1、【必考题】高中必修三数学上期末试题带答案一、选择题1如图，和都是圆内接正三角形，且，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在内”，表示事件“豆子落在内”，则（ ）ABCD2把“二进制”数101101（2）化为“八进制”数是（ ）A40（8）B45（8）C50（8）D55（8）3将A，B，C，D，E，F这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A，B，C三个字母连在一起，且B在A与C之间的概率为（ ）ABCD4执行如图的程序框图，如果输入，输出的，则输入的是（ ）A30B20C12D85大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少
2、分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（ ）ABCD6执行如图的程序框图，那么输出的S的值是（）A1BC2D17设A为定圆C圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，求弦长超过半径倍的概率（ ）ABCD8我国古代数学著作九章算术中，有这样一道题目：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升.问：米几何？”下图是源于其思想的一个程序框图，若输出的（单位：升），则输入的（ ）A9B10C11D129太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化、相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，
3、在平面直角坐标系中，圆被的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）ABCD10类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设D为中点，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）ABCD11我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如.（注：如果一个大于1的整数除1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数.）在不超过11的素数中，随机选取2个不同的数，其和小于等于
4、10的概率是（ ）ABCD12小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7:05，7:15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（ ）ABCD二、填空题13执行如图所示的程序框图，若输入的则输出的的值为_14为长方形，为的中点，在长方形内随机取一点，取到的点到的距离大于1的概率为_15某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从11000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为
5、_16现有编号为1，2，3，100的100把锁，利用中国剩余定理的原理设置开锁密码，规则为：将锁的编号依次除以3，5，7所得的三个余数作为该锁的开锁密码，这样，每把锁都有一个三位数字的开锁密码.例如，编号为52的锁所对应的开锁密码是123，开锁密码为232所对应的锁的编号是23.若一把锁的开锁密码为203，则这把锁的编号是_17阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为_18执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的_19使用如图所示算法对下面一组数据进行统计处理，则输出的结果为_数据：， ， ， ，20向面积为20的内任投一点，则使的面积小于5的概率是_三、解答题21现有8名马拉松
6、比赛志愿者，其中志愿者，通晓日语，通晓俄语，通晓英语，从中选出通晓日语、俄语和英语的志愿者各1名，组成一个小组列出基本事件；求被选中的概率；求和不全被选中的概率22为了鼓励市民节约用电，某市实行“阶梯式”电价，将每户居民的月用电量分为二档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度的部分按0.8元/度收费.某小区共有居民1000户，为了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年7月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值；（2）试估计该小区今年7月份用电量用不超过260元的户数；（3）估计7月份该市居民用户的平均用电费用（同一组中的数据用该
7、组区间的中点值作代表）.23某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：.（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均数与中位数.24市政府为了节约用水，调查了100位居民某年的月均用水量（单位：），频数分布如下：分组频数4815222514642（1）根据所给数据将频率分布直方图补充完整（不必说明理由）；（2）根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的中位数；（3）根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的平均数（同一组数据由该组区间的中点值作为代表）.25“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国
8、的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在的人数；（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄
9、在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望.26从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a，b的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1D解析：D【解析】如图所示，作三条辅助线，根据已知条件，这些小三角形全等，包含 个小三角形，同时又在内的小三角
10、形共有 个，所以 ，故选D.2D解析：D【解析】【分析】先将这个二进制转化成十进制,然后除8取余数,即可得出答案.【详解】101101（2）=125+0+123+122+0+120=45（10）再利用“除8取余法”可得：45（10）=55（8）故答案选D【点睛】本道题考查了不同进制数的转化,较容易,先将二进制数转化成十进制,然后转为八进制,即可.3C解析：C【解析】【分析】将A，B，C三个字捆在一起，利用捆绑法得到答案.【详解】由捆绑法可得所求概率为.故答案为C【点睛】本题考查了概率的计算，利用捆绑法可以简化运算.4A解析：A【解析】从流程图看，该程序是利用辗转相除法计算的最大公约数.题设中已
11、知，输入的数为，程序给出了它们的最大公约数为，比较四个数，只有的最大公约数为，故输入的数的值为，选A.5C解析：C【解析】【分析】基本事件总数n36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m12，由此能求出小明恰好分配到甲村小学的概率【详解】解：大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，每个村小学至少分配1名大学生，基本事件总数n36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m12，小明恰好分配到甲村小学的概率为p故选C【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6B解析：B【解析】由题意可得：初如值S=2,k=201
12、5,S=-1,k=20162018S=,k=20172018输出2,选C.7D解析：D【解析】【分析】先找出满足条件弦的长度超过的图象的测度，再代入几何概型计算公式求解，即可得到答案【详解】根据题意可得，满足条件：“弦的长度超过对应的弧”，其构成的区域为半圆,则弦长超过半径倍的概率，【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算中的“几何度量”，对于几何概型的“几何度量”可以线段的长度比、图形的面积比、几何体的体积比等，且这个“几何度量”只与“大小”有关，与形状和位置无关，着重考查了分析问题和解答问题的能力8D解析：D【解析】【分析】计算出每次循环时各变量的值并与比较后可得对应的的值.【详解】，；，
13、；，；，所以.故选：.【点睛】本题以数学文化为背景考虑流程图，此类问题应该根据流程图计算每次循环时各变量的值，从而可得程序终止的条件、输出的结果等，本题属于中档题.9B解析：B【解析】设大圆的半径为R，则：，则大圆面积为：，小圆面积为：，则满足题意的概率值为：.本题选择B选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.10A解析：A【解析】【分析】根据几何概型的概率计算公式，求出中间小三角形的面积与大三角形的面积的比值即可【详解】
14、设，因为D为中点，且图形是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形所以，所以由余弦定理得：即，设的面积为，的面积为因为与相似所以故选：A11A解析：A【解析】【分析】先列出不超过11的素数,再列举出随机选取2个不同的数的情况,进而找到和小于等于10的情况,即可求解【详解】不超过11的素数有:2,3,5,7,11,共有5个,随机选取2个不同的数可能为:,共有10种情况,其中和小于等于10的有:,共有5种情况,则概率为,故选:A【点睛】本题考查列举法求古典概型的概率,属于基础题12C解析：C【解析】【分析】设小赵到达汽车站的时刻为x，小王到达汽车站的时刻为y，根据条件建立二
15、元一次不等式组，求出对应的区域面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可【详解】如图，设小赵到达汽车站的时刻为x，小王到达汽车站的时刻为y，则0x15，0y15，两人到达汽车站的时刻（x，y）所对应的区域在平面直角坐标系中画出（如图所示）是大正方形将2班车到站的时刻在图形中画出，则两人要想乘同一班车，必须满足（x，y）|，或，即（x，y）必须落在图形中的2个带阴影的小正方形内，则阴影部分的面积S=55+1010=125，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率P=，故选：【点睛】本题主要考查几何概型的概率公式的应用，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键二、填空题135【解析】【分析】
16、模拟执行程序框图依次写出每次循环得到的的值当时根据题意退出循环输出结果【详解】模拟执行程序框图可得；此时退出循环输出结果故答案为5【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题涉及到解析：5【解析】【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的的值，当时，根据题意，退出循环，输出结果.【详解】模拟执行程序框图，可得；此时，退出循环，输出结果，故答案为5.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有计算循环结构程序框图输出结果的问题，属于简单题目.141-12【解析】【分析】由题意得长方形的面积为S=32=6以O点为原型半径为1作圆此时圆在长方形内部的部分的面积为Sn=2再由面积比的几何概
17、型即可求解【详解】由题意如图所示可得长方形的面积为S解析：【解析】【分析】由题意，得长方形的面积为，以O点为原型，半径为1作圆，此时圆在长方形内部的部分的面积为，再由面积比的几何概型，即可求解.【详解】由题意，如图所示，可得长方形的面积为，以O点为原型，半径为1作圆，此时圆在长方形内部的部分的面积为，所以取到的点到的距离大于1的表示圆的外部在矩形内部分部分，所以概率为.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.1518【解析】【分析】由题
18、意知抽样方法为系统抽样因此若第一组抽取号码为x则第18组抽取的号码为即可解得【详解】因为抽样方法为系统抽样因此若第一组抽取号码为x则第18组抽取的号码为解得【点睛】本题主要考解析：18【解析】【分析】由题意知，抽样方法为系统抽样，因此，若第一组抽取号码为x，则第18组抽取的号码为，即可解得.【详解】因为抽样方法为系统抽样，因此，若第一组抽取号码为x，则第18组抽取的号码为，解得.【点睛】本题主要考查了系统抽样，属于中档题.1680【解析】【分析】本道题一一列举把满足条件的编号一一排除即可【详解】该数可以表示为故该数一定是5的倍数所以5的倍数有51015202530354045505560657
19、07580859095100解析：80【解析】【分析】本道题一一列举，把满足条件的编号一一排除，即可【详解】该数可以表示为，故该数一定是5的倍数，所以5的倍数有5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90,95,100，该数满足减去3能够被7整除，只有10,45,80，而同时要满足减去2被3整除，所以只有80.【点睛】本道题考查了列举法计算锁编号问题，难度一般174【解析】由程序框图可知：S=2=0+（1）11+（1）22+（1）33+（1）44因此当n=4时满足判断框的条件故跳出循环程序故输出的n的值为4故答案为4解析：4【解析】由
20、程序框图可知：S=2=0+（1）11+（1）22+（1）33+（1）44，因此当n=4时，满足判断框的条件，故跳出循环程序故输出的n的值为4故答案为418【解析】分析：由已知中的程序框图可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值模拟程序运行过程分析循环变量值的变化规律即可求解答案详解：执行如图所示的程序框图：第一次循环：满足条件；第二次循环：满解析：【解析】分析：由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序运行过程，分析循环变量值的变化规律，即可求解答案详解：执行如图所示的程序框图：第一次循环：，满足条件；第二次循环：，满足条件；第三次循环：，满足条件；
21、第四次循环：，满足条件；第五次循环：，满足条件；第六次循环：，不满足条件，推出循环，此时输出；点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图的运行与结果出的输出问题，解题是应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的计算结果，同时注意判断框的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力19【解析】【分析】分析程序框图的功能在于寻找和输出一组数据的最大值观察该题所给的数据可知其最大值为M的值即为取最大时对应的脚码从而求得结果【详解】仔细分析程序框图的作用和功能所解决的问题是找出一组数据解析：【解析】【分析】分析程序框图的功能，在于寻找和输出一组数据的最大值，观察该题所给的数据，可知其最大值为，M的值即为取最大
22、时对应的脚码，从而求得结果.【详解】仔细分析程序框图的作用和功能，所解决的问题是找出一组数据的最大值，并指明其为第几个数，观察数据得到第八个数是最大的，且为9.7，所以答案是9.7,8.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有框图的作用和功能，观察所给的数据，从而得到结果，所以要读取框图的作用非常关键.20【解析】分析：在内任投一点要使的面积小于5根据几何关系求解出它们的比例即可详解：记事件的面积大于5基本事件是的面积如图：事件A的几何度量为图中阴影部分的面积（DE分别是三角形的边上的四等分点）且解析：【解析】分析：在内任投一点，要使的面积小于5，根据几何关系求解出它们的比例即
23、可.详解：记事件的面积大于5，基本事件是的面积，如图：事件A的几何度量为图中阴影部分的面积（D、E分别是三角形的边上的四等分点），且相似比为，.的面积小于5的概率是.故答案为：.点睛：本题考查几何概型，解答此题的关键在于明确测度比是面积比，对于几何概型常见的测度是长度之比、面积之比、体积之比、角度之比，要根据题意合理的判断和选择是哪一种测度进行求解，属于中档题.三、解答题21（1）见解析；（2）；（3）【解析】【分析】利用列举法能求出基本事件；用M表示“被选中”，利用列举法求出M中含有6个基本事件，由此能求出被选中的概率；用N表示“和不全被选中”，则表示“和全被选中”，利用对立事件概率计算公式
24、能求出和不全被选中的概率【详解】现有8名马拉松比赛志愿者，其中志愿者，通晓日语，通晓俄语，通晓英语，从中选出通晓日语、俄语和英语的志愿者各1名，组成一个小组基本事件空间，共18个基本事件由于每个基本事件被选中的机会相等，这些基本事件是等可能发生的，用M表示“被选中”，则，含有6个基本事件，被选中的概率用N表示“和不全被选中”，则表示“和全被选中”，含有3个基本事件，和不全被选中的概率【点睛】本题考查基本事件、古典概型概率的求法，考查列举法、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数
25、即可.22(1)；(2)900；(3)152.5（元）.【解析】分析：（1）由频率分布直方图面积之和为列过程能求出的值；（2）当用电量为度时，用电费用为元，此户居民中用电费用超过元的户数为户，此户居民中用电费用不超过元的户数为户，从而该小区户居民中用电费用不超过元的户数为户；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到估计7月份该市居民用户的平均用电费用.详解：（1），解.（2）当用电量为400度时，用电费用为（元），所以此100户居民中用电费用超过260元的户数为（户），所以此100户居民中用电费用不超过260元的户数为90户，所以该小区1000户居民中用电费用不超过260
26、元的户数为900户.（3）该市居民平均用电费用为 （元）. 点睛：本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率.23（1）（2）平均数为73，中位数为：.【解析】【分析】（1）由频率和为1求解即可；（2）以各区间中点值代表各组的取值,进而求得平均数；求出从左边开始小矩形的面积的和为0.5对应的横轴的值即为中位数【详解】（1）由频率分布直方图知,解得（2）估计这100名学生语文成绩的平均分为:由（1）,设中位数为,则解得,故估计中位数为：.【点睛】本题考查频率的性质,考查利用频率分布直方图求平
27、均数和中位数,考查数据处理能力24（1）直方图见解析；（2）2.02；（3）2.02.【解析】分析：（1）根据表格中数据，求出所缺区间的纵坐标，即可将频率分布直方图补充完整；（2）根据直方图可判断中位数应在组内，设中位数为，则，解得；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到本市居民月均用水量的平均数.详解：（1）频率分布直方图如图所示: （2）0.040.080.150.220.490.5，0.040.080.150.220.250.740.5，中位数应在2，2.5)组内，设中位数为x，则0.49(x2)0.500.5，解得x2.02故本市居民月均用水量的中位数的估计值为
28、2.02 （3）0.250.040.750.081.250.151.750.222.250.252.750.143.250.063.750.044.250.02 2.02 故本市居民月均用水量的平均数的估计值为2.02点睛：本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.25(1)30;(2)54,55;(3) 的分布列如下：012数学期望【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图知年
29、龄在40，70）的频率为（0.020+0.030+0.025）10，进而得出40名读书者中年龄分布在40，70）的人数（2）40名读书者年龄的平均数为250.05+350.1+450.2+550.3+650.25+750.1计算频率为处所对应的数据即可得出中位数（3）年龄在20，30）的读书者有2人，年龄在30，40）的读书者有4人，所以X的所有可能取值是0，1，2利用超几何分布列计算公式即可得出试题解析：（1）由频率分布直方图知年龄在的频率为，所以40名读书者中年龄分布在的人数为.（2）40名读书者年龄的平均数为 .设中位数为，则解得，即40名读书者年龄的中位数为55.（3）年龄在的读书者有
30、人，年龄在的读书者有人，所以的所有可能取值是0,1,2，的分布列如下：012数学期望.26（1）；（2），；（3）第4组.【解析】试题分析：（1）由频率分布表知，100人中有10人阅读时间不少于12小时，所以由对立事件的概率计算公式得p=；（2）由频率分表知，阅读时间在4，6）的共17人，所以样本落在该组的概率为017，则频率分布直方图中样本落在4，6）的小矩形的面积为017，从而求出矩形的高即a的值，同理得到b的值；（3）可以通过频率分布表或频率分布直方图求出平均数即可知平均数在那一组试题解析：（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是；（2）课外阅读时间落在4，6）的有17人，频率为017，所以，课外阅读时间落在8，10）的有25人，频率为025，所以，（3）估计样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组考点：频率分布表和频率分布直方图的应用【方法点睛】频率分布直方图的几个常用结论：（1）所有小矩形的面积和为1；（2）小矩形的高等于样本落在该组的概率除以组距；（3）最高的小矩形的所在组的区间的中点值即为众数；（4）每个组的区间中点值乘以所在组的概率之和即为平均数；（4）样本取值m，两侧的样本数据的概率相等且为，则m即为中位数
