1、2.2 直接证明与直接证明与间接证明间接证明2.2.2 反反 证证 法法推推理理与与证证明明推理推理证明证明合情推理合情推理演绎推理演绎推理直接证明直接证明间接证明间接证明类比推理类比推理归纳推理归纳推理 分析法分析法 综合法综合法 反证法反证法知识结构知识结构复习复习1.1.直接证明的两种基本证法：直接证明的两种基本证法：综合法和分析法综合法和分析法2.2.这两种基本证法的推证过程和特点：这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果由因导果执果索因执果索因3 3、在实际解题时，两种方法如何运用？、在实际解题时，两种方法如何运用？通常用通常用分析法分析法寻求思路，再由寻求思路，再由综合法综合法书写
2、过程书写过程综合法综合法已知条件已知条件结论结论分析法分析法结论结论 已知条件已知条件（1 1）如果有）如果有5 5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3 3只鸽子在只鸽子在同一只鸽笼，对吗？同一只鸽笼，对吗？（2 2）A A、B B、C C三个人，三个人，A A说说B B撒谎，撒谎，B B说说C C撒谎，撒谎，C C 说说A A、B B都撒谎。都撒谎。则则C C在撒谎吗？为什么？在撒谎吗？为什么？分析分析:假设假设C C没有撒谎没有撒谎,则则A A、B B都撒谎都撒谎.由由A A撒谎撒谎,知知B B没有没有撒谎撒谎.那么那么假设假设C C没有撒谎不成立没有撒谎不成立,则则C
3、C必定是在撒谎必定是在撒谎.这与这与B B撒谎矛盾撒谎矛盾.思考？思考？将将9 9个球分别染成红色或白色。那么无论怎样染，个球分别染成红色或白色。那么无论怎样染，至少有至少有5 5个球是同色的。你能证明这个结论吗？个球是同色的。你能证明这个结论吗？引例引例1：间接证明：间接证明：不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法。的证明方法。反证法反证法是一种常用的是一种常用的间接证明间接证明的方法。的方法。把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为证明方法称为间接证明间接证明注：反证法注：反证法
4、是最常见的是最常见的间接证法间接证法 同一法也是一种间接证法同一法也是一种间接证法 一般地，假设原命题不成立（即假设在原命题的条件下，结论不成一般地，假设原命题不成立（即假设在原命题的条件下，结论不成立），立），经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，明了原命题成立，这种证明方法叫做这种证明方法叫做反证法。反证法。三、基本概念三、基本概念反证法的思维方法：反证法的思维方法：正难则反正难则反间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法是不同于直接证明的又一类证明方法.反证法反证法 归缪矛盾：归缪矛盾：（1 1
5、）与已知条件矛盾；）与已知条件矛盾；（2 2）与已有公理、定理、定义矛盾；）与已有公理、定理、定义矛盾；（3 3）自相矛盾。）自相矛盾。一般地，由证明一般地，由证明 转向证明转向证明qp trq的否定由而而t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾从而判定与假设矛盾，或与某个真命题矛盾从而判定q的否定的否定 为假，推出为假，推出q为真的方法，叫做反证法为真的方法，叫做反证法原词语原词语 否定词否定词 原词语原词语 否定词否定词 等于等于任意的任意的是是 至少有一个至少有一个 都是都是 至多有一个至多有一个 大于大于 至少有至少有n n个个 小于小于 至多有至多有n n个个 对所有对所有x,x,成成立立对
6、任何对任何x x，不成立不成立 准确地作出反设准确地作出反设(即否定结论即否定结论)是非常重要的，下面是一些是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式常见的结论的否定形式.不是不是不都是不都是不大于不大于不小于不小于一个也没有一个也没有至少有两个至少有两个至多有（至多有（n-1)个个至少有（至少有（n+1)个个存在某个存在某个x，不，不成立成立存在某个存在某个x,成立成立不等于不等于某个某个常见否定用语常见否定用语是是不是不是 有有没有没有等等不等不等 成立成立不成立不成立都是都是不都是，即至少有一个不是不都是，即至少有一个不是都有都有不都有，即至少有一个没有不都有，即至少有一个没有都不是都
7、不是部分或全部是，即至少有一个是部分或全部是，即至少有一个是唯一唯一至少有两个至少有两个至少有一个有（是）至少有一个有（是）全部没有（不是）全部没有（不是）至少有一个不至少有一个不全部都全部都反思反思1 1：用用反证法证题反证法证题的一般步骤是什么？的一般步骤是什么？（1 1）假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立。（2 2）从这个）从这个假设出发假设出发，经过推理论证，得出，经过推理论证，得出矛盾矛盾；（3 3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。1 1、用反正法证明时，导出矛盾有那几种可能
8、？、用反正法证明时，导出矛盾有那几种可能？（1）与原命题的条件矛盾；）与原命题的条件矛盾；（3）与定义、公理、定理、性质矛盾；）与定义、公理、定理、性质矛盾；（2）与假设矛盾。）与假设矛盾。（1 1）难于直接难于直接使用已知条件使用已知条件导出结论导出结论的命题；的命题；（2 2）唯一性唯一性命题；命题；（3 3）“至多至多”或或“至少至少”性命题；性命题；（4 4）否定性或肯定性否定性或肯定性命题。命题。2 2、你认为反证法的使用情形有那些？、你认为反证法的使用情形有那些？反思反思2 2：（4 4）与客观事实矛盾）与客观事实矛盾.说明：说明：常用的正面叙述词语及其否定：常用的正面叙述词语及其
9、否定：正面正面词语词语等于等于大于（大于（）小于小于()是是都是都是否定否定正面正面词语词语至多有一至多有一个个至少有一个至少有一个任意的任意的所有的所有的至多有至多有n个个任意两任意两个个否定否定不等于不等于小于或小于或等于（等于（）大于或大于或等于（等于（）不是不是不都是不都是至少有两至少有两个个一个也没一个也没有有某个某个某些某些至少有至少有n1个个某两个某两个（1）直接证明有困难的一些命题（如有些基本定理的证明）直接证明有困难的一些命题（如有些基本定理的证明 如平行线的传递性的证明）如平行线的传递性的证明）即正难则反即正难则反!小结：小结：1 1、哪些命题适宜用反证法加以证明？、哪些命
10、题适宜用反证法加以证明？（3）以否定性判断作为结论的命题）以否定性判断作为结论的命题（2）关于唯一性结论的命题）关于唯一性结论的命题 （即结论中有有且只有，有且仅有等关键字眼）（即结论中有有且只有，有且仅有等关键字眼）（4）以至多，至少，不多于等形式陈述的命题）以至多，至少，不多于等形式陈述的命题2 2、常见的逻辑性矛盾：、常见的逻辑性矛盾：（1）与已知条件矛盾；）与已知条件矛盾；（2）与假设矛盾；）与假设矛盾；（3）与已有定义、公理、定理、事实矛盾。）与已有定义、公理、定理、事实矛盾。（5 5）一些不等量命题的证明）一些不等量命题的证明小结：小结：3.3.反证法的证明步骤：反证法的证明步骤：
11、即分三个步骤：即分三个步骤：假设假设归谬归谬存真存真假设假设假设命题的结论不成立，即假设命题结论的否定面成立；假设命题的结论不成立，即假设命题结论的否定面成立；下结论下结论由矛盾结果，断定假设不成立，从而肯定原命题的由矛盾结果，断定假设不成立，从而肯定原命题的 结论成立。结论成立。找矛盾找矛盾从假设出发，经过一系列正确的逻辑推理，推出从假设出发，经过一系列正确的逻辑推理，推出矛矛 盾盾（与已知矛盾，与已知定义，公理，定理事实等矛（与已知矛盾，与已知定义，公理，定理事实等矛 盾，出现的临时假设矛盾，在证明过程中出现自相矛盾，出现的临时假设矛盾，在证明过程中出现自相矛 盾等等），盾等等），从而否定
12、假设；从而否定假设；简单记为：简单记为：否定结论否定结论推出矛盾推出矛盾肯定结论，肯定结论，（其中推出矛盾是反证法证明的关键。）（其中推出矛盾是反证法证明的关键。）反证法是制造矛盾的专家。反证法是制造矛盾的专家。总结提炼总结提炼1 1.用反证法证明命题的一般步骤是什么用反证法证明命题的一般步骤是什么?用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是1)与题设矛与题设矛盾盾,2)与假设矛盾与假设矛盾,3)与已知定义、公理、定理矛盾，自与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等相矛盾等反设反设 归谬归谬 结论结论2.用反证法证题用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些矛盾的主要类型有哪些
13、?推理推理 合情推理合情推理 演绎推理演绎推理（归纳、类比）（归纳、类比）（三段论）（三段论）证明证明 直接证明直接证明 间接证明间接证明（分析法、综合法）（分析法、综合法）（反证法）（反证法）数学数学公理化思想公理化思想 否定结论否定结论 导致矛盾导致矛盾 反设反设不成立不成立 原结论成立原结论成立 反设反设 归归 谬谬 存真存真 用反证法证明命题的过程用框图表示为用反证法证明命题的过程用框图表示为：肯定条件肯定条件否定结论否定结论导导 致致逻辑矛盾逻辑矛盾反设反设 不成立不成立结论结论成立成立反证法的一般步骤反证法的一般步骤 先假设命题的结论不成立先假设命题的结论不成立从假设出发，经过推理
14、从假设出发，经过推理 得出矛盾得出矛盾 否定假设否定假设 肯定原命题肯定原命题 分清条件和结论分清条件和结论归纳步骤归纳步骤 -德国数学家希尔伯特说，德国数学家希尔伯特说，禁止数学家使用反证法，禁止数学家使用反证法，就象禁止拳击家使用拳头。就象禁止拳击家使用拳头。牛顿曾经说过：牛顿曾经说过：“反证法是数学家反证法是数学家最精当的武器之一最精当的武器之一”路路边边苦苦李李 王戎王戎7 7岁时岁时,与小伙伴们外出游玩与小伙伴们外出游玩,看到路边的看到路边的李树上结满了果子李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子小伙伴们纷纷去摘取果子,只只有王戎站在原地不动有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？
15、伙伴问他为什么不去摘？王戎回答说王戎回答说:“树在道边而多子树在道边而多子,此必苦李此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李果然是苦李.王戎是怎么知王戎是怎么知道李子是苦的呢道李子是苦的呢?他运用了怎样的他运用了怎样的推理方法推理方法?唐唐吉诃德悖论吉诃德悖论 小说小说唐唐吉诃德吉诃德里描写过一个国家它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答里描写过一个国家它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。问，你来这里做什么？如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，一个问题。问，你来这里做什么？如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。他就要被
16、绞死。一天，有个旅游者回答一天，有个旅游者回答 旅游者：我来这里是要被绞死。旅游者：我来这里是要被绞死。这时，卫兵慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果这时，卫兵慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王才说为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王才说 国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还是宽大为怀算了，让这国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还是宽大为怀算了，让这个人自由吧。个人自由吧。趣味数趣味数学学
