1、2 矩阵的范数矩阵的范数定义定义 1 1 RPPAnmnm ：，若若映映射射设设|满满足足.|上上的的矩矩阵阵范范数数为为则则称称映映射射nmp 1000()|A|,A|A|;正定性当且仅当时，正定性当且仅当时，;,|,|)2(nmPARAA 齐齐次次性性.,|,|)3(nmPBABABA 三三角角不不等等式式例例 1，则则设设nmPA njmiijmaA11|121112)|(|2 njmiijmaAnjmiaAijjim 11|max|,定义定义 2,:|,:|RPRPnlblma 设设是是矩矩阵阵范范数数，如如果果RPnmc :|bacBAAB|.|,|相相容容和和则则称称矩矩阵阵范范数
2、数cba 如如果果|BAAB .|是是自自相相容容矩矩阵阵范范数数则则称称 例例 3.|21是是相相容容的的矩矩阵阵范范数数和和mm 例例 2njmiaAijjim 11|max|,.是是不不相相容容的的矩矩阵阵范范数数例例如如 2222AB2|mAB 1|mmBA 1111BA证证nllmPBPA ,设设 njmilkkjikmbaAB111|)11 njmilkkjikba111|)|(111 lkminjkjikba lkminjkjikba111|)|(1111 lkminjkjlkikba)|()|(1111 milknjkjlkikba11|mmBA 211112)|(|)22 n
3、jmilkkjikmbaAB211112|)|(njmilkkjikba21121112)|()|(lkkjnjmilkikba2111221112)|()|(lknjkjmilkikba22|mmBA 21111212)|()|(njmilkiklkkjab定理定理 3,nnPA 设设则则若若),()1(21naaaA niimFaAA12222|2.|22iHiiaaa 其其中中，niHiHmAAAAtrA12)()(|)2(2，有有、对对任任意意的的酉酉矩矩阵阵nnPVU )3(222222|mHmHmUAVAVUA 证证)(|)3(22AAtrAHm)(HAAtr)(HHAAVVtr)(HAVAVtr)(AVAVtrH)(AVAVtrHH)(AVUUAVtrHHH)()(AVUAVUtrHHH 22|mHAVU 推论推论 1,nnPA 设设，、对对任任意意的的酉酉矩矩阵阵nnPVU 有有2222|mmmmUAVAVUAA
