1、第一章集合与常用逻辑用语第一节 集 合1元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性(2)集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为和.(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图2集合间的基本关系描述关系文字语言符号语言集合间的基本关系子集A中任意一元素均为B中的元素AB或BA真子集A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素A中没有AB或BA相等集合A与集合B中的所有元素都相同AB3集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示ABAB若全集为U，则集合A的补集为UA图形表示意义x|xA，或xBx|xA，且xBx|xU，且xA试
2、一试1设全集UR，A，B，则AB_.解析：由题意知A(1,2)，B，kZ，则AB.答案：2已知集合M1，m2，m24，且5M，则m的值为_解析：由题意知m25或m245.解得m3或m1.经检验m3，或m1符合题意3已知集合Ax|yx2，B(x，y)|yx，则AB_.答案： 练一练1已知集合Ax|x23x4，xR，则AZ中元素的个数为_解析：由x23x4得1x4，所以Ax|1x4，故AZ0,1,2,3答案：42已知A，B均为集合U2,4,6,8,10的子集，且AB4，(UB)A10，则A_.解析：因为(UB)BU，故AA(BUB)(AB)(AUB)4,10答案：4,10考点一集合的基本概念1.集
3、合1,0,1共有_个子集解析：由题意知，所给集合的子集个数为238.答案：82已知集合M1，m，Nn，log2n，若MN，则(mn)2 013_.解析：由MN知或或答案：1或03已知集合Am2,2m2m，若3A，则m的值为_答案：解析：因为3A，所以m23或2m2m3.当m23，即m1时，2m2m3，此时集合A中有重复元素3，所以m1不符合题意，舍去；当2m2m3时，解得m或m1(舍去)，此时当m时，m23符合题意所以m.考点二集合间的基本关系典例(1)已知集合Ax|x22x0，xR，Bx|xa，若ABB，则实数a的取值范围是_(2)已知集合Ax|log2x2，B(，a)，若AB，则实数a的取
4、值范围是(c，)，其中c_.解析(1)由ABB可知AB.又A0,2，所以实数a的取值范围是(，0(2)由log2x2，得0x4，即Ax|04，即c4. 答案(1)(，0(2)4 针对训练1已知集合Ax|x2x0，xR，设函数f(x)2xa(xA)的值域为B，若BA，则实数a的取值范围是_解析：A0,1，Bf(x)|f(x)2xa，xA.又因为BA，即0,1，则有解得a0.答案：2已知集合Ax|3x4，Bx|2m1xm1，且BA.则实数m的取值范围为_解析：BA，(1)当B时，m12m1，解得m2.(2)当B时，有解得1m2，综上得m1.答案：1，)考点三集合的基本运算典例(1)如图，已知集合A
5、2,3,4,5,6,8，B1,3,4,5,7，C2,4,5,7,8,9，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为_(2)(2014无锡期末)已知集合A，Bx|log2(x1)得x2，解得x2，即A(，2)又由log2(x1)2，得0x14，解得1x0，则AB为_解析：因为Ax|0x2，By|y1，ABx|x0，ABx|12答案：0,1(2，)角度三创新集合新性质创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题3对于复数a，b，c，d，若集合Sa，b，c，d具有性质“对任意x，yS，必有xyS”，则当时，bcd等于_解析：Sa，
6、b，c，d，由集合中元素的互异性可知当a1时，b1，c21，ci，由“对任意x，yS，必有xyS”知iS，ci，di或ci，di，bcd(1)01.答案：1备课札记 类题通法解决新定义问题应注意的问题(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质；(2)按新定义的要求，“照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决；(3)对于选择题，可以结合选项通过验证，排除、对比、特值等方法解决课堂练通考点1(2013苏北四市二模)已知集合A0,2，a2，B1，a，若AB0,1,2,4，则实数a的值为_解析：由题意得a2a4或或或解得a2.答案：22(2013新课标全国卷改编)已知集
7、合A1,2,3,4，B x|xn2，nA，则AB_.解析：n1,2,3,4时，x1,4,9,16，集合B1,4,9,16，AB1,4答案：1,43设集合A1,2，则满足AB1,2,3的集合B的个数是_解析：根据已知，满足条件的集合B为3，1,3，2,3，1,2,3答案：44.设S为复数集C的非空子集若对任意x，yS，都有xy，xy，xyS，则称S为封闭集下列命题：集合Sabi|a，b为整数，i为虚数单位为封闭集；若S为封闭集，则一定有0S；封闭集一定是无限集；若S为封闭集，则满足STC的任意集合T也是封闭集其中的真命题是_(写出所有真命题的序号)解析：对，当a，b为整数时，对任意x，yS，xy
8、，xy，xy的实部与虚部均为整数；对，当xy时，0S；错，当S0时，是封闭集，但不是无限集；错，设S0T，T0,1，显然T不是封闭集因此，真命题为.答案：5.设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P*Qz|zab，aP，bQ，若P1,0,1，Q2,2，则集合P*Q中元素的个数是_解析：当a0时，无论b取何值，zab0；当a1，b2时，z(1)(2)；当a1，b2时，z(1)2；当a1，b2时，z1(2)；当a1，b2时，z12.故P*Q，该集合中共有3个元素答案：36已知全集UR，集合Ax|x22x0，Bx|ylg(x1)，则(UA)B_.解析：解不等式x22x0，即x(x2)0，得x2，故Ax
9、|x2；集合B是函数ylg(x1)的定义域，由x10，解得x1，所以Bx|x1如图所示，在数轴上分别表示出集合A，B，则UAx|0x2，所以(UA)Bx|0x2x|x1x|1x2答案：(1,2课下提升考能第组：全员必做题1(2013苏州暑假调查)已知集合U0,1,2,3,4，M0,4，N2，4，则U(MN)_.解析：由题意得MN0,2,4，所以U(MN)1,3答案：1,32设全集UxN*|x6，集合A1,3，B3,5，则U(AB)等于_解析：由题意易得U1,2,3,4,5，AB1,3,5，所以U(AB)2,4答案：2,43(2013新课标卷改编)已知集合Ax|x22x0，Bx|x，则AB_.解
10、析：选B集合Ax|x2或x0，所以ABx|x2或x0x|xR.答案：R4(2013南通一模)集合A1,0,1，By|yex，xA，则AB_.解析：B中xA，B，AB1答案：15(2014无锡期末)已知集合A1,2,2m1，B2，m2，若BA，则实数m_.解析：因为BA，且m21，所以m22m1，即m1.答案：16已知Ma|a|2，Aa|(a2)(a23)0，aM，则集合A的子集共有_个解析：|a|2a2或a2.又aM，(a2)(a23)0a2或a(舍)，即A中只有一个元素2，故A的子集只有2个答案：27(2014江西七校联考)若集合Px|3x22，非空集合Qx|2a1x3a5，则能使Q(PQ)
11、成立的所有实数a的取值范围为_解析：依题意，PQQ，QP，于是解得6a9，即实数a的取值范围是(6,9答案：(6,98设P和Q是两个集合，定义集合PQx|xP，且xQ，如果Px|log2x1，Qx|x2|1，那么PQ_.解析：由log2x1，得0x2，所以Px|0x2；由|x2|1，得1x3，所以Qx|1x3由题意，得PQx|00，且1A，则实数a的取值范围是_解析：1x|x22xa0，1x|x22xa0，即12a0，a1.答案：(，111已知UR，集合Ax|x2x20，Bx|mx10，B(UA)，则m_.解析：A1,2，B时，m0；B1时，m1；B2时，m.答案：0,1，12设集合Sn1,2
12、,3，n，若XSn，把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)若X的容量为奇(偶)数，则称X为Sn的奇(偶)子集则S4的所有奇子集的容量之和为_解析：S41,2,3,4，X，1，2，3，4，1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，1,2,3，1,2,4，1,3,4，2,3,4，1,2,3,4其中是奇子集的为X1，3，1,3，其容量分别为1,3,3，所以S4的所有奇子集的容量之和为7.答案：7第组：重点选做题1设集合Ax|x22x30，Bx|x22ax10，a0若AB中恰含有一个整数，求实数a的取值范围解：Ax|x22x30x|
13、x1或x3，函数yf(x)x22ax1的对称轴为xa0，f(3)6a80，根据对称性可知，要使AB中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f(2)0且f(3)0，即所以即a.故实数a的取值范围为2已知集合A，Bx|m1x2m1(1)求集合A；(2)若BA，求实数m的取值范围解：(1)解不等式log(x2)3得：2x6.解不等式x22x15得：3x5.由求交集得22m1，解得m3”是“x5”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)解析：“x3”不一定能推出“x5”，但“x5”一定能推出“x3”，故“x3”是“x5”的必要不充分条件答案：必要不充分2(2013苏锡
14、常镇一调)已知命题p：直线a，b相交，命题q：直线a，b异面，则綈p是q的_条件解析：因为綈p：直线a，b不相交，即两条直线平行或异面，所以綈p是q的必要不充分条件答案：必要不充分考点一命题及其相互关系1.命题“若，则tan 1”的逆否命题是_解析：命题“若，则tan 1”的逆否命题是“若tan 1，则”答案：“若tan 1，则”2以下关于命题的说法正确的有_(填写所有正确命题的序号)“若log2a0，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数”是真命题；命题“若a0，则ab0”的否命题是“若a0，则ab0”；命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆命题为真命题；命题“若a
15、M，则bM”与命题“若bM，则aM”等价解析：对于，若log2a0log21，则a1，所以函数f(x)logax在其定义域内是增函数，故不正确；对于，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于，原命题的逆命题是“若xy是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如134是偶数，但3和1均为奇数，故不正确；对于，不难看出，命题“若aM，则bM”与命题“若bM，则aM”是互为逆否命题，因此二者等价，所以正确综上可知正确的说法有.答案：备课札记 类题通法在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就
16、相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手.考点二充分必要条件的判定典例(1)(2014泰州期末)设aR，s：数列(na)2是递增数列，t：a1，则s是t的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)(2)(2013北京高考改编)“”是“曲线ysin(2x)过坐标原点”的_条件解析(1)由s：数列(na)2是递增数列，知(na)2(n1)a2，则2a2n1得a，所以s是t的必要不充分条件(2)由sin 0可得k(kZ)，此为曲线ysin(2x)过坐标原点的充
17、要条件，故“”是“曲线ysin(2x)过坐标原点”的充分而不必要条件答案(1)必要不充分(2)充分不必要备课札记 类题通法充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分针对训练下列各题中，p是q的什么条件？(1)在ABC中，p：AB，q：sin Asin B；(2)p：|x|x，q：x2x0.解：(1)若AB，则sin Asin B，即pq.又若sin Asin B，则2Rsin
18、A2Rsin B，即ab.故AB，即qp.所以p是q的充要条件(2)p：x|x|xx|x0A，q：x|x2x0x|x0，或x1B，AB，p是q的充分不必要条件.考点三充分必要条件的应用典例已知Px|x28x200，Sx|1mx1m(1)是否存在实数m，使xP是xS的充要条件，若存在，求出m的范围；(2)是否存在实数m，使xP是xS的必要条件，若存在，求出m的范围解(1)由x28x200得2x10，Px|2x10，xP是xS的充要条件，PS，这样的m不存在(2)由题意xP是xS的必要条件，则SP.m3.综上，可知m3时，xP是xS的必要条件备课札记 保持本例条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件
19、，求实数m的取值范围.解：由例题知Px|2x10，綈P是綈S的必要不充分条件，PS且S/ P.2,101m,1m或m9，即m的取值范围是9，)类题通法利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围，其依据是充分、必要条件的定义，其思维方式是：(1)若p是q的充分不必要条件，则pq且q/ p；(2)若p是q的必要不充分条件，则p/ q，且qp；(3)若p是q的充要条件，则pq.针对训练(2014无锡期末)已知p：|xa|0，若綈p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_解析：由题意知p：a4xa4，q：2x0，则x20”的否命题是_命题(填“真”或“假”)解析：命题“若x0，则x20”的
20、否命题是“若x0，则x20”，是假命题也可以由逆命题为“若x20，则x0”来判断，逆命题为假命题，因此否命题是假命题答案：假2(2013盐城二模)直线l1：2xmy10与直线l2：y3x1平行的充要条件是m_.解析：由题意，m0，所以3，所以m.答案：3已知向量a(m2,4)，b(1,1)，则“m2”是“ab”的_条件解析：依题意，当m2时，a(4,4)，b(1,1)，所以a4b，ab，即由m2可以推出ab；当ab时，m24，得m2，所以不能推得m2，即“m2”是“ab”的充分而不必要条件答案：充分不必要4设集合A，B是全集U的两个子集，则AB是(UA)BU的_条件解析：如图所示，AB(UA)
21、BU；但(UA)BU/ AB，如AB，因此AB是(UA)BU的充分不必要条件答案：充分不必要5命题“若ab，则a1b1”的否命题是_答案：若ab，则a1b16.已知集合Ax|ylg(4x)，集合Bx|xa，若P：“xA”是Q：“xB”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_解析：Ax|x4.答案：(4，)课下提升考能第组：全员必做题1设集合Mx|0x3，Nx|0x2，那么“aM”是“aN”的_条件解析：Mx|0x3，Nx|0x2，所以NM，故aM是aN的必要不充分条件答案：必要不充分2命题“若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是_解析：否命题既否定题设又否定结论答案：若f(x)不是
22、奇函数，则f(x)不是奇函数3(2013南通二模)命题“若实数a满足a2，则a22，则a24”，这是真命题答案：真4“a0”是“a2a0”的_条件解析：a0a2a0；反之a2a0a0或a1，不能推出a0.答案：充分不必要5设向量a(2，x1)，b(x1,4)，则“x3”是“ab”的_条件解析：当ab时，有24(x1)(x1)，解得x3，所以x3ab，但ab/ x3，故“x3”是“ab”的充分不必要条件答案：充分不必要6下列命题中为真命题的是_(填写序号)命题“若xy，则x|y|”的逆命题命题“x1，则x21”的否命题命题“若x1，则x2x20”的否命题命题“若x20，则x1”的逆否命题解析：对
23、于，其逆命题是：若x|y|，则xy，是真命题，这是因为x|y|y，必有xy；对于，否命题是：若x1，则x21，是假命题如x5，x2251；对于，其否命题是：若x1，则x2x20，由于x2时，x2x20，所以是假命题；对于，若x20，则x0或x1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题答案：7已知条件p：x1，条件q：1得1；反过来，由1，即綈p是q的充分不必要条件答案：充分不必要8(2013南通一模)若“x22x30”是“x0得x3或xb，则a2b2”的否命题；“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“若x24，则2xbc2，则ab；若sin sin ，则；“实数a0”是“直线x2ay1和直线2
24、x2ay1平行”的充要条件；若f(x)log2x，则f(|x|)是偶函数其中正确命题的序号是_解析：对于，ac2bc2，c20，ab正确；对于，sin 30sin 150/ 30150，所以错误；对于，l1l2A1B2A2B1，即2a4aa0且A1C2A2C1，所以正确；显然正确答案：12已知：xa，：|x1|1.若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围为_解析：xa，可看作集合Ax|xa，：|x1|1，0x2，可看作集合Bx|0x2又是的必要不充分条件，BA，a0.答案：(，0第组：重点选做题1已知集合A，Bx|xm21若“xA”是“xB”的充分条件，求实数m的取值范围解：yx2x12，x，
25、y2，A.由xm21，得x1m2，Bx|x1m2“xA”是“xB”的充分条件，AB，1m2，解得m或m，故实数m的取值范围是.2已知集合Ax|x24mx2m60，Bx|x0，若命题“AB”是假命题，求实数m的取值范围解：因为“AB”是假命题，所以AB.设全集Um|(4m)24(2m6)0，则U.假设方程x24mx2m60的两根x1，x2均非负，则有，m.又集合关于全集U的补集是m|m1，所以实数m的取值范围是m|m1第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1简单的逻辑联结词命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词2全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有的”“任意一个”，用符号“”表示(2)存在量词：“存在一个”“至少有一个”，用符号“”表示(3)全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题；“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：xM，p(x)(4)存在性命题：含有存在量词的命题，叫做存在性命题；“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：x0M，p(x0)3含有一个
