1、平面向量的概念唉,哪儿去了?嘻嘻!大笨猫!AB引入引入不能，因为方向错了。不能，因为方向错了。BA位移不同位移不同老鼠由A向东北方向以6m/s的速度逃窜,而猫由B向东南方向10m/s的速度追.问猫能否抓到老鼠？为什么？重力、浮力、弹力有大小、有方向有大小、有方向许多物理量都有这样的性质许多物理量都有这样的性质抽象概括向 量（一）向量的概念 定义：既有大小又有方向的量叫向量。2.向量与数量的区别：数量只有大小 向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小的，因此向量不能比较大小。注：1.向量两要素：大小，方向大小，方向，可以比较大小。，可以比较大小。注注：物理中向量与数量分别叫做：物理中向量与
2、数量分别叫做矢量、标量矢量、标量(二）向量的表示方法 1 1、几何、几何表示法表示法：用用有向线段有向线段表示表示。A(A(起点）起点）B(B(终点）终点）有向线段三要素：有向线段三要素：起点、起点、方向、长度方向、长度a2 2、小写字母小写字母a,b,ca,b,c印刷印刷用用黑体黑体表示，手写时写成表示，手写时写成此易错也，望记住2 2、向量、向量的字母表示：的字母表示：注注：由：由起点指向终点；起点指向终点；AB为终点的向量表示为为起点，以示：）、用两个大写字母表（BA1（三）向量的模注：向量的模是可以比较大小的注：向量的模是可以比较大小的记作：记作：|AB无意义但EFCD,|EF|CD|
3、如：如：向量向量 的的模模AB(或长度或长度)AB就是向量就是向量 的大小的大小1.1.零向量零向量:2 2.单位向量单位向量:长度（模）为1个单位长度 的向量长度（模）为0的向量，记作0规定：方向是任意的。0（四）两个特殊向量1.相等向量相等向量：长度相等且方向相同的向量。abc a=b=cA1B1=A2B2=A3B3=A4B4A1B1A2B2A3B3A4B4（五）.向量间的关系：注：注：1.若向量 相等，则记为 ；2.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来 表示，并且与有向线段的起点无关起点无关。,a b ab3、向量可以自由平移规定：规定：0=00=0规定规定：零向量与任一向量平
4、行：零向量与任一向量平行记作：/abcabc 2.平行向量平行向量：方向：方向 或或 的向量叫的向量叫平平行向量行向量 如下图：如下图：平行平行cba,相同相同相反相反任一任一组平行向量都可移到同一条直线上组平行向量都可移到同一条直线上,平行向量也叫平行向量也叫共线向量共线向量0/a记作记作:3.向量向量的负向量的负向量：长度相等且方向相反的向量。ab向量 的负向量，记作 aa规定：零向量的负向量仍为零向量 与 互为相反向量aaaa-4 5,ABABAB 例2：在方格纸中有一个向量以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个？(AB除外）AB相等的有7
5、个长度相等的有15个.试一试试一试例例1判断下列结论是否正确。判断下列结论是否正确。(1)(1)平行向量方向一定相同；平行向量方向一定相同；()()(2)(2)不相等向量一定不平行；不相等向量一定不平行；()()(3)(3)与零向量相等的向量是零向量；与零向量相等的向量是零向量；()()(4)(4)单位向量是相等向量；单位向量是相等向量；()()(5)(5)共线向量一定在一条直线上；共线向量一定在一条直线上；()()(6)(6)相等向量一定是平行相等向量一定是平行向量向量;()【例例2 2】:如图，设如图，设O是正六边形的中心，分别写是正六边形的中心，分别写出图中与向量出图中与向量 、相等的相
6、等的向量，向量，负向负向量。量。OAOBOCBACDEFOOCBACDEFOOACBDOEODCOBFOEDABOC解解：OFDEBAOC下面几个命题：（3）若|a|=|b|，则a=b（2）若|a|=0，则 a=0（1）若a=b，b=c，则a=c。A0B.1 C.2 D.3 其中正确的个数是()（5）向量ABCD ，则A、B、C、D四点必在一直线上；（4）两个向量a=ba b|a|=|b|平面向量的加法运算 台北香港上海从运动的合成看向量运算 在大陆和台湾没有直航之前，台湾同胞要到上海探亲，得乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，那么这两次位移之和是什么？ABCABBCAC+=ACAB BC
7、 位移叫做位移与位移的和，记作F1F2FEOOEF1+F2=F从力的合成看向量运算 橡皮条在力F1与F2的作用下，从E点伸长到了O点；同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？F1F2FF是以F1与F2为邻边所形成的平行四边形的对角线ABC向量的加法运算ABBCAC+=运动的合成 力的合成F1F2FF1+F2=F 数的加法启发我们，从运算的角度看，AC可以认为是AB与BC的和，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成可以看作向量的加法。向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量的加法法则：三角形法则、平行四边形法则aboABC力的合成可以看
8、作向量加法的平行四边形法则的物理模型向量加法法则baba求作向量求作向量已知向量已知向量,CABbaACbBCaABA则向量则向量作作在平面内任取一点在平面内任取一点作法：作法：,.21ababba ba 位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型baOCbOBaOAO则向量则向量作作在平面内任取一点在平面内任取一点作法：作法：,.21向量加法法则总结与拓展 向量加法的三角形法则:1.将向量平移使得它们 2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾 向量加法的平行四边形法则:1.将向量平移到 2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的对角线 三角形法则推广为多边形法则：探究一：当向量
9、共线时，如何相加？ACab=+ABC(1)同向(2)反向ababABCACab=+aaa00规定：规定：探究二：向量的加法是否具备交换律和结合律？数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，bR，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)向量的加法具备吗？你能否画图解释？abba()a bcabc(+)+向量加法满足交换律和结合律：以上两个运算律可以推广到任意多个向量.练习：1、化简_)1(BCCDAB _)2(CBACBNMA(3)_ABBDCADC .,)5()4(,0)3(;0)2()1(._,2的方向相同与则反向，且，若向量相等；与均为非零向量，则，若；为一个三角形的三顶点，则若中，
10、必有之一的方向相同；，必和的方向么的方向相同或相反，那与若非零向量正确的个数有、下列命题中ababababababaCBACABCABCABCABABCbababa 例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h，求该船的实际航行速度 ABDC速度，由向量加法的平行四边形法则，AD是船的实际航行速度，显然 ACAB 解 如图所示，表示船速，为水流22ADABAC 22125=13 512tanCAD利用计算器求得 67 23CAD即船的实际航行速度大小是13km/h，其方向与河岸线的夹角约67 23例4 用两条同样的绳子挂一个物体,设物体的重力为k，两条，求
11、物体受到沿两条绳子的方向的拉力1f2f与的大小 绳子的方向与垂线的夹角为f1f2k1212cos，fffk12coskf解 利用平行四边形法则，可以得到所以根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身体时，两臂成什么角度时，双臂受力最小？平面向量的减法运算动脑思考动脑思考探索新知探索新知与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差即 a b=a(b)()=OAOBOAOBOABOBOOABA 即 OAOBBA 观察图可以得到：起点相同的个向量，其起点是减向量b的终点，两个向量a、b，其差a b仍然是一终点是被减向量a的终点 aAabBbO设a ，b，则 OA OB向量减法
12、法则 要点:1.平移到；2.被减向量.abb)(babaabABOababbaabABOab.,baBAbOBaOAO则则作作点点作法：在平面内任取一作法：在平面内任取一探究三：当向量共线时，如何相减？(1)同向(2)反向bababa baba探究四：平行四边形法则的两条对角线ADCBabbaABADBDbaACOMBOMBABBDACCDABDCADAB)3()2(;)1(.化简：平面向量的数乘运算aaaABCOaaaa3BCABOAOC记记作作aaaaMNQMPQPN3记记作作)()()(a-a-a-aPQMNaaaa333的方向相同的方向相同与与aaaa333的方向相反的方向相反与与义吗
13、？义吗？你能说明它们的几何意你能说明它们的几何意和和作出作出已知非零向量已知非零向量),()()(,aaaaaaa向量的数乘运算的定义.00,00000)2(;)1(.aaaaaaaaa时，当的方向相反；的方向与时，当的方向相同；的方向与时，当如下：，它的长度和方向规定记作运算叫向量的数乘的积是一个向量，这种与向量实数.)()(的方向的方向量量的符号表示是否改变向的符号表示是否改变向伸长或缩短；伸长或缩短；的长度的长度可视为将向量可视为将向量几何意义：几何意义：aaa 21你能说出向量数乘运算的几何意义吗？数乘向量运算律.)()()(律律推广出数乘向量的运算推广出数乘向量的运算呢？呢？与与有什
14、么关系？有什么关系？和和思考：思考：babaaa22226231 向量的加、减、数乘运算统称向量的.bababa212121 ),（恒恒有有，以以及及任任意意实实数数对对于于任任意意向向量量第一分配律第二分配律数乘结合律1.如何证明？2.如何解释运算律的几何意义，尤其是(3)？线性运算练习.,3,25,.4,0)(4)2(2)(3.323231,2,232)23()32)(3(;)(2)(3)2(;4)3)(1(.1yxbyxayxbaxbaxaxaxabbabajibjiacbacbaababaa，求且已知、求已知、求、设向量计算：abab向量的数乘运算的定义向量的数乘运算的定义可以得到，对
15、于可以得到，对于非零向量非零向量a a、b b，当，当 时，有时，有 0 AB 例5在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图，a，AOODADb，试用a,b表示向量、解解 ACab，BD b a，因为O分别为AC，BD的中点，所以 1122AOAC1212（ab）ab，1122 ODBD1212（b a）ab，1212ab和 1212a b 都叫做向量a，b的线性组合，或者说，AO OD、可以用向量a，b线性表示，一般地，ab叫做a,b的一个线性组合（其中均为实数），如果l a b，则称l可以用a，b线性表示 自我反思自我反思目标检测目标检测向向量量概念及表示：向量间的关系：向量的线性运算：2005年11月7日7时33分
