1、 文科数学参考答案第 1 页 （共 5 页） 武汉市 2020 届高中毕业生五月质量检测 文科数学参考答案及评分细则 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B B A C D D A C A B 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 210xy 14. 1 5 15. 16. 2.3 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12 分） 解： （
2、1）设等差数列 n a公差为d，依题意有 8)4( 52 2 1 2 1 1 daa da ， 解之得 5 3 5 14 1 d a ，则nnan 5 3 5 17 ) 5 3 () 1( 5 14 故 n a的通项公式为：)( , 5 3 5 17 Nnnan. 6分 （2）由d nn naSn 2 ) 1( 1 得0) 5 3 ( 2 1 ) 1( 5 14 2 ) 1( 1 n d na n Sn 所以 5 14 ) 1( 10 3 n，即 3 31 n，由 Nn，故10n 故 n T取最大值时n的值为 10. 12分 18 （本小题满分 12 分） 解： （1）平均成绩75 600 9
3、54085150752506510055504510 x 22222 )7575(250)6575(100)5575(50)4575(10标准差 600/ )9575(40)8575(150 22 60/ )20410150251010205301 ( 222222 3 文科数学参考答案第 2 页 （共 5 页） 100 6 7 100 60 25369 60 1002540099001 . 8 .10 6分 （2）由已知数据可知，前4组频率依次为： 1510 25 , 60 60 60 60 由 151011510251 , 6060602606060602 可知，中位数位于区间70,80）
4、 ，设中位数为x， 则 15102511 (70) 60606060 102 x， 解之得 75.6.x 故中位数为75.6. 12分 19 （本小题满分 12 分） （1）证明：在菱形 11A ACC中，过 1 A作ACHA 1 于点H， 因为平面CACA 11 平面ABC，所以HA1平面ABC， 则BCHA 1 ，而BCAA 1 ， 由 111 AAAHA，则BC平面 11A ACC. 6分 （2）因为 / 11C B 平面BCA1，所以 1 B到面BCA1的距离与 1 C到面BCA1的距离相等. 在菱形 11A ACC中，连 1 AC，设MCAAC 11 ，则CAMC 11 由（1）可知
5、BC平面 11A ACC，CBABC 1 面，所以平面CBA1平面 11A ACC， CAAACCCBA 1111 面面，而CAMC 11 所以MC1平面CBA1，所以MC1即为 1 C到面CBA1的距离， 在菱形 11A ACC中，4AC， 3 1 ACA 所以32 2 1 11 ACAMMC， 故 1 B到面BCA1的距离为32. 12分 20.（本小题满分12分） 解： （1）依题意1c，84 a，即2a， 故椭圆的方程为1 34 22 yx 4 分 文科数学参考答案第 3 页 （共 5 页） （2）设直线AB的方程为1tyx，),( 11 yxA，),( 22 yxB，), 4( 0
6、yP 由 1 34 1 22 yx tyx 得096)43( 22 tyyt 显然0，则 43 6 2 21 t t yy， 43 9 2 21 t yy 直线PA：)4( 4 1 01 0 x x yy yy，令0y得 10 101 4 yy yyx x ， 即)0 , 4 ( 10 101 yy yyx M ，同理)0 , 4 ( 20 202 yy yyx N 10 01 10 110 10 110 10 101 )3(33) 1( 1 4 1 yy tyy yy ytyy yy yxy yy yyx xM 同理： 20 02 )3( 1 yy tyy xN 于是： 2 )( 3 1 )
7、( 3 1 1 1 1 1 21 021 02 20 1 10 0 yy yyy tyy yy y yy tyxx NM 3 2 )2 3 2 ( 3 1 2 43 9 43 6 3 1 0 0 0 2 2 0 y t ty y t t t ty 所以 3 2 1 1 1 1 NM xx 为定值. 12 分 21 （本小题满分 12 分） 证明： （1）( )cos x fxex，设( )cos x h xex，而( )sin x h xex在- 1 x 0上为增函数 又 1 ( 1)sin( 1)0,(0)10heh ， 存在唯一 0 ( 1,0)x ，使得 0 ()0h x ， 在 0 1
8、xx 时， ( )0h x ， ( )fx 为减， 1 ( )( 1)cos10fxfe 在 0 (,0)x 时， ( )0h x ， ( )fx 为增， ( )(0)0fxf 因此10x 时，总有 ( )0fx ， ( )f x为减函数. ( )(0)0.f xf 从而原不等式得证. 6分 （2）( )1sin , ( )sincos1则 xx g xexxxg xexxx 在0( )( )sincos1 2 时,令 x xm xg xexxx 文科数学参考答案第 4 页 （共 5 页） 则( )sin2cos(0,). 2 在上递增 x m xexxx 又 2 (0)10, ()0 22
9、mme . 存在唯一 1 (0,),( )0 2 使xm x . 在 1 (0,),( )0,( )时xxm xm x 为减函数即 ( )g x 为减， 在 1 ( ,),( )0,( ) 2 时xxm xm x 为增函数即 ( )g x 为增， 而 2 1 (0)0,()(0)0,()20 2 又gg xgge ， 存在唯一的 212 ()0 2 ( , ),使得xxg x ， 在 2 0,( )0, ( )时xxg xg x 为减， 在 2 ,( )0, ( ) 2 时xxg xg x 为增，故 2 ( )为xg x一个极小值点. 另一方面：在10( )sin1 (cos ),cos0,时
10、,由而 x xg xexxxxx ( )sin1 x g xex 由(1)可知sin10 x ex ( )0( 1,0)在g x 上恒成立，又 2 ( )0(0,)在g xx 上恒成立. 0( )是xg x的极大值点. 12分 22.（本小题满分10分） 解： （1）由 sin cos2 ty tx 消去参数t得到k x y tan 2 ， 所以)2( xky，tank 由1 2 sin2 得1 2 cos1 ， 所以2cos，即2 22 xyx， 所以44 2 xy 5 分 （2）44 2 xy与x轴交点为)0 , 1(A，由 )2( 44 2 xky xy ，得012 4 2 y k y，
11、 记 k t 1 ，则0124 2 tyy，34124)4( 22 21 ttyy APQ面积6636343 2 1 2 1 22 21 ttyyAMS 文科数学参考答案第 5 页 （共 5 页） 所以3t，即 3 3 k，所以 3 3 tan 10 分 23（本小题满分10分） 证明： （1）因为a，b，c为正数，且1cba，所以1ba， 而 4 1 ) 2 ( 2 ba ab，故 4 1 ab 5 分 （2）分析法：要证原式，只需证： 2 3 111 c c b b a a 即要证： 2 3 ) 1 1 1 1 1 1 (3 cba 即要证： 2 9 1 1 1 1 1 1 cba 即要证：9) 1 1 1 1 1 1 ()1 ()1 ()1 ( cba cba 而0)1)(1)(1 (3)1 ()1 ()1 ( 3 cbacba 0 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 3 cbacba 将两式相乘，即得待证的式. 以上每步均可立，所以原不等式得证. 10 分
