1、【压轴题】高中必修五数学上期末试卷(及答案)一、选择题1数列满足，则数列的前20项的和为( )A100B-100C-110D1102设满足约束条件，则的最大值是（ ）A9B8C3D43已知数列的前项和为，点在函数的图象上，等比数列满足，其前项和为，则下列结论正确的是（ ）ABCD4若的三个内角满足，则（ ）A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形5已知函数，则不等式的解集为 ( )ABCD6已知数列的首项，则（ ）ABCD7数列为等差数列，前项和分别为，若，则（ ）ABCD8在ABC中，若，则ABC的面积S是( )ABCD9在等差数列中，若，
2、且它的前项和有最大值，则使成立的正整数的最大值是（）A15B16C17D1410一个递增的等差数列，前三项的和，且成等比数列，则数列的公差为 ( )AB3C2D111在上定义运算：，若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是()ABCD12在直角梯形中，则（ ）ABCD二、填空题13已知，当取得最小值时，_14若变量满足约束条件 则的最小值为_.15九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升；16在中，内角，所对应的边长分别为，且，则的外接圆面积为_17已知数列为正项的递增等比数列，记数列的前项
3、和为，则使不等式成立的最大正整数的值是_18设，则对任意实数，“”是“”的_条件（填“充分不必要”.“必要不充分”.“充要”.“既不充分又不必要”之一）19若则的最小值为_.20设，满足则则的最小值是_.三、解答题21在数列中, 已知，且数列的前项和满足, .（1）证明数列是等比数列；（2）设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立, 求实数的取值范围.22已知等差数列的公差为，等差数列的公差为，设，分别是数列，的前项和，且，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：.23己知数列的前n项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和24已知数列中，.（1）求证：数
4、列是等比数列;（2）求数列的前项和.25已知数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.26设为等差数列的前项和，公差，且.（1）求的通项公式；（2）设数列的前项和为，若，对恒成立，求.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1B解析：B【解析】【分析】数列an满足，可得a2k1+a2k（2k1）即可得出【详解】数列an满足，a2k1+a2k（2k1）则数列an的前20项的和（1+3+19）100故选：B【点睛】本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题2A解析：A【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意
5、义可知目标还是在点处取得最大值，其最大值为.本题选择A选项.3D解析：D【解析】【分析】【详解】由题意可得： ，由等比数列前n项和的特点可得数列 是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式： ，设 ，则： ，解得： ，数列 的通项公式 ，由等比数列求和公式有： ，考查所给的选项： .本题选择D选项.4C解析：C【解析】【分析】由，得出，可得出角为最大角，并利用余弦定理计算出，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状.【详解】由，可得出，设，则，则角为最大角，由余弦定理得，则角为钝角，因此，为钝角三角形，故选C.【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大
6、边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.5B解析：B【解析】分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可详解：由于，当x0时，3+log2x5，即log2x2=log24，解得0x4，当x0时，x2x15，即（x3）（x+2）0，解得2x0，不等式f（x）5的解集为2，4，故选B点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.6C解析：C【解析】【分析】【详解】由，可得，是以为公差，以为首项的等差数列.，即
7、.故选C.7A解析：A【解析】依题意，.8A解析：A【解析】【分析】由正弦定理求出，【详解】是三角形内角，由正弦定理得，又，即，（舍去），故选：A【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查同角间的三角函数关系解三角形中公式较多，解题时需根据已知条件确定先选用哪个公式，再选用哪个公式要有统筹安排，不致于凌乱9C解析：C【解析】【分析】由题意可得，且，由等差数列的性质和求和公式可得结论【详解】等差数列的前项和有最大值，等差数列为递减数列，又，又，成立的正整数的最大值是17，故选C【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题10C解析：C【解析】【分析】【详解】解：
8、成等比数列，数列为递增的等差数列，设公差为d，即，又数列前三项的和，即，即d2或d2（舍去），则公差d2故选：C11C解析：C【解析】【分析】根据新运算的定义, ,即求恒成立,整理后利用判别式求出范围即可【详解】对于任意的实数恒成立,即恒成立,故选：C【点睛】本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题, 当时,利用判别式是解题关键12C解析：C【解析】【分析】设，计算出的三条边长，然后利用余弦定理计算出【详解】如下图所示，不妨设，则，过点作，垂足为点，易知四边形是正方形，则，在中，同理可得，在中，由余弦定理得，故选C【点睛】本题考查余弦定理求角，在利用余弦定理求角时，首先应将三角形的
9、边长求出来，结合余弦定理来求角，考查计算能力，属于中等题二、填空题13【解析】【分析】根据均值不等式知即再由即可求解注意等号成立的条件【详解】（当且仅当等号成立）（当且仅当等号成立）（当且仅当等号成立）故答案为【点睛】本题主要考查了均值不等式不等式等号成立的条件属于中解析：【解析】【分析】根据均值不等式知，即，再由即可求解，注意等号成立的条件.【详解】（当且仅当等号成立），（当且仅当等号成立），（当且仅当等号成立），.故答案为.【点睛】本题主要考查了均值不等式，不等式等号成立的条件，属于中档题.14【解析】由约束条件作出可行域如图联立解得化目标函数得由图可知当直线过点时直线在y轴上的截距最小有
10、最小值为故答案为点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值属简单题求目标函数最值的一般步骤解析：【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数，得，由图可知，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为，故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15【解析】试题分析：由题意可知解得所以考点：等差数
11、列通项公式解析：【解析】试题分析：由题意可知，解得，所以.考点：等差数列通项公式16【解析】【分析】根据正弦定理得到再根据计算得到答案【详解】由正弦定理知：即即故故答案为【点睛】本题考查了正弦定理外接圆面积意在考查学生的计算能力解析：【解析】【分析】根据正弦定理得到，再根据计算得到答案.【详解】由正弦定理知：，即，即.故.故答案为【点睛】本题考查了正弦定理，外接圆面积，意在考查学生的计算能力.178【解析】【分析】根据求得再求出带入不等式解不等式即可【详解】因为数列为正项的递增等比数列由解得则整理得：使不等式成立的最大整数为故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和同时考解
12、析：8【解析】【分析】根据，求得，.再求出，带入不等式，解不等式即可.【详解】因为数列为正项的递增等比数列，由，解得.则，.整理得：.使不等式成立的最大整数为.故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.18充要【解析】所以为奇函数又为单调递增函数所以即是的充要条件点睛：充分必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断若则若则的真假并注意和图示相结合例如为真则是的充分条件2等价法：利用与非非与非非解析：充要【解析】 ，所以为奇函数，又为单调递增函数，所以 ，即“”是“”的充要条件点睛：充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若则”、
13、“若则”的真假并注意和图示相结合，例如“”为真，则是的充分条件2等价法：利用与非非，与非非，与非非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件191【解析】试题分析：由得所以（当且仅当即时等号成立）所以答案应填1考点：1对数的运算性质；2基本不等式解析：1【解析】试题分析：由得，所以（当且仅当即时，等号成立）所以答案应填1.考点：1、对数的运算性质；2、基本不等式.20-4【解析】【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】解：作出可行域如图所示当直线
14、经过点时故答案为：【点睛】本题考查简单的线性解析：-4【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】解：作出可行域如图所示，当直线经过点时，.故答案为：【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题三、解答题21(1)见解析(2) 【解析】分析：（1）利用推出是常数，然后已知，即可证明数列是等比数列；（2）利用错位相减法求出数列的前项和为n，化简不等式，通过对任意的恒成立，求实数的取值范围详解：(1) 已知, 时, 相减得. 又易知. 又由得 .故数列是等比数列. (2)由(1)知. ,
15、.相减得, , 不等式为.化简得.设, .故所求实数的取值范围是.点睛：本题考查等比数列的判断，数列通项公式与前n项和的求法，恒成立问题的应用，考查计算能力22（1），；（2）见解析【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式及求和公式列的方程组求解则可求，进而得（2）利用分组求和即可证明【详解】（1）因为数列，是等差数列，且，所以.整理得，解得，所以，即，即.综上，.（2）由（1）得，所以，即.【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，裂项相消求和，考查推理计算能力，是中档题23（1）；（2）【解析】【分析】（1）运用，证明数列是等比数列，计算通项，即可。（2）将通项代入，得到的通项，结合
16、裂项相消法，计算求和，即可。【详解】（1）数列的前n项和为，且当时，解得：当时，得：，整理得：，即：常数，所以：数列是以，3为公比的等比数列，则：首项符合，故：（2）由于，所以，所以：，则：，【点睛】考查了等比数列的判定，考查了裂项相消法，考查了等比数列通项计算方法，难度中等。24（1）证明见解析（2）【解析】【分析】(1)根据求得,化简成含的表达式再得即可.(2)根据(1)中等比数列的首项与公比求得数列的通项公式,再代入即可求得数列的通项公式,再根据分组求和求解即可.【详解】（1）证明：因为所以, 又因为,则, 所以数列是首项为2,公比为2的等比数列.（2）由（1）知,所以, 所以【点睛】本
17、题主要考查了数列的递推公式证明等比数列的方法,同时也考查了分组求和与等比等差数列求和的公式等.属于中等题型.25（1）（2）【解析】【分析】（1）利用公式代入计算得到答案.（2）先计算得到，再利用错位相减法计算得到答案.【详解】（1）因为，所以，所以当时，即，当时，所以，所以.（2），于是，由-，得，所以.【点睛】本题考查了数列的通项公式，利用错位相减法计算数列的前n项和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.26（1）；（2）或【解析】【分析】(1)由可解得,进而求出,得到;(2)由(1)可求出,进而求出,即可求出其前项和的最小值,从而得出结论.【详解】(1),即,则,故;(2)由(1)知,则,令,解得,则,故或.【点睛】本题考查求等差数列的通项公式及其性质的应用,属于中档题.
