1、圆知识点与典型例题复习知识点汇总；一、认识圆1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。7在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的。用
2、字母表示为：d2r或r 8、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。二、圆的周长1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。2圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。用字母（pai） 表示。（1）、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，一般取 3.14。（2）、在判断时，圆周长与它直径的比值是倍，而不是3.14倍。4、圆的周长公式： C
3、= d d = C 或C=2 r r = C 25、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。6、区分周长的一半和半圆的周长：（1） 周长的一半：等于圆的周长2 计算方法：2 r 2 即 r （2）半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。 计算方法：r2r 即 5.14 r三、圆的面积1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母S表示。2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。3、圆面积公式的推导：（1）、用逐渐逼近的转化思想： 体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化
4、复杂为简单，化抽象为具体。（2）、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。（3）、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。圆的半径 = 长方形的宽 圆的周长的一半 = 长方形的长 因为： 长方形面积 = 长 宽所以： 圆的面积 = 圆周长的一半 圆的半径 S圆 = r r 圆的面积公式： S圆 = r2 r2 = S 4、环形的面积:一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。（Rr环的宽度）环形的面积公式：S环 = R 或 S环 = （R）。5、扇形的面积计算公式： S扇 = r2（n表示扇形圆心角的度数）6、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而
5、面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。 例如：在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍。7、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。 例如：两个圆的半径比是23，那么这两个圆的直径比和周长比都是23，而面积比是498、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：49、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。10、常用各值结果：21 = 3.142 = 6.28 3 = 9.42 4 = 12.565 = 15.76 = 18.84 7
6、= 21.988 = 25.12 9 = 28.2610 = 31.4 16 = 50.24 25 = 78.5 36 = 113.0464 = 200.9696 = 301.4411、常用平方数结果11= 121 12 = 144 13 = 169 14 = 196 15 = 225 16 = 256 17 = 289 18 = 324 19 = 361典型例题 一、圆的特征。1、填空：在右图中，点O是圆的（ ），线段OA是圆的 （ ），它是连接（ ）和（ ）任意一点的线段，一般用 字母（ ）表示。线段（ ）是圆的直径， 一般用字母（ ）表示。在同一个圆中，直径与半径的长度比是（ ）。画圆时
7、，（ ）决定圆的位置，（ ）决定圆的大小。 2、判断：要使汽车行驶平稳，车轴应装在轮子所在的圆的圆心处。 （ ）两端都在圆上的线段，直径最长。 （ ） 在同圆或等圆中，所有半径的长度都相等。 （ ） 两端都在圆上的线段，直径最长。 （ ）3、选择：下面图形中，（ ）有无数条对称轴。 正方形 等边三角形 长方形 圆4、操作：用圆规画一个直径是4cm的圆。 找出下图圆的圆心，并用字母o 标示出来。 画出下面每一个图形的所有的对称轴。二、圆的周长1、填空：围成圆的曲线的长是圆的（ ）。圆不论大小，它的（ ）总是（ ）的 倍，这个固定的倍数叫做（ ）。一个闹钟的分针长3cm，经过一小时，分针的尖端走了
8、（ ）cm。右图，长方形的周长是（ ）cm。2、判断：圆的半径扩大到原来的2倍，它的周长就扩大到原来的4倍。（ ）3、选择：一个半圆，半径是r，它的周长是（ ） r r+r r+2r 甲乙两只蚂蚁以同样的速度，同时从A点出发，甲蚂蚁沿着正方形走，乙蚂蚁沿着圆形走，（ ）先回到起点。 甲 乙 同时 圆周率是一个（ ）。 有限小数 无限不循环小数 循环小数三、圆的面积1、填空：把一个圆分成若干（偶数）等份，能够拼成一个近似的长方形。这个近似长方形的长相当于这个圆周长的（ ），宽相当于这个圆的（ ），由此推导出圆的面积计算公式：S=（ ）。2、判断：圆的半径扩大到原来的2倍，它的面积就扩大到原来的4
9、倍。（ ）3、选择：两个圆的半径的比是2:3，那么它们的面积比是（ ）。 4:9 2:3 4:6四、综合解决问题1、填空：在一张6cm，宽4cm的长方形纸片上画一个最大的圆，这个圆的直径是（ ）cm。完成下表。物品半径 直径 周长 面积圆片4cm圆形花坛 62.8m2、判断：半径是2cm的圆，它的周长和面积相等。（ ）3、计算：计算下面图形的周长和面积。 （3）计算阴影部分的面积4、只列式不计算： 公园里有一个圆形花坛，半径10米。其中2/5钟了菊花，种菊花的面积是多少平方米？列式：一辆自行车的车轮直径是0.8m，车轮每分钟转100周。要通过1256m的大桥，大约需要几分钟？列式： 5、应用题
10、： 一个半径是8米的圆形池塘，周围有一条2米的小路（如下图）。这条小路的面积 是多少平方米？ 改：一个半径是8米的圆形花坛，里面有一块宽2米的草坪。这块草坪的面积是多少平方米？有一圆形蓄水池，它的周长是31.4米。它的占地面积是多少平方米？现要给一个水缸做一个直径为80厘米的圆形木盖，并围着木盖的边沿钉一条铁片 铁片长多少厘米？在铁片上每隔10厘米钉一颗钉子，大约要钉多少颗钉子？（得数用四舍五入法保留整数）一个运动场（如右图），两端是半圆形，中间是长方形。 沿着这个运动场跑一圈，要跑多少米？给这个运动场铺上草坪，一共要铺草坪多少平方米？6、扩展题有一个半圆形花坛，周长是10.28米。这个花坛的
11、面积是多少平方米？练习题一、判断题：1、圆的半径有无数条。（ ）2、圆的直径是半径的2倍。（ ）3、圆有无数条对称轴。（ ）4、圆的半径都相等。（ ）5、直径4厘米的圆与半径2厘米的圆一样大。（ ）6、半径2分米的圆的周长和面积一样大。（ ）7、直径总比半径长。.（ ） 8、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 .（ ） 9、一个圆的面积和一个正方形的面积相等,它们的周长也一定相等. .（ ） 10、半圆的周长就是这个圆周长的一半。 （ ）11、两端都在圆上的线段，直径是最长的一条。.（ ） 12、圆的周长是这个圆的直径的3.14倍。.（ ）13、小圆的圆周率比大圆的圆周率小。.( )14、把
12、一张圆形纸片对折若干次，所有折痕相交于圆心。.( )15、圆的半径扩大3倍，它的直径就扩大6倍。.( )16、圆周率等于3.14。（ ）17、半径2厘米的圆，它的周长是6.28厘米。（ ）18、圆的直径都相等。（ ）19、经过一点可以画无数个圆。（ ）20、直径4厘米的圆的周长和面积一样大。（ ）21、半圆的周长就等于这个圆周长的一半。（ ）22、半圆的面积就是这个圆面积的一半。（ ）23半径不仅决定圆面积的大小，而且还决定圆周长的长短。 （ ）24、 任何圆的面积总是它的半径的倍。（ ） 二、选择题。1、一个圆内，最长的线段是（） A.半径 B.直径 C.周长2、决定圆面积大小的是（）A.圆
13、心 B.半径 C.圆周率3、一个圆的周长与直径的比值为（） A.无限不循环小数 B.无限循环小数 C.有限小数 D.整数4、在下面关于直径的说法中，通过圆心的线段；两端都在圆上的线段；圆内最长的直线；圆的任意一条对称轴；任意两条半径相连；周长与圆周率的比值；顶点在圆上的直角三角形的斜边；正确的个数有（） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个5、明明把一个圆形纸片至少对折（）次，才可以确定圆心 A.2 B.3 C.无数6、如图：一个三角形的三个顶点分别为三个半径为3厘米的圆的圆心，则图中阴影部分的面积是（ ）A、平方厘米 B、9平方厘米 C、4.5平方厘米 D、3平方厘米第一讲 圆的周长与面积
14、学习提示：圆是一种由封闭的曲线围成的平面图形，在日常生活中随处可见。它的魅力、它的独特的性质使得它在人们生活和生产中的位置是其他形状所无法取代的。我们每人都经常遇见这样的问题：为一个圆形桌布绣上花边要买多长的花边；修一个圆形花圃要购买多少草皮；如何用现有的栅栏围成一个尽可能大的菜地等。这些都涉及到圆的周长和面积。圆的周长公式是求圆的周长和面积的必备条件是圆的半径或直径，但有时并不能求出半径，可以把做为一个条件来求解。圆是轴对称图形，在计算周长和面积时，还可以运用割补、旋转、平移等方法进行转化。典型题解 例题1 如图，求阴影部分的周长（单位：米）。分析 如右图，阴影部分的周长分为三部分：弧AC、
15、线段CB、圆O周长的一半ADB。DOB是一个等腰直角三角形、角OBD的度数是45度，所以弧AC的所在圆的半径为20厘米，其长度是这个圆的周长的。线段CB的长与线段AB的长相等，都是20厘米。圆O的直径也是20厘米，其周长的一半可求。将三部分的长度相加即为阴影部分的周长。解答：（1）弧AC的长 （2）圆O周长的一半 （3）阴影部分的周长 15.7+20+31.4=67.1（厘米）答：阴影部分的周长67.1厘米例2、有三根直径都是2分米的圆柱形木材，想用一根绳子把它们捆成一捆，捆三圈最短需要多少分米长的绳子（打结处绳长不计）？分析 用绳子捆三圈的长度就是指周长的3倍。这个图形的周长可以分为两类：线
16、段的长度（如线段AB）与弧的长度（如弧BC）。从下图不难看出：共有三条线段，每条线段的长度都等于圆的直径的长度：功有三段弧，三个圆的圆心相连得到一个正三角形，没个内角都是60度，角BOC的度数为36090260=120。每段弧的长度等于圆的周长的，三段弧正好等于一个圆的周长。解答 （3.142+23）3 =(6.28+6)3 =12.283 =36.84（分米） 答：捆三圈最少也要36.分米长的绳子。例3、根据图中给出的数据，求阴影部分的面积。分析：将左边阴影部分沿着半径AO翻转，和右图的阴影部分组成了平行四边形ABCD，计算平行四边形面积即可。解答 21=2（平方厘米）例4、下图是由两个正方
17、形组合成的，其中正方形ABCD的边长4厘米，正方形EFGD的边长是6厘米，求图中阴影部分的面积。 分析 扇形EDG是半径6厘米的圆的面积的，阴影部分是扇形EDG的一部分，但要先求出HDC的面积，就要先求出线段HD的长度，因此连接HA。BAG的面积减去BAH的面积可得HAG的底是4+6厘米，反用三角形面积公式，可得线段HD的长度，进而求出HDC的面积，阴影部分的面积可求。解答 连接HA （1）、HAG的面积=BAG的面积BAH的面积可得 （4+6）42442=12（平方厘米） （2）、线段HD的长度 122（4+6）=2.4（厘米） （3）、HDC的面积 62.42=7.2（平方厘米） （4）、
18、阴影部分的面积是 3.14627.2=21.06(平方厘米) 答：图中阴影部分的面积21.06平方厘米。例5 如图（单位：厘米），OA=OB=OC，AB=10。求图形的面积分析 图形由两部分构成：扇形COA、AOB。连接AC，如下图：AOB、AOC都是等腰直角三角形，所以ABC也是等腰直角三角形，由于AB=10，10102=50（平方分米），可得ABC的面积，除以2可得AOB、AOC两个三角形的面积25平方分米。在AOC中，OAOC2=25，所以OAOC=50，既扇形COA所在圆的R2=50。扇形面积可求。解答 连接AC。 （1）、ABC的面积：10102=50（平方分米） （2）、AOB、A
19、OC的面积：502=25（平方分米） （3）、扇形AOB的面积：R2=OAOC=252=50 31450=39.25（平方分米） （4）、图形的面积：39.25+25=64.25(平方分米) 答这个图形的面积是64。25平方分米。例6、如下图，ABC是一个等腰直角三角形，AB=BC=10，求图中阴影部分的面积。（单位：分米）分析 连接BD，以B点为轴心旋转BC，可以得到一个新的图形（如下图所示）。从图中可以看出阴影部分正好是直径10分米的圆中减去边长一个最大正方形的面积。正方形的对角线是10分米，可以用对角线长度的平方再除以2求出正方形的面积。解答 3.14(102)210102 =3.142
20、550 =78.550 =28.5(平方分米)答：图中阴影部分的面积28.5平方分米课后自测1、 一个半圆形的花圃直径10米，在花圃的周围要围上装饰性护栏，护栏长多少米？2、 把半径分别是6厘米、4厘米的两个半圆如图放置，求阴影部分的周长？3、 有四根直径是1米的圆柱形管子，用一根铁丝紧紧地捆在一起，铁丝的长度最短是多少米？（打结处铁丝长度不计）4、 把半径都是10分米的两个圆如下图放置，求图形外围的周长是多少分米？5、 求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）6、 求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）7、 如图：小正方形的边长是大正方形边长的一半，阴影的面积是50平方厘米，求环形的面积是多少平方
21、厘米？8、 如图，A、B、C是三个圆的圆心，圆的半径都是10分米，求阴影部分的面积。9、右图是圆心为O，半径是10厘米的圆。以C为圆心，CA为半径画一条弧。求阴影部分的面积。（广东省1998年复赛题）10、如图，一个圆心角为450的扇形，其中等腰直角三角形的直角边是6厘米，求阴影部分的面积。第一讲 圆的周长与面积练习题：例1.求阴影部分的面积。(单位:厘米)解：这是最基本的方法： 圆面积减去等腰直角三角形的面积， -21=1.14（平方厘米）例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。(单位:厘米)解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去 圆的面积。设圆的半径为 r，因为正方形的面积为
22、7平方厘米，所以 =7，所以阴影部分的面积为：7-=7-7=1.505平方厘米例3.求图中阴影部分的面积。(单位:厘米)解：最基本的方法之一。用四个 圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积，所以阴影部分的面积：22-0.86平方厘米。例4.求阴影部分的面积。(单位:厘米)解：同上，正方形面积减去圆面积，16-()=16-4 =3.44平方厘米例5.求阴影部分的面积。(单位:厘米)解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用两个圆减去一个正方形，()2-16=8-16=9.12平方厘米另外：此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。例6.求阴影
23、部分的面积。(单位:厘米)解：梯形面积减去圆面积，(4+10)4-=28-4=15.44平方厘米 . 例7.求阴影部分的面积。(单位:厘米)解：正方形面积可用(对角线长对角线长2，求)正方形面积为：552=12.5所以阴影面积为：4-12.5=7.125平方厘米 (注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形) 例8.求阴影部分的面积。(单位:厘米)解：右面正方形上部阴影部分的面积，等于左面正方形下部空白部分面积，割补以后为圆，所以阴影部分面积为：()=3.14平方厘米例9.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：把右面的正方形平移至左边的正方形部分，则阴影部分合成一个长方形，所以阴影部分面积为：23=6平方厘米例10.求阴影部分的面积。(单位:厘米)解：同上，平移左右两部分至中间部分，则合成一个长方形，所以阴影部分面积为21=2平方厘米(注: 8、9、10三题是简单割、补或平移)课后练习题：1.求阴影部分的面积2. 图中圆的周长是12.56 cm，圆的面积正好等于长方形的面积，求阴影部分的面积。3. 如图，正方形DEOF在四分之一圆中，如果圆的半径为1厘米，那么，阴影部分的面积是多少平方厘米？4. 三角形ABC是等腰直角三角形，半圆的直径BC长20cm，求阴影面积。4cm5.求阴影部分面积。4cm
