1、【常考题】高中必修二数学下期中试题附答案一、选择题1已知三棱锥中，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（ ）ABCD2设曲线在点处的切线与直线平行，则a=（）A-4BCD43圆上的动点到直线的最小距离为（ ）A1BCD4若函数单调递增,则实数a的取值范围是( )ABCD5在三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（）ABCD6某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）ABCD327已知点和在直线的两侧，则直线的倾斜角的取值范围是 ( )ABCD8在长方体中，点在线段上运动，当异
2、面直线与所成的角最大时，则三棱锥的体积为（ ）ABCD9如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且面，则在侧面上的轨迹的长度是ABCD10已知直线与圆交于，两点，则弦长的取值范围是（ ）ABCD11已知的三个顶点在以为球心的球面上，且，,三棱锥的体积为，则球的表面积为（）ABCD12如图在正方体中，点为线段的中点. 设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )ABCD二、填空题13若圆的方程为，则当圆的面积最大时，圆心坐标和半径分别为 、 14如上图所示，在正方体中，分别是棱的中点，的顶点在棱与棱上运动，有以下四个命题：A平面； B平面平面；C在底面上的射影图形的
3、面积为定值；D在侧面上的射影图形是三角形其中正确命题的序号是_.15小明在解题中发现函数，的几何意义是：点与点连线的斜率，因此其值域为，类似地，他研究了函数，则函数的值域为_16在棱长为的正方体中，是的中点，直线与平面交于点，则线段的长度为_17在平面直角坐标系中，的坐标分别为，则的平分线所在直线的方程为_18已知垂直于平行四边形所在平面，若，则平行四边形一定是_.19如图，已知圆锥的高是底面半径的倍，侧面积为，若正方形内接于底面圆，则四棱锥侧面积为_20已知点是直线上的一个动点，是圆的两条切线，是切点，若四边形的面积的最小值为，则实数的值为_三、解答题21如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂
4、直，是上异于，的点（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由22如图，在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上（）求证：；（）若是线段上一点，三棱锥的体积为，求的值.23如图，在棱长均为4的三棱柱中，分别是和的中点.（1）求证：平面（2）若平面平面，求三棱锥的体积.24如图，在中，斜边，可以通过以直线为轴旋转得到，且平面平面动点在斜边上（1）求证：平面平面；（2）当为的中点时，求异面直线与所成角的正切值25如图，在直三棱柱中，是棱上的一点（1）求证：；（2）若是的中点，且平面，求的长26如图所示，直角梯形中，四边形为矩形，平面.（1）求证：平面；（2）求二面角二面角的正弦值
5、；（3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1C解析：C【解析】【分析】作出三棱锥的外接长方体，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积.【详解】作出三棱锥的外接长方体，如下图所示：设，则，上述三个等式相加得，所以，该长方体的体对角线长为，则其外接球的半径为，因此，此球的体积为.故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等
6、题.2D解析：D【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到函数在时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a值【详解】解：由，得，又曲线在点处的切线与直线平行，即故选D【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中档题3B解析：B【解析】【分析】先求出圆心到直线的距离，根据距离的最小值为，即可求解.【详解】由圆的一般方程可得，圆心到直线的距离所以圆上的点到直线的距离的最小值为.故选B.【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于中档题.4B解析：B【解析】【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小
7、关系列出不等式求解即可【详解】解：函数单调递增，解得所以实数的取值范围是故选：【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题5C解析：C【解析】【分析】首先确定三角形为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定球的表面积【详解】解：如图所示：三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则：当时，线段达到最小值，由于：平面，所以：，解得：，所以：，则：，由于：，所以：则：为等腰三角形所以：，在中，设外接圆的直径为，则：，所以：外接球的半径，则：，故选：C【点睛】本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用6B解析：B【
8、解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为4，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是，选B.点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图2三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据7D解析：D【解析】设直线l的倾斜角为0,).点A(1,2),B(,0).直线l:axy1=0(a0)经过定点P(0,1).点(1,2)和(,0)在直线l:axy1=0(a0)的两侧，kPAakPB,1tan，tan0.解得.本题选择D选项.8B解
9、析：B【解析】【分析】当P与A重合时，异面直线CP与BA1所成的角最大，由此能求出当异面直线CP与BA1所成的角最大时，三棱锥CPA1D1的体积【详解】如图，当P与A重合时，异面直线CP与BA1所成的角最大，当异面直线CP与BA1所成的角最大时，三棱锥CPA1D1的体积：=故选:B【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法分割法、补形法、等体积法. 割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条
10、件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值9D解析：D【解析】【分析】设，分别为、边上的中点，由面面平行的性质可得落在线段上，再求的长度即可.【详解】解：设，分别为、边上的中点，则四点共面，且平面平面，又面，落在线段上，正方体中的棱长为，即在侧面上的轨迹的长度是故选【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.10D解析：D【解析】【分析】由直线，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系，即可求解.【详解】由直线，可得，又由，解得，即直线恒过定点
11、，圆心，当时弦长最短，此时，解得，再由经过圆心时弦长最长为直径，所以弦长的取值范围是.故选：D.【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.11C解析：C【解析】【分析】由已知可得三角形为直角三角形，斜边的中点就是的外接圆圆心，利用三棱锥的体积，求出到底面的距离，可求出球的半径，然后代入球的表面积公式求解【详解】在中，得，则斜边的中点就是的外接圆的圆心，三棱锥的体积为，解得，球的表面积为故选C【点睛】本题考查球的表面积的求法，考查
12、锥体体积公式的应用，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.12B解析：B【解析】【分析】【详解】设正方体的棱长为，则，所以，.又直线与平面所成的角小于等于，而为钝角，所以的范围为，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角.二、填空题13【解析】试题分析：圆的面积最大即半径最大此时所以圆心为半径为1考点：圆的方程解析：，【解析】试题分析：圆的面积最大即半径最大，此时，所以圆心为半径为1考点：圆的方程14【解析】由正方体的几何性质对4个命题进行判断对于A当动点P与点重合时以等腰三角形与不垂直所以不能得出平面A为假命题；对于B易证所以平面所以平面平面故B为真命题；对于C在底面上的射影图形的面积为定
13、值解析：【解析】由正方体的几何性质对4个命题进行判断，对于A，当动点P与点重合时，以等腰三角形，与不垂直，所以不能得出平面，A为假命题；对于B，易证，所以平面，所以平面平面，故B为真命题；对于C， 在底面上的射影图形的面积为定值，因为在底面的射影是三角形，底边是，点P在底面的射影在CD上，到的距离不变，若正方体棱长为时，则射影面积为为定值，所以C为真命题；对于D，当P点与点重合时，则点与点P的投影重合，此时 在侧面上的射影图形是线段，不是三角形，故D是假命题。真命题有BC.点睛：本题主要考查面面之间的关系以及投影的概念，属于中档题，解决本题的关键是对正方体中的点线面之间的关系有比较透彻的了解，
14、对其中的空间位置比较熟悉。15【解析】【分析】根据斜率的几何意义表示函数图象上的点与点连线的斜率数形结合即可求解【详解】为点与点连线的斜率点在函数图像上在抛物线图象上的最大值为最小值为过点与图象相切的切线斜率设为切线方程为代入得解析：【解析】【分析】根据斜率的几何意义，表示函数图象上的点与点连线的斜率，数形结合，即可求解.【详解】为点与点连线的斜率，点在函数图像上，在抛物线图象上，的最大值为，最小值为过点与图象相切的切线斜率，设为，切线方程为，代入得，即，解得或当时，当时，不合题意，舍去，值域为.故答案为:.【点睛】本题考查函数的值域、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.16【解析】
15、【分析】在平面中与的交点即为求出长即可求解【详解】连在正方体中所以四边形为矩形相交其交点为平面的交点是的中点为的中位线为中点正方体各棱长为1故答案为:【点睛】本题考查空间线面位置关系确定直线解析：【解析】【分析】在平面中，与的交点即为，求出长，即可求解.【详解】连，在正方体中，所以四边形为矩形，相交，其交点为平面的交点，是的中点，为的中位线，为中点，正方体各棱长为1，.故答案为:.【点睛】本题考查空间线面位置关系，确定直线与平面交点是解题的关键，意在考查直观想象能力，属于中档题.17【解析】【分析】设的平分线与交于根据角平分线与面积关系求出利用共线向量坐标关系求出点坐标即可求解【详解】设的角平
16、分线与交于解得所以的平分线方程为故答案为:【点睛】本题考查角平分线方程向量共线坐标应用解析：【解析】【分析】设的平分线与交于，根据角平分线与面积关系求出，利用共线向量坐标关系，求出点坐标，即可求解.【详解】设的角平分线与交于，解得，所以的平分线方程为.故答案为:.【点睛】本题考查角平分线方程、向量共线坐标，应用角平分线性质是解题的关键，属于中档题.18菱形【解析】【分析】【详解】根据题意画出图形如图PA垂直平行四边形ABCD所在平面PABD又PCBDPA平面PACPC平面PACPAPC=PBD平面PAC又AC平面PACA解析：菱形【解析】【分析】【详解】根据题意，画出图形如图，PA垂直平行四边
17、形ABCD所在平面，PABD，又PCBD，PA平面PAC，PC平面PAC，PAPC=PBD平面PAC又AC平面PACACBD又ABCD是平行四边形平行四边形ABCD一定是 菱形故答案为菱形19【解析】分析：设圆锥底面半径为则高为母线长为由圆锥侧面积为可得结合利用三角形面积公式可得结果详解：设圆锥底面半径为则高为母线长为因为圆锥侧面积为设正方形边长为则正四棱锥的斜高为正四棱锥的侧面积为故答解析：.【解析】分析：设圆锥底面半径为，则高为，母线长为，由圆锥侧面积为，可得，结合，利用三角形面积公式可得结果.详解：设圆锥底面半径为，则高为，母线长为，因为圆锥侧面积为，设正方形边长为，则，正四棱锥的斜高为
18、，正四棱锥的侧面积为，故答案为.点睛：本题主要考查圆锥的性质、正四棱锥的性质，以及圆锥的侧面积、正四棱锥的侧面积，属于中档题，解答本题的关键是求得正四棱锥底面棱长与圆锥底面半径之间的关系.20【解析】分析：画出图形（如图）根据圆的性质可得然后可将问题转化为切线长最小的问题进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理详解：根据题意画出图形如下图所示由题意得圆的圆心半径是由圆的性质可得四边形的解析：【解析】分析：画出图形（如图），根据圆的性质可得，然后可将问题转化为切线长最小的问题，进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理详解：根据题意画出图形如下图所示由题意得圆的圆心，半径是，由圆的性质可得，四
19、边形的最小面积是，的最小值（是切线长）， 圆心到直线的距离就是的最小值，又，点睛：本题考查圆的性质、切线长定理的运用，解题时注意转化思想方法的运用，结合题意将问题逐步转化为点到直线的距离的问题处理三、解答题21（1）证明见解析（2）存在，理由见解析【解析】【分析】【详解】分析：（1）先证,再证，进而完成证明（2）判断出P为AM中点，证明MCOP，然后进行证明即可详解：（1）由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM又BCCM=C，所以DM平面BMC而DM平面AMD，故平面AMD平
20、面BMC（2）当P为AM的中点时，MC平面PBD证明如下：连结AC交BD于O因为ABCD为矩形，所以O为AC中点连结OP，因为P为AM 中点，所以MCOPMC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD点睛：本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问先断出P为AM中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想象能力，属于中档题22（1）证明见解析；（2）3【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）要证线线垂直，一般先证线面垂直，考虑直线，由已知与平面垂直可得，再由直三棱柱中侧棱与底面垂直，又得，从而可得与平面垂直，于是得证线线垂直；（2）由（1）知
21、是等腰直角三角形，可得其面积，由可通过解直角三角形得，从而可求得三棱锥的体积由三棱锥与三棱锥的关系可求得，从而得（也可设，求得三棱锥（用表示），再由已知列方程解得）试题解析：（1）平面，平面，在直三棱柱中易知平面，平面，平面，.（2）设，过点作于点，由（1）知平面，.，.平面，其垂足落在直线上，在中，又，在中，.又三棱锥的体积为，解得.，.23（1）证明见解析（2）8【解析】试题分析：（1）欲证A1D1平面AB1D，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1D1与平面AB1D内一直线平行，连接DD1，根据中位线定理可知B1D1BD，且B1D1=BD，则四边形B1BDD1为平行四边形，同理可证四
22、边形AA1D1D为平行四边形，则A1D1AD又A1D1平面AB1D，AD平面AB1D，满足定理所需条件；（2）根据面面垂直的性质定理可知AD平面B1C1CB，即AD是三棱锥AB1BC的高，求出三棱锥AB1BC的体积，从而求出三棱锥B1ABC的体积试题解析：（1）证明：如图，连结.在三棱柱中，因为分别是与的中点，所以，且. 所以四边形为平行四边形，所以，且.又所以，所以四边形为平行四边形，所以.又平面，平面，故平面.（2）解：（方法1)在中，因为，为的中点，所以.因为平面平面，交线为，平面,所以平面，即是三棱锥的高.在中，由，得.在中，所以的面积.所以三棱锥的体积，即三棱锥的体积.(方法 2)在
23、 中，因为，所以为正三角形，因此.因为平面平面，交线为，平面，所以平面，即是三棱锥的高.在中，由，得的面积.在中，因为，所以.所以三棱锥的体积.点睛：本题主要考查了线面平行的判定，以及三棱锥的体积的计算，同时考查了推理论证的能力、计算能力，转化与划归的思想，属于中档题24（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）平面平面，可证平面，即可证明结论；（2）取中点，连，则，（或补角）为异面直线与所成的角，解，即可求出结论.【详解】（1）平面平面，平面平面，平面平面，平面平面平面；（2）取中点，连，为的中点，（或补角）为异面直线与所成的角，平面，平面，平面，在中，斜边，所以异面直线与所成角的正切
24、值为. 【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面垂直，注意空间垂直间的相互转化，求异面直线所成的角，要掌握空间角的解题步骤，“做”“证”“算”缺一不可，考查直观想象能力，属于中档题.25（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由已知可得，结合，可得平面，即可证明结论；（2）取中点，连，则，由平面，可证，得到四边形为平行四边形，即可求的长.【详解】（1）在直三棱柱中，平面，又平面，平面，平面，；（2）取中点，连，是的中点，又，可确定平面平面，平面，平面平面，四边形为平行四边形，.【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，注意空间垂直间的相互转化，以及直线与平面平行性质定理的应用，意在
25、考查直观想象、逻辑分析能力，属于中档题.26（1）证明见解析；（2）；（3）存在，或【解析】【分析】（1）以分别为轴建立空间直角坐标系，得到证明.（2）平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案.（3）假设存在点满足条件，设，设线与平面所成角为，解得答案.【详解】（1）取中点，连接，易知，平面，四边形为矩形，故平面.以分别为轴建立空间直角坐标系， 则，.，故，故平面.（2）设平面的一个法向量为，则，即，取，则.设平面的一个法向量为，则，即，取，则.则，故二面角二面角的正弦值为.（3）假设存在点满足条件，设，则，设线与平面所成角为，则，解得或.故，故或.【点睛】本题考查了线面平行，二面角，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
