1、一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1如图，M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2B（3，O），C（，O）（1）求M的半径；（2）若CEAB于H，交y轴于F，求证：EH=FH（3）在（2）的条件下求AF的长【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4【解析】【分析】（1）过M作MTBC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；（2）连接AE，由圆周角定理可得出AEC=ABC，再由AAS定理得出AEHAFH，进而可得出结论；（3）先由（1）中BMT的边长确定出BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG
2、为平行四边形，进而可求出答案【详解】（1）如图（一），过M作MTBC于T连BM，BC是O的一条弦，MT是垂直于BC的直径，BT=TC=BC=2，BM=4；（2）如图（二），连接AE，则AEC=ABC，CEAB，HBC+BCH=90在COF中，OFC+OCF=90，HBC=OFC=AFH，在AEH和AFH中，AEHAFH（AAS），EH=FH；（3）由（1）易知，BMT=BAC=60，作直径BG，连CG，则BGC=BAC=60，O的半径为4，CG=4，连AG，BCG=90，CGx轴，CGAF，BAG=90，AGAB，CEAB，AGCE，四边形AFCG为平行四边形，AF=CG=4【点睛】本题考查的
3、是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键2如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径作O，O交BC于点D，交CA的延长线于点E过点D作DFAC，垂足为F（1）求证：DF为O的切线；（2）若AB4，C30，求劣弧的长【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】分析：（1）连接AD、OD，根据直径所对的圆周角为直角，可得ADB=90，然后根据等腰三角形的性质求出BD=CD，再根据中位线的性质求出ODDF，进而根据切线的判定证明即可；（2）连接OE，根据三角形的外角求出BAE的度数，然后根据圆周角定理求出BOE的度数，根据弧长公式求解即可.详解：
4、（1）连接AD、ODAB是直径，ADB90ABAC，BDCD， 又OAOB，OD是ABC的中位线，ODAC， DFAC，ODDF即ODF90DF为O的切线； （2）连接OEABAC，BC30，BAE60， BOE2BAE，BOE120，4 点睛：本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、圆周角定理，灵活添加辅助线是解题关键3如图，已知ABC中，AB=AC，A=30，AB=16，以AB为直径的O与BC边相交于点D，与AC交于点F，过点D作DEAC于点E（1）求证：DE是O的切线；（2）求CE的长；（3）过点B作BGDF，交O于点G，求弧BG的长【答案】（1
5、）证明见解析（2）8-4（3）4【解析】【分析】（1）如图1，连接AD，OD，由AB为O的直径，可得ADBC，再根据AB=AC，可得BD=DC，再根据OA=OB，则可得ODAC，继而可得DEOD，问题得证；（2）如图2，连接BF，根据已知可推导得出DE=BF，CE=EF，根据A=30，AB=16，可得BF=8，继而得DE=4，由DE为O的切线，可得ED2=EFAE，即42=CE（16CE），继而可求得CE长；（3）如图3，连接OG，连接AD，由BGDF，可得CBG=CDF=30，再根据AB=AC，可推导得出OBG=45，由OG=OB，可得OGB=45，从而可得BOG=90，根据弧长公式即可求得
6、的长度.【详解】（1）如图1，连接AD，OD；AB为O的直径，ADB=90，即ADBC，AB=AC，BD=DC，OA=OB，ODAC，DEAC，DEOD，ODE=DEA=90，DE为O的切线；（2）如图2，连接BF，AB为O的直径，AFB=90，BFDE，CD=BD，DE=BF，CE=EF，A=30，AB=16，BF=8，DE=4，DE为O的切线，ED2=EFAE，42=CE（16CE），CE=84，CE=8+4（不合题意舍去）；（3）如图3，连接OG，连接AD，BGDF，CBG=CDF=30，AB=AC，ABC=C=75，OBG=7530=45，OG=OB，OGB=OBG=45，BOG=90
7、，的长度=4【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及了切线的判定、三角形中位线定理、圆周角定理、弧长公式等，正确添加辅助线、熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.4如图,四边形ABCD是O的内接四边形,AB=CD(1)如图(1),求证:ADBC；(2)如图(2),点F是AC的中点,弦DGAB,交BC于点E,交AC于点M,求证:AE=2DF；(3)在(2)的条件下,若DG平分ADC,GE=5,tanADF=4,求O的半径。【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【解析】试题分析：(1)连接AC由弦相等得到弧相等，进一步得到圆周角相等，即可得出结论（2）延长AD到N，使DN=AD，连接NC得
8、到四边形ABED是平行四边形，从而有AD=BE，DN=BE由圆内接四边形的性质得到NDC=B即可证明ABECND，得到AE=CN，再由三角形中位线的性质即可得出结论（3）连接BG，过点A作AHBC，由（2）知AEB=ANC，四边形ABED是平行四边形，得到AB=DE再证明CDE是等边三角形，BGE是等边三角形，通过解三角形ABE，得到AB，HB， AH，HE的长，由EC=DE=AB，得到HC的长在RtAHC中，由勾股定理求出AC的长作直径AP，连接CP，通过解APC即可得出结论试题解析：解：(1)连接ACAB=CD，弧AB=弧CD，DAC=ACB，ADBC（2）延长AD到N，使DN=AD，连接
9、NCADBC，DGAB，四边形ABED是平行四边形，AD=BE，DN=BEABCD是圆内接四边形，NDC=BAB=CD，ABECND，AE=CNDN=AD，AF=FC，DF=CN，AE=2DF（3）连接BG，过点A作AHBC，由（2）知AEB=ANC，四边形ABED是平行四边形，AB=DEDFCN，ADF=ANC，AEB=ADF，tanAEB= tanADF=，DG平分ADC，ADG=CDGADBC，ADG=CED，NDC=DCEABC=NDC，ABC=DCEABDG，ABC=DEC，DEC=ECD=EDC，CDE是等边三角形，AB=DE=CEGBC=GDC=60，G=DCB=60，BGE是等
10、边三角形，BE= GE=tanAEB= tanADF=，设HE=x，则AH=ABE=DEC=60，BAH=30，BH=4x，AB=8x，4x+x=，解得：x=，AB=8，HB=4， AH=12，EC=DE=AB=，HC=HE+EC=在RtAHC中，AC=作直径AP，连接CP，ACP=90，P=ABC=60，sinP=，O的半径是5如图，在O中，直径AB弦CD于点E，连接AC，BC，点F是BA延长线上的一点，且FCAB.(1)求证：CF是O的切线； (2)若AE4，tanACD ，求AB和FC的长【答案】(1)见解析;(2) AB=20 ， 【解析】分析：（1）连接OC，根据圆周角定理证明OCC
11、F即可；（2）通过正切值和圆周角定理，以及FCAB求出CE、BE的长，即可得到AB长，然后根据直径和半径的关系求出OE的长，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影定理）证明OCECFE，即可根据相似三角形的对应线段成比例求解.详解：证明：连结OC AB是O的直径 ACB=90B+BAC=90OA=OCBAC=OCAB=FCAFCA+OCA=90 即OCF=90C在O上CF是O的切线AE=4，tanACDCE=8直径AB弦CD于点E FCABB=ACD=FCAEOC=ECAtanB=tanACD= BE=16AB=20OE=AB2-AE=6CEABCEO=FCE=90OCECFE即点睛：此题主
12、要考查了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目.6如图1，四边形ABCD为O内接四边形，连接AC、CO、BO，点C为弧BD的中点（1）求证：DAC=ACO+ABO；（2）如图2，点E在OC上，连接EB，延长CO交AB于点F，若DAB=OBA+EBA求证：EF=EB；（3）在（2）的条件下，如图3，若OE+EB=AB，CE=2，AB=13，求AD的长【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AD=7【解析】试题分析：（1）如图1中，连接OA，只要证明C
13、AB=1+2=ACO+ABO，由点C是 中点，推出 ，推出BAC=DAC，即可推出DAC=ACO+ABO；（2）想办法证明EFB=EBF即可；（3）如图3中，过点O作OHAB，垂足为H，延长BE交HO的延长线于G，作BNCF于N，作CKAD于K，连接OA作CTAB于T首先证明EFB是等边三角形，再证明ACKACT，RtDKCRtBTC，延长即可解决问题；试题解析：（1）如图1中，连接OA，OA=OC，1=ACO，OA=OB，2=ABO，CAB=1+2=ACO+ABO，点C是中点，BAC=DAC，DAC=ACO+ABO（2）如图2中，BAD=BAC+DAC=2CAB，COB=2BAC，BAD=B
14、OC，DAB=OBA+EBA，BOC=OBA+EBA，EFB=EBF，EF=EB（3）如图3中，过点O作OHAB，垂足为H，延长BE交HO的延长线于G，作BNCF于N，作CKAD于K，连接OA作CTAB于TEBA+G=90，CFB+HOF=90，EFB=EBF，G=HOF，HOF=EOG，G=EOG，EG=EO，OHAB，AB=2HB，OE+EB=AB，GE+EB=2HB，GB=2HB，cosGBA= ，GBA=60，EFB是等边三角形，设HF=a，FOH=30，OF=2FH=2a，AB=13，EF=EB=FB=FH+BH=a+，OE=EFOF=FBOF=a，OB=OC=OE+EC=a+2=a
15、，NE=EF=a+，ON=OE=EN=（a）（a+）=a，BO2ON2=EB2EN2，（a）2（a）2=（a+）2（a+）2，解得a=或10（舍弃），OE=5，EB=8，OB=7，K=ATC=90，KAC=TAC，AC=AC，ACKACT，CK=CT，AK=AT，DC=BC，RtDKCRtBTC，DK=BT，FT=FC=5，DK=TB=FBFT=3，AK=AT=ABTB=10，AD=AKDK=103=77如图，AB是O的直径，弦BCOB，点D是上一动点，点E是CD中点，连接BD分别交OC，OE于点F，G（1）求DGE的度数；（2）若，求的值；（3）记CFB，DGO的面积分别为S1，S2，若k，
16、求的值（用含k的式子表示）【答案】(1)DGE60；(2)；(3)=.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得DGE的度数；（2）过点F作FHAB于点H设CF1，则OF2，OCOB3,根据勾股定理求出BF的长度，再证得FGOFCB，进而求得的值；（3）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k的式子表示出的值【详解】解：(1)BCOBOC，COB60，CDBCOB30，OCOD，点E为CD中点，OECD，GED90，DGE60；(2)过点F作FHAB于点H设CF1，则OF2，OCOB3COB60OHOF1，HFOH，HBOBO
17、H2，在RtBHF中，BF，由OCOB，COB60得：OCB60，又OGBDGE60，OGBOCB，OFGCFB，FGOFCB，GF=，=.(3)过点F作FHAB于点H，设OF1，则CFk，OBOCk+1，COB60，OHOF=，HF，HBOBOHk+，在RtBHF中，BF，由(2)得：FGOFCB，即，GO，过点C作CPBD于点PCDB30PCCD，点E是CD中点，DECD，PCDE，DEOE，= 【点睛】圆的综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和勾股定理、数形结合的思想解答8是O直径，在的异侧分别有定点和动点，如图所示，点在半圆弧 上运动（不与、重合），
18、过作的垂线，交的延长线于，已知，（1）求证：；（2）当点运动到弧的中点时，求的长；（3）当点运动到什么位置时，的面积最大？请直接写出这个最大面积【答案】(1)证明见解析；（2）CD=；（3）当PC为O直径时，PCD的最大面积=.【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得PCD=ACB=90，可证ABCPCD，可得,即可得证（2）由题意可求BC=4，AC=3，由勾股定理可求CE的长，由锐角三角函数可求PE的长，即可得PC的长，由ACCD=PCBC可求CD的值；（3）当点P在上运动时，由（1）可得：，可得，当PC最大时，PCD的面积最大，而PC为直径时最大，故可求解【详解】证明：（1）AB为直径，AC
19、B=90PCCD，PCD=90PCD=ACB，且CAB=CPBABCPCDACCD=PCBC（2）AB=5，BC：CA=4：3，ACB=90BC=4，AC=3，当点P运动到的中点时，过点B作BEPC于点E点P是的中点，PCB=45，且BC=4CE=BE=BC=2CAB=CPBtanCAB=tanCAB=PE=PC=PE+CE=+2=ACCD=PCBC3CD=4CD=（3）当点P在上运动时，SPCD=PCCD，由（1）可得：CD=PCSPCD=PC2，当PC最大时，PCD的面积最大，当PC为O直径时，PCD的最大面积=52=【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，锐
20、角三角函数，求出PC的长是本题的关键9如图，四边形为菱形，且，以为直径作，与交于点请仅用无刻度的直尺按下列要求画图(保留作图痕迹)(1)在如图中，过点作边上的高(2)在如图中，过点作的切线，与交于点【答案】(1)如图1所示(答案不唯一),见解析；(2)如图2所示(答案不唯一)，见解析.【解析】【分析】（1）连接AC交圆于一点F，连接PF交AB于点E,连接CE即为所求（2）连接OF交BC于Q，连接PQ即为所求【详解】(1)如图1所示(答案不唯一)(2)如图2所示(答案不唯一)【点睛】本题考查作图-复杂作图，菱形和圆的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型10如图，直角
21、坐标系中，直线分别交x,y轴于点A(-8，0)，B(0，6)，C（m,0）是射线AO上一动点，P过B，O，C三点，交直线AB于点D（B，D不重合）.（1）求直线AB的函数表达式.（2）若点D在第一象限，且tanODC=，求点D的坐标. 【答案】（1）；（2）D（，）.【解析】【分析】（1）把A、B两点坐标代入y=kx+b求出k、b的值即可；（2）连结BC，作DEOC于点E，根据圆周角定理可得OBC=ODC，由tanODC=可求出OC的长，进而可得AC的长，利用DAC的三角函数值可求出DE的长，即可得D点纵坐标，代入直线AB解析式求出D点横坐标即可得答案.【详解】（1）A（-8，0）、B（0，6）在y=kx+b上，解得，直线AB的函数表达式为y=x+6.(2)连结BC，作DEOC于点E，BOC=90，BC为P的直径，ADC=90，OBC=ODC，tanODC=，OB=6，OA=8，OC=10，AC=18，AB=10，cosDAC=，sinDAC=，,，D点在直线AB上，解得：，D（，）【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、圆周角定理及锐角三角函数的定义，熟练掌握直径所对的圆周角等于90及正切、正弦、余弦等三角函数的定义是解题关键.
