1、概率论的基本术语随机变量的定义及分布多维随机变量及分布随机变量的数字特征随机试验 在相同条件下可重复进行 试验的结果不止一个，所有可能的结果能事先明确 每次试验前不能确定会出现哪一个结果举例 投掷硬币随机事件:在随机试验中，对试验中可能出现也可能不出现、而在大量重复试验中却具有某种规律性的事情，称为随机事件，简称为事件。基本事件:随机试验中最简单的随机事件称为基本事件。样本空间:随机试验的所有基本事件组成的集合称为样本空间。投掷骰子出现1点11，2 2，3 3，4 4，5 5，66投掷骰子出现偶数点样本空间随机事件基本事件频率和概率 n次重复试验中，事件A发生的次数nA称为事件A的频数，比值n
2、A/n称为事件A发生的频率。频率反映了事件A发生的频繁程度，若事件A发生的可能性大，那么相应的频率也大，反之则较小。概率 事件发生的可能性大小的度量 ()limAnnP An 在随机试验中，试验的结果不止一个，为了表示这些试验的结果，我们定义一个变量，变量的取值反映试验的各种可能结果，由于试验前我们无法确知试验结果，所以变量的值在试验前是无法确知的，即变量的值具有随机性，我们称这个变量为随机变量。Se()X eReal line0()1eXX ee背面正面 设随机试验E的样本空间为S=e，如果对于每一个eS，有一个实数X(e)与之对应，这样就得到一个定义在S上的单值函数X(e)，称X(e)为随
3、机变量，简记为X。随机变量是定义在样本空间S上的单值函数 随机变量的分类 连续型随机变量 离散型随机变量离散型随机变量：取值为有限个或者可列无穷个离散型随机变量的概率分布 概率分布列 X x1 x2 .xn pk p1 p2 .pn 11nkkp()(1,2,.,)kkP Xxpkn离散型随机变量常见分布(0,1)(0,1)分布分布 取随机变量的可能值为0和1两个值，其概率分布为 二项式分布 贝努里试验：设随机试验E只有两种可能的结果：将E独立地重复n次，那么在n次试验中事件A发生m次的概率为：泊松分布泊松分布()!keP Xkk,.1,0k01,0 1(01)P XpP Xpp(),()1P
4、 ApP Apq()mmn mnnP mC p q)0(nm()F xP Xx()0,()1FF 0()1F x分布函数 设X为随机变量，x为任意实数，定义X的概率分布函数（简称分布函数）为：()()dF xf xdx211221()()()xxP xXxF xF xf x dx随机变量的概率密度 随机变量X的分布函数的导数定义为它的概率分布密度，记为：性质()1f x dx()0f x 几种常见而且重要的连续随机变量概率密度函数。1()0axbf xba其它1）均匀分布 在实际问题中，计算机产生的随机数、正弦波的随机相位等都用到均匀分布。(,)XU a b22()1()exp22xmf x2
5、）高斯分布（正态分布）2(,)XN m221()()exp22xXxFxdx-4-3-2-10123400.10.20.30.40.50.60.70.8N(0,1)标准正态分布3）瑞利分布222exp,0()20,0 xxxf xx02468101200.050.10.150.20.250.30.350.4 2(,),F x yP Xx Yy 在实际中，常需多个随机变量描述实验结果。设（X,Y）为二维随机变量，x,y为实数，定义二维随机变量的分布函数为：二维分布函数图解 2(,)(,)F x yf x yx y(,)(,)xyF x yf x y dxdy(,)1f x y dxdy 二维概率
6、密度性质(,)0f x y 121122(,.,)(,.,)nnnF x xxP Xx XxXx121212(,.,)(,.,).nnnnF x xxf x xxx xx 多维均值（数学期望）随机变量X的均值 离散型随机变量性质 线性X,Y不相关()()E Xxfx dx1()NiiiEXx p()()E cXcE X1212(.)=()().()nnE XXXE XE XE X)()()(YEXEXYE方方差差 定义：反映了随机变量的取值与其均值的偏离程度性质 独立随机变量 ：222()()()()D XEXE XE XEX()=0D c2()()D cXc D X12,nXXX)()()(
7、11nnXDXDXXD若X是随机变量，a,b 是任意确定实数，令 Y=aX+b，则bXaEYE)()()()(2XDaYDcov(,)()()()()()X YEXE XYE YE XYE X E Y)()(),cov(YDXDYXrXY)()()(222YEXEXYE协方差和相关系数：描述两个随机变量相互关系协方差：相关系数：描述线性相关性性质：1XYr0XYr=1XYr1P YaXb若X，Y相互独立，则的充要条件是许瓦兹（Schwartz）不等式kXE)(kXmXElkYXE)()(lYkXmYmXE矩：更高阶的数字特征k阶原点矩：k阶中心矩：混合矩：两个随机变量X，Yk+l 阶混合矩：k+l 阶混合中心矩：几个重要的公式:全概率公式:1()(|)()niiiP BP BA P A贝叶斯公式:1(|)()(|)()(|)()(|)()iiiiiniiiP BAP AP BAP AP ABP BP BAP A
