1、21.2.1 配方法第二十一章 一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 直接开平方法 义务教育教科书义务教育教科书(RJ)(RJ)九上九上数学课件课件学习目标1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点）2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p(p0)的方程.(重点）导入新课导入新课复习引入平方根1.如果 x2=a,则x叫做a的 .2.如果 x2=a(a 0),则x=.3.如果 x2=64,则x=.a84.任何数都可以作为被开方数吗？负数不可以作为被开方数.讲授新课讲授新课直接开平方法的概念一 问题1 一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完1
2、0个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程 106x2=1500，由此可得x2=25根据平方根的意义，得即x1=5，x2=5.可以验证，5和5是方程 的两根，但是棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dmx=5，试一试 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1)x2=4(2)x2=0(3)x2+1=0解:根据平方根的意义，得x1=2,x2=-2.解:根据平方根的意义，得x1=x2=0.解:根据平方根的意义，得 x2=-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.（2）当p=0
3、 时，方程(I)有两个相等的实数根 =0；（3）当p0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根 ，；1px 2px12xx 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.归纳 例1 利用直接开平方法解下列方程:(1)x2=6；(2)x2900=0.解：（1）x2=6，直接开平方，得（2）移项，得 x2=900.直接开平方，得 x=30，x1=30,x2=30.典例精析6,x1266xx，在解方程(I)时，由方程x2=25得x=5.由此想到:（x+3)2=5，得得用直接开平方法解方程二对照上面解方程(I)的方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5探究交流35,x 3
4、535.xx，或123535xx ，或于是，方程（x+3）2=5的两个根为 上面的解法中，由方程得到，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了.解题归纳例2 解下列方程：（x1）2=2；典例精析 解析：第1小题中只要将（x1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.22.即x1=-1+，x2=-1-解：（1）x+1是2的平方根，2.x+1=解析：第2小题先将4移到方程的右边，再同第1小题一样地解.例2 解下列方程：（2）（x1）24=0；即x1=3，x2=-1.解：解：（2）移项，得（x-1）2=4.x-1是4的平方根，x-1=2.典例
5、精析 x1=，547.4 x2=例2 解下列方程：(3)12（32x）23=0.典例精析解析：第3小题先将3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可.解：(3)移项，得12（3-2x）2=3，两边都除以12，得（3-2x）2=0.25.3-2x是0.25的平方根，3-2x=0.5.即3-2x=0.5,3-2x=-0.5 首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解.1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？如果一个一元二次方程具有x2=p或（xn）2=p（p0）的形式，那么就可以用直接开平方法求
6、解.2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.探讨交流当堂练习当堂练习 (C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=3,x1=;4741x2=(D)(2x+3)2=25,解方程，得解方程，得2x+3=5,x1=1;x2=-4 1、下列解方程的过程中，正确的是（）2(A)x2=-2,解方程，得x=(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4 D(1)方程x2=0.25的根是 .(2)方程2x2=18的根是 .(3)方程(2x-1)2=9的根是 .3.解下列方程：(1)x2-810；(2)2x250；(3)(x1)
7、2=4.x1=0.5,x2=-0.5x13,x2-3x12,x21解：x19,x29；解：x15,x25；解：x11,x23.4.4.（请你当小老师）下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正.21150,3y2115,3y115,3y 115,3y 3 51,y 解：解：不对，从开始错，应改为115,3y 123 53,3 53.yy 能力拓展：方程x2+6x+4=0可以用直接开平方法解吗？如果不能，那么请你思考能否将其转化成平方形式？课堂小结课堂小结直接开平方法概 念步 骤基本思路利用平方根的定义求方程的根的方法关键要把方程化成x2=
8、p(p 0)或（x+n)2=p（p 0).一元二次方程两个一元一次方程降次直接开平方法见本课时练习课后作业课后作业21.2.1 配方法第二十一章 一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 配方法 义务教育教科书义务教育教科书(RJ)(RJ)九上九上数学课件课件学习目标1.了解配方的概念.2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.(重点）3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.（难点）导入新课导入新课复习引入(1)9x2=1；(2)(x-2)2=2.想一想：练一练:1.用直接开平方法解下列方程:(1)x2+6x+9=5；(2)x2+6x+4=0.把两题转化成(x+n)2=p
9、(p0)的形式，再利用开平方讲授新课讲授新课配方的方法一问题问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式.(1)a2+2ab+b2=()2；(2)a2-2ab+b2=()2.a+ba-b探究交流问题问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立.（1）x2+4x+=(x+)2（2）x2-6x+=(x-)2（3）x2+8x+=(x+)2（4）43x2-x+=(x-)2你发现了什么规律？探究交流22232342422()323二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.归纳总结想一想：x2+px+()2=(x+)22p2p配方的方法用配方法解方程二探究交流怎样解方程(2)x2+6x+4=
10、0问题1 方程(2)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？解：x2+6x+4=0 x2+6x=-4移项 x2+6x+9=-4+9两边都加上9二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.方法归纳在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.问题2 为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.方程配方的方法：要点归纳像这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.配方法的定义配方法解方程的基本思路把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程
11、降次，转化为一元一次方程求解配方法解方程的基本步骤一移常数项；二配方配上 ；三写成（x+n)2=p(p 0);四直接开平方法解方程.22一次项系数（）典例精析45,x 例1 解下列方程：21810 xx；12415,415.xx解：（1）移项，得x28x=1,配方，得x28x+42=1+42,(x4)2=15由此可得即配方，得2223313,2424xx 231,416x31,44x 由此可得2111,.2xx二次项系数化为1，得231,22xx 2 2213 xx；解：移项，得2x23x=1,方程的二次项系数不是1时，为便于配方，可以将方程各项的系数除以二次项系数即移项和二次项系数化为1这两
12、个步骤能不能交换一下呢?配方，得2224211,3xx 211.3x 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x1)2都是非负数，即上式都不成立，所以原方程无实数根解：移项，得2364,xx 二次项系数化为1，得242,3xx 2 33640.xx为什么方程两边都加12？即即配方法的应用二典例精析例2.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k24k5的值必定大于零.解：k24k5=k24k41=（k2）21因为（因为（k2）20，所以（，所以（k2）211.所以k24k5的值必定大于零.归纳总结配方法的应用 类别类别 解题策略解题策略1.求最值或求最值或证明代数式证明代数式的值为恒正的
13、值为恒正（或负）（或负）对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2n的形式后，(x+m)20，n为常数，为常数，当当a0时，可知其最小值；当a0时，可知其最大值.2.完全平方完全平方式中的配方式中的配方如：已知x22mx16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=4.3.利用配方利用配方构成非负数构成非负数和的形式和的形式对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2b24b4=0,则a2(b2)2=0,即a=0，b=2.当堂练习当堂练习1.解下列方程：（
14、1）x2+4x-9=2x-11；（；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2-6x-3=0；（4）3x2+6x-9=0.解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解；解：x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2；233024xx解：，2321().416x12321321,44xx；解：x2+2x-3=0，(x+1)2=4.x1=-3,x2=1.2.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？解：设道路的宽为xm,根据题意得（35-x)(26-x)=850，整
15、理得x2-61x+60=0.解得x1=60（不合题意，舍去）,x2=1.答：道路的宽为1m.3.应用配方法求最值.(1)2x2-4x+5的最小值；(2)-3x2+5x+1的最大值.解：（1）2x2-4x+5 =2(x-1)2+3 当x=1时有最小值3 （2）-3x2+12x-16=-3(x-2)2-4 当x=2时有最大值-4课堂小结课堂小结配方法定 义通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.方 法在方程两边都配上2.2二次项系数（）步 骤一移常数项；二配方配上 ；三写成（x+n)2=p(p 0);四直接开平方法解方程.22二次项系数（）特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.应 用求代数式的最值或证明见本课时练习课后作业课后作业
