1、1.11.1计算方法的任务与特点计算方法的任务与特点 科学与工程计算过程：实际问题实际问题数学模型数学模型数值问题数值问题算法算法程序程序调试调试结果结果计算机用途分类：计算机用途分类：科学计算、数据处理科学计算、数据处理第1页/共36页计算方法的特点计算方法的特点 严密的科学性、实验的技术性、高度的抽象性、应用的广泛性、提供算法、算法分析、兼顾计算机的特点：严密的科学性、实验的技术性、高度的抽象性、应用的广泛性、提供算法、算法分析、兼顾计算机的特点：有效数字（精度）、运算量、存储量等。有效数字（精度）、运算量、存储量等。第2页/共36页第一章第一章 绪论绪论第二章第二章 线性方程组求解线性方
2、程组求解第三章第三章 非线性方程求解非线性方程求解第四章第四章 矩阵特征值问题（不讲）矩阵特征值问题（不讲）第五章第五章 函数的插值函数的插值第六章第六章 曲线拟合曲线拟合第七章第七章 数值积分和数值微分数值积分和数值微分第八章第八章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 本课程主要内容本课程主要内容第3页/共36页1.2 1.2 误差知识误差知识（误差与数值计算中的误差估计）（误差与数值计算中的误差估计）内容提要：内容提要：1.1.误差的来源及其分类误差的来源及其分类2.2.误差的度量（误差与有效数字）误差的度量（误差与有效数字）3.3.数值计算的误差估计数值计算的误差估计第4页/共36页一
3、、误差来源及其分一、误差来源及其分类类1)1)模型误差（描述误差）模型误差（描述误差）反映实际问题有关量之间的计算公式（数学模型）通常是近似的。反映实际问题有关量之间的计算公式（数学模型）通常是近似的。2 2）观测误差）观测误差第5页/共36页3 3）截断误差（方法误差）截断误差（方法误差）数值方法精确解与待求解模型的理论分析解之间的差异。数值方法精确解与待求解模型的理论分析解之间的差异。这是由于我们需要将无穷过程截断为有限过程，而使得算法必须在有限步内这是由于我们需要将无穷过程截断为有限过程，而使得算法必须在有限步内执行结束而导致的。执行结束而导致的。neeee,!n1!21!111,!21
4、!111n例如：例如：第6页/共36页4 4）舍入误差）舍入误差 以四舍五入为例（也可以五舍六入等）最多舍去或添加最后一位的半个单位。注意：与截断误差不同！第7页/共36页二、误差的度量二、误差的度量1)绝对误差2)相对误差3)有效数字4)度量间的关系第8页/共36页1.1.绝对误差绝对误差绝对误差定义：准确值绝对误差定义：准确值 x 减近似值减近似值 x*)(*xExx在不引起混淆时，简记在不引起混淆时，简记E E(x(x*)为为 E E。,*xxx。举例说明 如果存在正数如果存在正数)(*x，使得有绝对误差，使得有绝对误差 （*)xxxE，则称则称为为 x*近似近似 x 的一个的一个绝对误
5、差限绝对误差限。注意:通常计算中所要求的误差，是指估计一个通常计算中所要求的误差，是指估计一个尽可能小的绝对误差限。尽可能小的绝对误差限。绝对误差限：绝对误差限：书上有错！改正第9页/共36页2.2.相对误差相对误差 绝对误差限虽然能够刻划对同一真值不同近绝对误差限虽然能够刻划对同一真值不同近似的好坏，但它不能刻划对不同真值近似程度似的好坏，但它不能刻划对不同真值近似程度的好坏的好坏 。定义定义 设设 x*是对准确值是对准确值 x（0）的一个近似，称）的一个近似，称 *)()(xxExxxxEr 为为 x*近似近似 x的相对误差。不引起混淆时，简记的相对误差。不引起混淆时，简记)(*xEr为为
6、 rE.第10页/共36页 相对误差限：数值相对误差限：数值*)(xEr的上界，记为的上界，记为 )(*x。相对误差限也可以通过相对误差限也可以通过|*x来计算。来计算。Remark1Remark1:当要求计算相对误差，是指估计一个当要求计算相对误差，是指估计一个尽可能小的相对误差限。尽可能小的相对误差限。Remark2Remark2:相对误差及相对误差限是无量纲的，但绝对相对误差及相对误差限是无量纲的，但绝对误差以及绝对误差限是有量纲的。误差以及绝对误差限是有量纲的。第11页/共36页有效数：当有效数：当x*为为四舍五入得到的近似数，四舍五入得到的近似数，则称则称x*为有效数。为有效数。有效
7、数的绝对误差限、有效数的绝对误差限、相对误差限，有效数字位数举例：相对误差限，有效数字位数举例：例若有效数x*=1.02,则绝对误差限：(x*)=0.005相对误差限：(x*)=(x*)/|x*|=0.0049，x*具有3位有效数字.若有效数x*=2500，则绝对误差限(x*)=0.5，相对误差限(x*)=(x*)/|x*|=0.0002x*具有4位有效数字.第12页/共36页 若有效数x*=25102，则(x*)=50，(x*)=(x*)/|x*|=0.02，x*具有2位有效数字.注意：有效数 2500=25.00102但与 25102的误差不同；当然与一个准确数2500也不同。关于某一位的
8、半个单位第13页/共36页3.3.有效数字（教材第有效数字（教材第6 6页中间）：页中间）：若近似数若近似数x x*的绝对误差限是（不超过）某一位的半个单位，则称其精确到的绝对误差限是（不超过）某一位的半个单位，则称其精确到这一位，且从该位到这一位，且从该位到x x*的第一位非零数字共有的第一位非零数字共有n n位，则称近似数位，则称近似数x x*具有具有n n位位有效数字有效数字.（黑板举例）分两种情况：有效数的有效数字位数。若既知道x*（非有效数），又知道x时，如何求有效数字位数？见下例：第14页/共36页 举例：举例：x=3.1415926x=3.1415926,近似数近似数 x x1
9、1*=3.14102,x=3.14102,x2 2*=3.142=3.1422*11021005.000057.0 xx3*210210005.000040.0 xx3 3位有效数字，非有效数！位有效数字，非有效数！4 4位有效数字，有效数位有效数字，有效数注意：一个有效数，若知道对应的准确数，此时所求误差限可能不同。而有效数字位数怎样求都一样。第15页/共36页 定义定义：设设x x的近似值的近似值 x*有如下标准形式有如下标准形式 mx10.0n21*，其中其中 m m 为整数，为整数，9,2,1,0 i且且01.如果有如果有 nm2110E(x*)*xx，则称则称x x*为为x x的具有
10、的具有 n n位有效数字的近似数，或称位有效数字的近似数，或称x x*准确到准确到 nm10位，其中数字位，其中数字n21,分别被称为分别被称为 x*的第一、二、的第一、二、n n 个有个有效数字。效数字。数的标准形式数的标准形式第16页/共36页 Remark1Remark1:有效数的误差限是末位数单位的一半，有效数的误差限是末位数单位的一半，可见有效数本身就体现了误差界。可见有效数本身就体现了误差界。Remark2Remark2:对真值进行四舍五入得到有效数。对真值进行四舍五入得到有效数。Remark3Remark3:准确数字有无穷多位有效数字。准确数字有无穷多位有效数字。Remark4R
11、emark4:从实验仪器所读的近似数（最后一为从实验仪器所读的近似数（最后一为是估计位）不是有效数，估计最后一位是为了确是估计位）不是有效数，估计最后一位是为了确保对最后一位进行四舍五入得到有效数。保对最后一位进行四舍五入得到有效数。例例 从最小刻度为厘米的标尺读得的数据从最小刻度为厘米的标尺读得的数据123.4cm123.4cm是为了得到有效数是为了得到有效数123.cm,123.cm,读得数据读得数据156.7cm156.7cm是为了得到有效数是为了得到有效数157.cm157.cm。第17页/共36页4.4.误差度量间的联系误差度量间的联系 绝对误差与相对误差绝对误差与相对误差nmxE1
12、0)(21*定理：10 若 x*具有 n 位有效数字，则相对误差 n111021*)(xEr；20 若相对误差 n1110)1(21*)(xEr，则 x*至少具有 n 位有效数字。F绝对误差与有效数字（教材第绝对误差与有效数字（教材第7页页1.2.2式）式）F相对误差与有效数字（相对误差与有效数字（教材第第8页页1.2.3式）式）)(/)(*xExxEr第18页/共36页定理证明定理证明nm1021)(*)(*rxxxExE n11nm11-m1021101021 o1o2)1(1010)1(21*)()(11-mn11xxExE*r*nm1021 证毕,10)1(1011*11mmxnmxE
13、1021)(*第19页/共36页Remark 1 1、该定理实质上给出了一种求相对误差限的方法。、该定理实质上给出了一种求相对误差限的方法。2 2、仅从、仅从 并不能保证并不能保证x x*一定具一定具有有n n位有效数字。如位有效数字。如 设其近似值设其近似值a=0.484a=0.484，其相对误差为：，其相对误差为：我们并不能由此断定我们并不能由此断定a a有两位有效数字，因为有两位有效数字，因为nrxE111021*）（4900.00229sinA21104210125.0012397.0484.0484.04900.0201021005.00600.0484.04900.0aA第20页/
14、共36页例题例题为使为使5x的近似值的近似值x x*的相对误差不超过的相对误差不超过 1%1%，问查开方表，问查开方表时至少要取几位有效数字？时至少要取几位有效数字？设近似数设近似数x x*保留保留 n n 位有效数字可满足题设要求位有效数字可满足题设要求.解：解：对于5x，有1=2.依据定理依据定理 1 1o o有有 n1n11r10411021*xE）（令01.01041n1，解得2.4n.取 n=3 位有效数字。#第21页/共36页三、数值运算的误差估计三、数值运算的误差估计 由于自变量的误差，引起函数值的误差。也称为误差传播。这种函数值的误差往往很难精确描述，只能大体估计。例如一元函数
15、，二元函数，等。设设 n n 元可微函数元可微函数),(n21xxxfy中的自变量中的自变量 x1、x2、xn是相互独立的。是相互独立的。用自变量的近似值进行准确计算，得用自变量的近似值进行准确计算，得y y*=),(*n21xxxf。y*的绝对误差E(y*)=y-y*,相对误差Er(y*)=(y-y*)/y*,第22页/共36页复习泰勒公式复习泰勒公式)()()()(!11)()(*111*nnnxxxpfxxxpfpfpf记点记点),(*2*1nxxx为为 p p*,点点),(21nxxx为为 p p，n n 元泰勒公式元泰勒公式：2*2*11*1*2*222*2*11*2212*2*11
16、1*22*1111*2)()()()()()()()()()()()(!21nnnnnnnnnnnnnxxxxpfxxxxxxpfxxxxxxpfxxxxxxpfxxxxxxpfxxxxpf第23页/共36页泰勒公式分析初值误差传播泰勒公式分析初值误差传播设设 n n 元可微函数元可微函数),(n21xxxfy中的自变量中的自变量 x1、x2、xn是相互独立的。是相互独立的。用自变量的近似值进行准确计算，得用自变量的近似值进行准确计算，得y y*=),(*n21xxxf。当当*1x、*2x、*nx很好地近似了相应真值时，利用多元函很好地近似了相应真值时，利用多元函数一阶数一阶 TaylorTa
17、ylor 公式求得公式求得y y*的绝对误差：的绝对误差：(第第 9 9 页页 1 1.2 2.5 5 式式)n1i*ii*n*1*)(,()(xxxxfxyyyEi n1i*i*n*1)(),(xExxfxi 第24页/共36页相对误差（教材第相对误差（教材第9页页1.2.6式）：式）：n1i*i*i*n*1*i*)(),()()(xxExxfxyxyyEyEir n1i*i*n*1*i)(),(xExxfxyxri 进而得到如下绝对误差限和相对误差限传播关系：进而得到如下绝对误差限和相对误差限传播关系：|)(|),(|)(|n1i*i*n*1*xExxfxyEi|)(|),(|)(|n1i
18、*i*n*1*i*xExxfxyxyErir 第25页/共36页例题：参见教材第例题：参见教材第10页例页例3求导数复习：基本初等函数的导数；四则运算的导数；复合函数求导。第26页/共36页v选用数值稳定性好的算法。v定义定义：一个算法：一个算法,如果在运算过程中舍入误差如果在运算过程中舍入误差在一定条件下能够得到控制在一定条件下能够得到控制,或者舍入误差的或者舍入误差的增长不影响产生可靠的结果增长不影响产生可靠的结果,则称该算法是数则称该算法是数值稳定的值稳定的,否则称其为数值不稳定否则称其为数值不稳定.dxxxInn105v例：计算如下积分近似值的两种方案比较),(21511nInInn方
19、法方法1：1823.056ln51100dxxI1.3 选用算法应遵循的原则选用算法应遵循的原则第27页/共36页方法方法1 1计算结果计算结果n*nI nnII*0 0.1823 0.00002 1 0.0885 0.0001 2 0.0575 0.0005 3 0.0458 0.0027 4 0.0208 0.0135 5 0.0958 0.0673 6 0.3125 0.3368 7 1.7054 1.6842 8 8.4018 8.4206 9 42.1200 42.1031 10 210.5002 210.5156 第28页/共36页方法一结果分析方法一结果分析n方法一分析：计算结果
20、表明方法一分析：计算结果表明,舍入误差的传播近舍入误差的传播近似依似依5 5的幂次进行增长的幂次进行增长,因而是一种不稳定的方因而是一种不稳定的方法。法。方法二：方法二：由此分析知，该方法是稳定的。关于初值的由此分析知，该方法是稳定的。关于初值的近似可由下面式子得到：近似可由下面式子得到：)1(5156)1(611010ndxxIdxxnnnn151nnInI*1*51nnInI0221555EEEEnnnn5511nnInI551*1nnInInnEE511第29页/共36页方法方法2 2计算结果计算结果n*nI nnII*0 0.1823 0.215610-6 1 0.0884 0.778
21、410-7 2 0.0580 0.389210-6 3 0.0431 0.387310-6 4 0.0343 0.633010-7 5 0.0285 0.316510-6 6 0.0243 0.249110-6 7 0.0212 0.326210-6 8 0.0189 0.630810-6 9 0.0167 0.226510-5 10 0.0167 0.133210-4 016706615512110.*I第30页/共36页v简化计算步骤以减少运算次数。简化计算步骤以减少运算次数。842842284488163*3*3*3*33*3*3*33*3*33*33例例1 1例2 秦九韶算法 0122
22、3344axaxaxaxa01234)(axaxaxaxa第31页/共36页)10(98765432110000001kkk例v尽量避免相近的数相减尽量避免相近的数相减 例例 x=52.127 xx=52.127 x*=52.129 =52.129 四位有效数字四位有效数字 y=52.123 yy=52.123 y*=52.121 =52.121 四位有效数字四位有效数字 A=x-y=0.004 AA=x-y=0.004 A*=x=x*-y-y*=0.008 =0.008 零位有效数字零位有效数字结论：避免相近数相减v合理安排量级相差很大的数之间的运算次序合理安排量级相差很大的数之间的运算次序
23、,尽可能避免大数尽可能避免大数“吃掉吃掉”小小数。数。第32页/共36页)(11111xxxxxxxx1lnln)1ln(一些避免相近数相减示例一些避免相近数相减示例当当|x|1|x|1时时xxxx111)1ln()1ln(22xxxx当当|x|1|x|1时时2221111xxx53arctan53xxxx!5!3sin53xxxx第33页/共36页v尽可能避免绝对值很小的数做分母，防止出现溢出。尽可能避免绝对值很小的数做分母，防止出现溢出。当当a,ba,b中有近似值时，由中有近似值时，由)0()()()(2bbaebbeabae若 ，则 可能很大。当a,b都是准确值时，由于 很大，会使其它较
24、小的数加不到 中而引起严重误差，或者会发生计算机“溢出”，导致计算无法进行下去。ab)(baebaba第34页/共36页总之,除了算法的正确性之外,在算法设计中至少还应应:1 1 选用数值稳定性好的算法；选用数值稳定性好的算法；2 2 简化计算步骤以减少运算次数简化计算步骤以减少运算次数;3 3 尽量避免两个相近的近似数相减尽量避免两个相近的近似数相减;4 4 尽可能避免绝对值很小的数做分母，防止出现尽可能避免绝对值很小的数做分母，防止出现溢出溢出.5 5 合理安排量级相差很大的数之间的运算次序合理安排量级相差很大的数之间的运算次序,防止大数防止大数 吃掉吃掉 小数小数.第35页/共36页谢谢您的观看！第36页/共36页
