得 t1，所以 MN 经过定点 Q(1，0)（8 分）可知 MN 不垂直于 y 轴，设 MN：xmy1，联立x24y21 得(m24)y22my30，因为16(m23)0，所以y1，y2m2m23m24，因此|S1S212|QA|QB|y1y24 m23m244(1m2412)214 由(1m2412)21434，得|S1S2 3，当 M(1，32)，N(1，32)时等号成立，于是|S1S2取最大值 3（12 分）
