1、 1 / 7 2.2.22.2.2椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 银川市第六中学 张雪梅 一、学习内容分析：一、学习内容分析： 本节内容选自人教 A 版选修 2-1 第二章圆锥曲线与方程第二节第二小节椭圆的简单几何性质 的第一课时。课型属于概念教学课。 首先，解析几何在高中阶段就知识掌握来讲主要运用坐标法解决两类问题：根据已知条件求出曲线 的方程；通过方程，研究曲线的性质。本节课正是学习了椭圆的定义及其标准方程之后研究上述问题中 的第二类问题，是进一步学习双曲线和抛物线的基础，也是学生首次尝试结合方程研究曲线的几何性质。 因此，本节课不仅要注意对研究结果的理解和应用，更要重视对研究方法的
2、学习和掌握。 其次，学生已经掌握了椭圆的定义及其标准方程，但这只是单纯地通过曲线建立方程的探究。而本节 课是结合椭圆图形发现几何性质,再从数、形等多种途径探讨椭圆的几何性质,让学生在了解如何利用曲线 方程研究曲线性质的基础上，充分认识到高中数学的学习是多个角度的，尤其是几何对象，不仅关注形， 还要关注数层面的一种解释，为后继研究其它曲线的几何性质奠定重要基础。 再次，椭圆是继学生学完圆后学习的第二个圆锥曲线。从纯几何角度来看椭圆的几何性质是圆的几何 性质的自然推广，但它需要较多的知识准备和较强的逻辑推理能力，而用坐标法可以将复杂的几何关系的 研究转化为对曲线方程特点的考察，这为学生课后探究由圆
3、的几何性质如圆周角定理会演变成椭圆的什么 性质起到了一个方法上的引领。 基于以上分析，本节课的教学重点本节课的教学重点： 掌握椭圆的简单几何性质及其应用；同时关注学生在探究椭圆几何性质的过程中思维层次的展现和思 维能力的提高。 二、教学目二、教学目标设置标设置 根据课程标准要求和本节教学内容，并结合学生实际情况，我将本节课的教学目标确定为： 1.发现并掌握椭圆的简单几何性质,利用几何性质解决有关椭圆的长轴、短轴、离心率等问题。 2.通过对椭圆的几何性质的探索, 了解可以从数、形等多种途径得出椭圆几何性质，发展直观想象素发展直观想象素 养和数学抽象素养。养和数学抽象素养。 3.通过经历一个完整的
4、探究学习过程,体会解析几何探究学习的基本规律,培养发现问题、探索问题、 解决问题的能力。 三三、学生学情分析、学生学情分析 本节课的教学对象是高二学生。 学生在本节课之前已经具备的认知基础有：学生在本节课之前已经具备的认知基础有： （一）学生已经掌握了椭圆的定义及其标准方程，这为学生从椭圆图形和椭圆标准方程的结构特征等多个 角度研究椭圆的几何性质奠定基础。 （二）类比直线方程和圆的方程能够使学生得到椭圆标准方程的特点，体现了新旧知识的联系与区别，符 合学生的认知规律，同时为利用方程研究椭圆的几何性质做好了准备。 2 / 7 （三）在幂函数和正切函数的性质与图像的学习中，学生经历了由函数解析式研
5、究函数性质绘制图像的学 习过程，为学生利用椭圆标准方程研究椭圆几何性质创造了经验。 （四）学生已经积累函数方程、三角、不等式等相关知识为利用椭圆标准方程的结构特征来探究椭圆的简 单几何性质可以多样性探究奠定基础。 学生在本节课还需要强化的认知基础有：学生在本节课还需要强化的认知基础有： （一）学生学习解析几何以来，结合方程较完整的研究曲线几何性质尚属首次，在思维转换运用上学 生不能迅速到位。 解决策略：这需要学生积极思考交流，教师将学生的想法汇聚并适时点评，来实现学生真正意义上理 解在解析几何中数与形的学习，一定是两只手一起抓，树立整体性学习方案，形成研究思路，让学生意识 到本节课的学习为后续
6、的学习起到方法上的引领，具有开篇价值。 （二）离心率概念较陌生有一定的抽象性，直接引入较生硬。 解决策略：在学习中，学生结合绘制的椭圆图形直观感知很自然地会分析到椭圆圆扁程度是由那些量 刻画。 针对学生充分思考交流提出的探究方案教师给与肯定， 并引导学生意识到它们都是可行地、 相通地， 为了方便进行取舍，进而回归椭圆定义，让学生对定义再认识,结合几何画板加强直观感受。通过这一系 列过程使学生感受到自己的探究有价值，体会定义的完美，至此得出离心率这一形象名称。 （三）在探究过程中,如何使学生自然的将原有的知识与现有的推理相联系,从多个角度联想、发现和 解决问题获得椭圆的几何性质,从而提高发现问题
7、、探索问题、解决问题的能力,实现学习方式的转变。 基于以上分析，本节课的教学难点为：本节课的教学难点为： 从数、形等多种途径探究椭圆的几何性质。从数、形等多种途径探究椭圆的几何性质。 四、教学策略分析四、教学策略分析 策略一： 营造一个完整的探究学习过程。 整个过程包括提出探究问题、 确定探究方案、 完成探究过程。 提出探究问题使学生真正成为知识的“发现者”，确定探究方案使学生真正成为知识的 “研究者”,完成 探究过程使学生在知识的形成、发展过程中展开思维,逐步提高发现问题、探索问题、解决问题的能力。 策略二：通过精心设计的问题,学生个体独立思考和小组合作探究相结合,学生汇报交流和老师的点拨
8、引导相结合,从而建构知识、形成方法、培养能力,形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“探究 问题”学习链。 策略三:重视学生生成,激发学生思维，使一个平淡的性质陈述过程成为一个生动而有价值的学生主动 探究、积极合作交流的学习过程。 五、教学过程分析五、教学过程分析 （一）（一）创设情境、引入新知创设情境、引入新知 过渡：在我们的客观世界和日常生活中有许多椭圆图形并运用它的特性为我们服务。 幻灯片展示图片：行星轨道、古罗马的斗兽场、中国国家大剧院 3 / 7 学生活动：观察图片、辨识图片 过渡：在我们的客观世界和日常生活中有许多椭圆图形上节课我们通过观察和动手操作掌握了椭圆的 定义并结合图形
9、的对称性建立平面直角坐标系得到了椭圆的标准方程。在我们的客观世界和日常生活中椭 圆性质在不同的领域内都有其广泛的应用价值。 如：图片 1:我们掌握了行星运行轨道是椭圆，这为我们发射卫星提供了理论基础，科学家需要研究发 射卫星计算卫星轨道是怎样的；古罗马斗兽场运用椭圆的光学性质和声波的相关原理进行设计；中国国家 大剧院因椭圆方程简单，线型多变美观，且具有某些很好的力学性质而设计其建筑外形为半椭圆形轮廓。 椭圆的性质在现实世界和生活中有着极其广泛的应用，有利用它的几何性质、也有利用它的光学性质、还 有利用它的力学性质，从古至今人们都没有停止对它的研究，为了更好地利用它的性质为人类造福，今天 这节课
10、我们先一起来研究椭圆的简单几何性质。 板书课题：椭圆的简单几何性质 设置意图设置意图: :通过图片开阔学生的眼界让学生感受椭圆的广泛应用性,在学生已经掌握椭圆的定义及其标准 方程的基础上引导学生明确本节课的研究方向椭圆的性质，完善椭圆的学习体系。 在此过程中，通过对椭圆性质在日常生活中应用的了解和敢于探究，发展学生人文底蕴和科学精神在此过程中，通过对椭圆性质在日常生活中应用的了解和敢于探究，发展学生人文底蕴和科学精神 的核心素养。的核心素养。 ( (二二) )探究新知、层层深入探究新知、层层深入 （1）确立学习方案、形成研究思路 （过渡）根据学生上高中以来与图形有关的对象是从哪些角度来认识它的
11、学习经验， 提出：提出： 回顾：回顾：与图形有关的数学对象性质我们是从哪些角度来认识它的？ 问题问题 1:1:你认为我们应该从哪些角度来认识椭圆的简单几何性质? 教师活动：教师活动：将学生的想法汇聚形成研究方案：一、观察图形；二、研究解析式。 问题问题 2 2：说一说研究椭圆的哪些简单几何性质？ 教师活动：板书学生结论 活动活动 1 1：以焦点在：以焦点在 X X 轴上的椭圆为例进行分析。轴上的椭圆为例进行分析。 自主探究（自主探究（1 1）研究椭圆的范围）研究椭圆的范围 实物投影展示学生的解题过程，激励学生开拓思维。 学生活动过程：学生活动过程： 生生 1 1：图像观察（直观感受）：图像观察
12、（直观感受） 生生 2 2：利用“实数的平方为非负数”获得不等式：利用“实数的平方为非负数”获得不等式 2222 2222 22 xy 110, -a y-b yx abba xaxaaxa 变形为 这就得到了椭圆在标准方程下x的范围xa. 同理，我们也可以得到 的范围yb 4 / 7 教师活动：教师活动：对学生的方法给予肯定，并加以点评，提炼思想方法。 结论：由椭圆方程中结论：由椭圆方程中 x x、y y 的范围得到椭圆位于直线的范围得到椭圆位于直线xayb 和所围成的矩形里所围成的矩形里。 自主探究（自主探究（2 2）研究椭圆的对称性）研究椭圆的对称性 类比椭圆范围的探究策略，从数、形等多
13、角度探究椭圆的对称性。 展示学生的解题过程、体现学生的思维认识。 -x 代替 x 后方程不变，说明椭圆关于 y 轴对称； -y 代替 y 后方程不变，说明椭圆关于 x 轴对称 -x、-y 代替 x、y 后方程不变，说明椭圆关于原点对称。 设计意图：设计意图： （1） 多媒体课件展示椭圆的对称性，使学生体会椭圆的对称美。 （2） 抓住椭圆方程的特点，引导学生探究如何利用方程研究椭圆的的对称性。 （3） 在学生的表述过程中重视学生的思维方式，培养学生正确处理问题的思路，学生从对称性的本质 上明确研究对称性的方法。 自主探究（自主探究（3 3）研究椭圆与对称轴的交点坐标）研究椭圆与对称轴的交点坐标
14、展示学生的解题过程、体现学生的思维认识。 设计意图：设计意图：利用方程研究椭圆的顶点坐标学生较容易接受，相关概念也容易接受，关键 222 acb的 几何意义，通过课件的展示体现了 a、b、c 的几何意义，从而得到 222 acb的本质。 活动说明：活动说明：针对学生反映必要时可以引导学生一个对象一个对象的研究：如学生观察图象发现椭圆是封闭 图形，放入平面直角坐标系中呈现范围。若学生没有联想到研究解析式，可提问通过解析式从代数解析角 度如何体现范围这一几何性质。这样学生就对后续研究对象有可比性，很自然地会运用数与形的一致性思 考为椭圆其它几何性质的研究打开局面， 明确形背后一定有数的支撑， 数一
15、定要去解析形的某种现实存在。 设置意图设置意图: :这是学生首次尝试结合椭圆图形发现几何性质,再从数、形等多种途径探讨椭圆的几何性质, 让学生在了解如何利用曲线方程研究曲线性质的基础上，充分认识到高中数学的学习是多个角度的，尤其 是几何对象，不仅关注形，还要关注数层面的一种解释，为后继研究其它曲线的几何性质奠定重要基础。 通过对通过对椭圆的几何性质椭圆的几何性质的探索的探索, , 了解可以从数、形等多种途径了解可以从数、形等多种途径得出得出椭圆椭圆几何性质几何性质，发展学生直观想象，发展学生直观想象 素养和数学抽象素养。素养和数学抽象素养。 自主探究（自主探究（4 4）研究椭圆的离心率）研究椭
16、圆的离心率 学生活动：研究分析、发表言论、展示方案 学生给出如下方案： 方案一：由 a,c 决定 方案二：由 a,b 决定 1212 1 212 x0yb;=0 x ( a, ), ( ,0), (0,), (0, ) ya oA aBbBb AAB Bab 在椭圆的标准方程中，令得令得 顶点概念：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点。 顶点坐标：A 相关概念：、分别叫做椭圆的长轴和短轴。其中 、 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 5 / 7 方案：由或相对应的三角函数决定 教师活动：教师活动：针对学生充分思考交流提出的探究方案教师给与肯定，并引导学生发现方案中所涉及的量 都是椭圆特征三角形中的
17、元素，让学生意识到他们的探究都是可行地、相通地。为了方便进行取舍，进而 回归椭圆定义，让学生对定义再认识,借助几何画板加强直观感受。通过这一系列过程使学生感受到自己 的探究有价值，体会定义的完美，至此得出离心率这一形象名称。最后提出太阳系的九大行星已变为八大 行星，冥王星被除名就和离心率有关。 设计意图：设计意图：对于新生概念让学生掌握其原理再给出概念，更易于学生心理接受。同时抛出冥王星被除名事 件激发学生课堂外的学习兴趣。 （过渡）师：前面我们着重分析了 X 型椭圆的几何性质，类比可以得到 Y 型椭圆的几何性质，现在请大家 动手完成。 活动活动 2 2：学生类比完成焦点在：学生类比完成焦点在
18、 Y Y 轴上的椭圆的简单几何性质轴上的椭圆的简单几何性质 设计意图：设计意图：首先学生在实践中明确几何对象的研究规律，其次学生感知同一曲线由于坐标系选取不同，方 程的形式不同，但是最后得出的性质是一样的，即曲线性质与坐标系的选取无关。 运用新知：运用新知： 问题问题 3 3：阅读课本例：阅读课本例 4 4，你有什么认识？，你有什么认识？ 例例 4 4、 求椭圆、 求椭圆 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。 活动成果：（1）利用方程研究椭圆几何性质时，若椭圆方程不是标准方程，首先化为标准方程，然后确 定相应的 a、b、c。 （2） 利用椭圆
19、几何性质可以简化作图过程， 保证图形的准确性， 掌握画椭圆草图的基本步骤和注意事项：利用椭圆几何性质可以简化作图过程， 保证图形的准确性， 掌握画椭圆草图的基本步骤和注意事项： 以椭圆的长轴长、短轴长为邻边长，以原点为中心画矩形。 以矩形与坐标轴的四个交点为椭圆的四个顶点。 用光滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆。 画图时要注意他们的对称性及顶点附近的光滑性。 设置意图：设置意图：（1）学生阅读交流提高认识而不是教师讲解，能够使学生感悟知识的应用。 （2）与第一课画椭圆相呼应，使学生认识到运用椭圆几何性质能够简化作图过程。 （三）学而习之，牛刀小试（三）学而习之，牛刀小试 22 1625400 x
20、y - 3 -e=; 5 4 5 P 练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点（ 3,0）、Q（0，2）； （2）焦点为（0，4）、（0,4）， （3）长轴的长等于20，离心率等于 6 / 7 师生活动：师生活动：学生板演，教师点评，加以规范总结 设计意图：设计意图：通过练习进一步强化应用使学生从感性认识上升到理性认识，同时在解题过程中领会函数 与方程以及分类讨论（注意焦点在 x 轴上和 y 轴上的两种情况，培养学生分类讨论的意识）的数学思 想。 ( (四四) )课堂小结、提炼过程课堂小结、提炼过程 思考思考: :回顾知识的形成过程，互相交流，谈谈对本节课的认识回顾知识的形成过程，
21、互相交流，谈谈对本节课的认识? ?如果让你研究一个新的曲线的几何性质如果让你研究一个新的曲线的几何性质 你打算如何分析，比如双曲线你打算如何分析，比如双曲线? ? 设置意图设置意图: :通过反思，深化知识的形成过程，完善认知结构，掌握研究的方法和思路，感受研究几何 对象的基本规律，使学生有意识地运用数与形的一致性思考为后续其它圆锥曲线几何性质的研究奠定基础。 （五）课堂延伸、布置作业（五）课堂延伸、布置作业 1 1、课堂作业：、课堂作业： （1）课本 P49 A 组 3、4 （2）课本 P48 练习 5 2 2、课后作业：、课后作业： 课后探究：课后探究：把圆从竖直方向压扁变成一个椭圆，圆的圆
22、周角定理会演变成椭圆的什么性质？两直线是否 还会垂直？其斜率乘积等于何值？ 课外网上查阅：课外网上查阅：冥王星为什么从太阳系大行星中除名？ 设计意图设计意图:通过课堂作业和课后作业进一步落实本节课所学知识,让学生在具体问题解决中形成实践能力， 发展学生实践创新的核心素养。 椭圆的简单几何性质点评椭圆的简单几何性质点评 宁夏银川市第六中学-胡永贤 张雪梅老师执教的本节课,从其教学设计和课堂教学的实施过程看,有以下明显的特 点: 1 张老师专业功底比较扎实,语言的感染力很强,表达流畅,教态优雅,板书设计合理,能起 到很好的示范作用。 2 问题引领,具有思维价值,体现了新课程“以学生发展为本”的基本
23、理念。问题串设置合 理,问题的逐一解决,为学生的思维发展打开了空间。平淡之中体现数学问题本质,通过让 学生画椭圆揭示出函数图象与方程曲线的区别与联系,使学生对高等数学中“隐函数方程” 有了初步认识;对“范围”及“对称性”两条看似简单的性质,却通过学生对椭圆的数和 形两个方面的探究,深入挖掘和进行“升华”,最后回到“范围”及“对称性”的本质。 注重引导学生解决问题时回到定义,指明解析几何的目的所在,并在恰当时机渗透数学文 化。 3 关注学生的思维活动,生生互动,师生互动彰显高效。在研究简单几何性质时,通过学生自 7 / 7 主探究和小组合作相结合的方式,极大地调动了学生学习的激情,也获得了良好的
24、效果; 在引入离心率时,通过几何画板的展示，问题既明确又开放,使学生对“为什么引入离心 率”理解自然透彻。 4 多媒体运用合理有效。实物投影和板演相结合,既能提高课堂效率又兼顾解答的规范性。 值得指出的是,张老师充分利用几何画板平台辅助教学,丰富了学生的直观感悟与经历, 化解了教学难点。动态演示离心率对椭圆扁平程度的影响过程中,加深了学生对离心率的 认识。 5 教学目标完成来看,本节课的重点是椭圆的几何性质范围、顶点、对称性、离心率, 以及 a、b、c、e 的几何意义以及相互关系。教师通过学生合作学习,很容易的解决了以 上知识,这也培养了学生的观察问题、分析问题的能力。 6 建议:进一步加强对小组合作学习过程的反馈与指导.
