1、【常考题】高一数学下期末模拟试题及答案一、选择题1在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A甲地：总体均值为3，中位数为4B乙地：总体均值为1，总体方差大于0C丙地：中位数为2，众数为3D丁地：总体均值为2，总体方差为32已知D，E是边BC的三等分点，点P在线段DE上，若，则xy的取值范围是ABCD3(2015新课标全国I理科)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何
2、?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A14斛B22斛C36斛D66斛4设样本数据的均值和方差分别为1和4，若为非零常数，则的均值和方差分别为（ ）ABCD5九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的
3、布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为A尺B尺C尺D尺6若，点C在AB上，且，设，则的值为（ ）ABCD7若函数在上单调递增，则的取值不可能为（ ）ABCD8函数的图象大致为（ ）ABCD9的零点所在的区间是（ ）ABCD10如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（ ）A，且直线是相交直线B，且直线是相交直线C，且直线是异面直线D，且直线是异面直线11设为等差数列的前项和，若，则ABCD12在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成角的大小为（ ）ABCD二、填空题13在区间上随机选取两个数和，则满足的
4、概率为_14对于函数，设，若存在m，n使得，则称与互为“近邻函数”.已知函数与互为“近邻函数”，则实数a的取值范围是_.（e是自然对数的底数）15如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.16已知定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数,则不等式的解集是_.17直线与圆相交于两点，弦的中点为，则直线的方程为_18已知点在直线上，则的最小值为_19已知，命题：，命题：，若命题为真命题，则实数的取值范围是_20若圆x2y24和圆x2y24x4y40关于直线l对称，则直线l的方程为_三、解答题21已知函数（，且）的图象关于坐标原点对称（1）求实数的值；（2
5、）比较与的大小，并请说明理由22的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，求的周长.23已知数列是等比数列，是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.24是边长为的等边三角形，,过点作交边于点，交的延长线于点（1）当时，设，用向量表示；（2）当为何值时，取得最大值，并求出最大值25已知函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式，并写出的最小正周期；(2)令，若在内，方程有且仅有两解，求的取值范围.26中，三个内角的对边分别为，若，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1D解析：D【解析】试
6、题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差2D解析：D【解析】【分析】利用已知条件推出x+y1，然后利用x，y的范围，利用基本不等式求解xy的最值【详解】解：D，E是边BC的三等分点，点P在线段DE上，若，可得，x，则，当且仅当时取等号，并且，函数的开口向下，对称轴为：，当或时，取最小值，xy的最小值为：则
7、xy的取值范围是：故选D【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力3B解析：B【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为1.6222，故选B.考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式4A解析：A【解析】试题分析：因为样本数据的平均数是,所以的平均数是；根据（为非零常数，），以及数据的方差为可知数据的方差为，综上故选A.考点：样本数据的方差和平均数5C解析：C【解析】试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为，,求公差，解得：尺，故选C.考点：等差数列6B解析：B【解析】【分析】利用向量的数量积运算即可算出【详解】解：，又在上
8、，故选：【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用7D解析：D【解析】令，即在上单调递增且故选D.8A解析：A【解析】【分析】先确定函数定义域，再确定函数奇偶性，最后根据值域确定大致图像。【详解】由题函数定义域为，函数为偶函数，图像关于y轴对称，B,C选项不符合，当时，则函数图像大致为A选项所示.故选：A【点睛】此类题目通常根据函数的定义域，周期性，奇偶性以及值域和特殊点等来判断大致图像。9B解析：B【解析】函数f（x）=ex是（0，+）上的增函数，再根据f（）=20，f（1）=e10，可得f（）f（1）0，函数f（x）=ex的零点所在的区间
9、是（，1），故选B点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.10B解析：B【解析】【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题【详解】如图所示， 作于，连接，过作于连，平面平面平面，平面，平面，与均为直角三角形设正方形边长为2，易知，故选B【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角性11B解析：B【解析】分析：首先设出等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式，得到公差所满足的等量关系式，从而求得结果，之后应用等差数列的通项公式求得，从而求得正确结果.详解：设该等差数列的公差为，根据题中的条件可
10、得，整理解得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.12A解析：A【解析】【分析】由题意，取AC的中点O，连结，求得是与侧面所成的角，在中，即可求解【详解】由题意，取AC的中点O，连结,因为正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，所以，因为，所以平面，所以是与侧面所成的角，因为，所以，所以，与侧面所成的角【点睛】本题主要考查了直线与平面所成的角的求解，其中解答中空间几何体的线面位置关系，得到是与侧面所成的角是解答的关键，着重考查了
11、推理与运算能力，以及转化与化归思想，属于中档试题二、填空题13【解析】概率为几何概型如图满足的概率为解析：【解析】概率为几何概型，如图，满足的概率为 14【解析】【分析】先求出的根利用等价转换的思想得到在有解并且使用分离参数方法可得结果【详解】由令所以又已知函数与互为近邻函数据题意可知：在有解则在有解即在有解令又令所以当时当时所以所以则故答案为：【点解析：.【解析】【分析】先求出的根，利用等价转换的思想，得到在有解，并且使用分离参数方法，可得结果【详解】由，令所以，又已知函数与互为“近邻函数”据题意可知：在有解，则在有解即在有解，令，又令，所以当时当时所以所以，则故答案为：【点睛】本题考查对新
12、定义的理解，以及分离参数方法的应用，属中档题.152米【解析】【分析】【详解】如图建立直角坐标系设抛物线方程为将A（2-2）代入得m=-2代入B得故水面宽为米故答案为米考点：抛物线的应用解析：2米【解析】【分析】【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为，将A（2，-2）代入，得m=-2，代入B得，故水面宽为米，故答案为米考点：抛物线的应用16【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为解析：【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数,可得函数在区间 上是增函数,所以由不等式得,即或,解得或,即不等式的解集是;
13、故答案为.17【解析】【分析】【详解】设圆心直线的斜率为弦AB的中点为的斜率为则所以由点斜式得解析：.【解析】【分析】【详解】设圆心，直线的斜率为，弦AB的中点为，的斜率为，则，所以由点斜式得183【解析】【分析】由题意可知表示点到点的距离再由点到直线距离公式即可得出结果【详解】可以理解为点到点的距离又点在直线上的最小值等于点到直线的距离且【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用属于解析：3【解析】【分析】由题意可知表示点到点的距离，再由点到直线距离公式即可得出结果.【详解】可以理解为点到点的距离，又点在直线上，的最小值等于点到直线的距离，且.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，
14、属于基础题型.19或【解析】【分析】根据不等式恒成立化简命题为根据一元二次方程有解化简命题为或再根据且命题的性质可得结果【详解】若命题：为真；则解得：若命题：为真则解得：或若命题是真命题则或故答案为或【点睛】解答非命解析：或【解析】【分析】根据不等式恒成立化简命题为，根据一元二次方程有解化简命题为或，再根据且命题的性质可得结果.【详解】若命题：“，”为真；则，解得：，若命题：“，”为真，则，解得：或，若命题“”是真命题，则，或，故答案为或【点睛】解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.20xy20【
15、解析】【分析】设直线l方程为ykx+b由题意可得圆心C1和C2关于直线l对称利用得k由C1和C2的中点在直线l上可得b从而得到直线方程【详解】由题意可得圆C1圆心为（00）圆C2的解析：xy20【解析】【分析】设直线l方程为ykx+b，由题意可得圆心C1和C2关于直线l对称，利用得k,由C1和C2的中点在直线l上可得b，从而得到直线方程【详解】由题意可得圆C1圆心为（0，0），圆C2的圆心为（2，2），圆C1：x2+y24和圆C2：x2+y2+4x4y+40关于直线l对称，点（0，0）与（2，2）关于直线l对称，设直线l方程为ykx+b，1且k+b，解得k1，b2，故直线方程为xy2，故答案为
16、：xy20【点睛】本题考查圆与圆关于直线的对称问题，可转为圆心与圆心关于直线对称，属基础题三、解答题21（1）；（2）当时， ；当时， ，理由见解析【解析】【分析】（1）将图象关于坐标原点对称转化为函数为奇函数，从而有在函数的定义域内恒成立，进而求得的值，再进行检验；（2）根所在（1）中求得的值，得到，再求得的值，对分两种情况讨论，从而得到的大小关系.【详解】解：（1），又函数的图象关于坐标原点对称，为奇函数，在函数的定义域内恒成立，在函数的定义域内恒成立，或当时，函数的真数为，不成立，（2）据（1）求解知，当时，函数在上单调递增，；当时，函数在上单调递减，【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解
17、析式中参数值、对数函数的单调性比较大小，考查数形结合思想、分类讨论思想的运用，在比较大小时，注意对分和两种情况讨论.22（1）（2）【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.试题解析：（1）由已知可得（2）又，的周长为考点：正余弦定理解三角形.23（1）（）；（2）【解析】【分析】（1）根据等比数列通项的性质求出的表达式，利用等差中项列方程求得公比，然后求得数列的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得数列的前项和【详解】解：（1）设数列的公比为，因为，所以，因为是和的等差中项，所以即，
18、化简得因为公比，所以所以（）（2）因为，所以则，.得，所以【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，等比数列通项公式的求解，考查等差中项的性质，考查错位相减求和法求数列的前项和，属于中档题.24（1）；（2）【解析】【分析】【详解】（）由题意可知：，且，故，（）由题意，当时，有最大值、25(1) ，最小正周期；(2) 【解析】【试题分析】（1）借助题设提供的图形信息与数据信息可求出周期，再借助，求出，再借助点在图象上求出；（2）先将原方程可化为，分离参数，再换元，将其转化为函数及图问题来处理：解：(1)由图象可知：，又，.又点在图象上，又，.，最小正周期.(2)，原方程可化为，则.，令，则，
19、作出及图象，当 或时，两图象在内有且仅有一解，即方程在内有且仅有两解，此时的取值范围为.点睛：求出函数的解析式后，求解第二问时先将原方程可化为，则，然后借助，得到，进而分离参数，再换元，则，从而将问题化为函数及图象的交点的个数问题，然后结合图像求出参数的取值范围。26（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得若，则有cosB（2a+c）+cosCb=0，结合正弦定理可得cosB（2sinA+sinC）+cosCsinB=0，将其整理变形可得，由B的范围分析可得答案；（2）结合题意，根据余弦定理分析可得49=a2+c2+ac，又由a+c=8，变形可得ac=15，由三角形面积公式计算可得答案详解：（1）， ，.（2）根据余弦定理可知，又因为，则.点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
