1、24.1 圆的有关性质第二十四章 圆24.1.2 垂直于弦的直径1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）学习目标你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？在折的过程中你有何发现？圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴 导入新课导入新课讲授新课讲授新课圆的对称轴一（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？（2）你是怎么得出结论的？圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.用折叠的方法O说一说问题：如图
2、,AB是O的一条弦,直径CDAB,垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?为什么?线段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD 理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合OABDEC垂径定理及其推论二u垂径定理OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.CD是直径，CDAB，AE=BE,AC=BC,AD=BD.u推导格式：温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.归纳总结想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，
3、因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABO DCABOC归纳总结 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？思考探索 DOABEC举例证明其中一种组合方法已知:求证：CD CD是直径是直径 CDAB CDAB，垂足为，垂足为E E AE=BE AE=BE AC=BC AC=BC AD=BD AD=BD 证明猜想如图，AB是 O的一条弦，作直径CD，使AE=B
4、E.（1）CDAB吗？为什么？（2）OABCDEAC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？（2）由垂径定理可得AC=BC，AD=BD.（1）连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，AOEBOE（SSS），AEO=BEO=90，CDAB.证明举例思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.u垂径定理的推论OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.归纳总结例1 如图，OEAB于E，若O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.OABE解析：连接OA，OEAB，AB=2AE=16cm.16一 垂径定理及其推论的计算三2
5、2221068AEOAOEcm.典例精析例2 如图，O的弦AB8cm，直径CEAB于D，DC2cm，求半径OC的长.OABECD解：连接OA，CEAB于D，118 4(cm)22ADAB 设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得解得 x=5，即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2，例3：已知：O中弦ABCD,求证：ACBD.MCDABON证明：作直径MNAB.ABCD，MNCD.则AMBM，CMDM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）AMCMBMDMACBD 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.归纳总结试一试
6、：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?垂径定理的实际应用四解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.AB=37m，CD=7.23m.解得R27.3（m）.即主桥拱半径约为27.3m.=18.52+(R-7.23)2 AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.222OAADODQ，练一练：如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_.64C DCBOADOAB图a图b2cm或或12cm 在圆中有关弦
7、长在圆中有关弦长a,半径半径r,弦心距弦心距d（圆（圆心到弦的距离），弓形高心到弦的距离），弓形高h的计算题时，的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解角形，利用垂径定理和勾股定理求解.涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系ABC DOhrd2222ard d+h=r OABC归纳总结视频：垂径定理微课讲解1.已知已知 O中，弦中，弦AB=8cm，圆心到，圆心到AB的距离为的距离为3cm，则此圆的半径为，则此圆的半径为 .5cm2.O的直径的直径AB=20cm,BA
8、C=30则弦则弦AC=.10 3 cm3.（分类讨论题）已知（分类讨论题）已知 O的半径为的半径为10cm，弦，弦MNEF,且且MN=12cm,EF=16cm,则弦则弦MN和和EF之间的距离之间的距离为为 .14cm或或2cm当堂练习当堂练习4.如图，在 O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形DOABCE证明：证明：四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.5.已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆为圆心的两个同心圆中，大圆的弦的弦AB交小圆于交小圆于C，
9、D两点。你认为两点。你认为AC和和BD有什么有什么关系？为什么？关系？为什么？证明：过O作OEAB，垂足为E，则AEBE，CEDE.AECEBEDE 即 ACBD.ACDBOE注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧即图中弧CD,点点O是弧是弧CD的圆心的圆心),其中其中CD=600m,E为弧为弧CD上的一点上的一点,且且OECD，垂足为，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径求这段弯路的半径.解:连接OC.OCDEF,CDOE 11600300(m).22CFCD222,OCCFOF22230090.RR设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.根据勾股定理，得解得R=545.这段弯路的半径约为545m.拓展提升：如图，O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 .3cmOP5cmBAOP垂径定理内 容推 论辅助线一条直线满足:过圆心;垂直于弦;平分弦（不是直径）;平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧两 条 辅 助 线：连半径，作弦心距构造Rt利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变 式 图 形课堂小结课堂小结
