1、3.2 平面刚架的有限元分析平面刚架的有限元分析 平面刚架所有杆的轴线都在平面刚架所有杆的轴线都在同一平面内同一平面内，且各杆之间均为，且各杆之间均为刚性连刚性连接接，用截面法可以求出平面刚架横截面上的内力。，用截面法可以求出平面刚架横截面上的内力。图图2.8 平面刚架平面刚架 图图2.9 平面刚架横截面上的受力平面刚架横截面上的受力例如，求图例如，求图2.8所示所示1-1横截面的内力。横截面的内力。用截面法，如图用截面法，如图2.9所示，列所示，列平衡方程平衡方程，得，得 （2-48）图图2.10 刚架单元的受力刚架单元的受力 由式（由式（2-48）可知，平面刚架横截面上的）可知，平面刚架横
2、截面上的内力有内力有3个个：轴力：轴力 、剪力剪力 、弯矩、弯矩 ，是拉压与弯曲的组合变形。所以平面刚架单元，是拉压与弯曲的组合变形。所以平面刚架单元每个节点有每个节点有3个个节点力节点力：轴力：轴力 、剪力、剪力 、弯矩、弯矩 ，如图，如图2.10所示，所示，每个节点有每个节点有3个个节点位移节点位移：轴向位移：轴向位移 、横向挠度、横向挠度 、截面的转、截面的转角角 。xpapmpqpT1211121TqmTqmf3.2 平面刚架的有限元分析平面刚架的有限元分析3.2.1划分单元划分单元 对单元和节点进行编号对单元和节点进行编号:6个单元和个单元和4个节点。个节点。具有个具有个4x3=12
3、 自由度自由度，所以结构的，所以结构的 整体刚度矩阵是一个整体刚度矩阵是一个 12x12 的矩阵的矩阵3.2.2单元分析，局部坐标系下的单元分析，局部坐标系下的单元刚度矩阵单元刚度矩阵 图图2.12 刚架单元的节点位移和节点力刚架单元的节点位移和节点力e 任取一个平面刚架单元，设单元号为任取一个平面刚架单元，设单元号为 e ，两个节点分别为，两个节点分别为 i 、j ，建立单元局部坐标系建立单元局部坐标系 xoy ，在局部坐标系下，两个节点在局部坐标系下，两个节点 、的节点位移的节点位移 、见式见式（2-49），节点力），节点力 、见式（见式（2-50）。）。（2-49）（2-50）所以，局部
4、坐标系下平面刚架单元的节点位移所以，局部坐标系下平面刚架单元的节点位移 和节点力和节点力 见式（见式（2-51）、（）、（2-52）。）。（2-51）（2-52）规定：剪力规定：剪力 与与 轴正向一致为正；弯矩轴正向一致为正；弯矩 逆时针方向为逆时针方向为正；轴力正；轴力 与与 轴正向一致为正。轴正向一致为正。ij i j ip jp iiiif jjjjf iiiimqTp jjjjmqTp e ep Tjjjiiieff TjjjiiiemqTmqTpqymTx分析思路求元素求元素 、的值，如图的值，如图2.13所示，所示，。因为因为 ，所以所以 。根据平衡。根据平衡 ，得，得 ，时，同理
5、可求得时，同理可求得 ，。所以得到轴向节点位移所以得到轴向节点位移 、与轴向节点力与轴向节点力 、之间的关系，见式（之间的关系，见式（2-54）。）。（2-54）iiSjiS1i0j图图2.13 轴向拉压图轴向拉压图1EAlTiiiiiSlEAT0jiTTjiijSlEATT0i1jlEASijlEASjjijiTiTjTjijilEAlEAlEAlEATT2.弯曲分析弯曲分析 平面刚架单元弯曲变形的挠度平面刚架单元弯曲变形的挠度 、截面转角、截面转角 与剪力与剪力 、弯矩、弯矩之间的关系完全等同于直梁单元的关系，见式（之间的关系完全等同于直梁单元的关系，见式（2-22），即有），即有 （2-
6、55）fqmjjiijjiifflEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEImqmq462661261226466126122223232223233.局部坐标系下的单元刚度矩阵局部坐标系下的单元刚度矩阵 综合上述轴向拉压分析和弯曲分析，得到局部坐标系综合上述轴向拉压分析和弯曲分析，得到局部坐标系 下，平下，平面刚架单元的节点力和节点位移之间的关系面刚架单元的节点力和节点位移之间的关系单元刚度矩阵单元刚度矩阵 。（2-56）yoxeKjjjiiijjjiiifflEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlE
7、IlEIlEIlEIlEIlEAlEAmqTmqT460260612061200000260460612061200000222323222323单元刚度矩阵 式（式（2-56）写成分块形式为：）写成分块形式为：（2-57）或简写为或简写为 （2-58）所以得出，局部坐标系下所以得出，局部坐标系下 ，平面刚架单元的单元刚度矩的，平面刚架单元的单元刚度矩的通用公式为：通用公式为：（2-60）将局部坐标系下平面刚架单元的单元刚度矩阵的通用公式应用于将局部坐标系下平面刚架单元的单元刚度矩阵的通用公式应用于每一个单元，即把每一个单元的参数每一个单元，即把每一个单元的参数 、代入代入式（式（2-59），
8、即得到该单元的局部坐标系下的单元刚度矩阵。），即得到该单元的局部坐标系下的单元刚度矩阵。jijjjiijiijiKKKKppeeeKpyoxeKejjejieijeiieKKKKKEIlA3.2.3单元刚度矩阵的单元刚度矩阵的坐标变换坐标变换 单元刚度矩阵的坐标变换是把平面刚架的所有单元在局部坐标系单元刚度矩阵的坐标变换是把平面刚架的所有单元在局部坐标系 下的单元刚度矩阵下的单元刚度矩阵 变换到一个统一的坐标系变换到一个统一的坐标系 下，这个下，这个统一的坐标系统一的坐标系 称为整体坐标系，如图称为整体坐标系，如图2.14所示。所示。以单元以单元 为例：设节点变形后的位置为例：设节点变形后的位
9、置为为 ，节点，节点 在局部坐标系在局部坐标系 下的位移下的位移 和在整体坐标系和在整体坐标系 下的位移下的位移 ，见式（见式（2-61）。）。（2-61）yoxeKxoyxoy图图2.14 整体坐标图整体坐标图eiiyox ixoy i iiiif iiiivu 设轴设轴 与轴与轴 之间的夹角为之间的夹角为 。节点对应的转角。节点对应的转角 ，在局，在局部坐标系和整体坐标系下是一样的。则节点部坐标系和整体坐标系下是一样的。则节点 在局部坐标系在局部坐标系 下下的位移和在的位移和在整体坐标系整体坐标系 下的位移下的位移具有如下关系：具有如下关系：（2-62）上式写成上式写成矩阵形式矩阵形式为为
10、 （2-63）xxiiyoxxoy 图图2.15 坐标变换坐标变换 iiiiiiiivufvucossinsincosiiiiiivuf1000cossin0sincos 同理可得节点同理可得节点 在局部坐标系在局部坐标系 下的位移和在整体坐标系下的位移和在整体坐标系 下的位移具有如下关系：下的位移具有如下关系：（2-64）对整个单元对整个单元 ，局部坐标系和整体坐标系下节点位移有如下关系：，局部坐标系和整体坐标系下节点位移有如下关系：（2-65）jyoxxoyejjjjjjvuf1000cossin0sincosjjjiiijjjiiivuvuff1000000cossin0000sinco
11、s0000001000000cossin0000sincos上式写成上式写成分块形式分块形式为为 （2-66）或简写为或简写为 （2-67）其中：其中：单元单元 的坐标变换矩阵，描述局部坐标系和整体坐标系的坐标变换矩阵，描述局部坐标系和整体坐标系下节点位移分量之间的变换关系。对于不同的单元，单元坐标变换矩下节点位移分量之间的变换关系。对于不同的单元，单元坐标变换矩阵具有相同的形式，见式（阵具有相同的形式，见式（2-68），只是），只是 角不同。角不同。（2-68）ejieji00 eeeT eTe 1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000si
12、ncoseT例例1：如图：如图2.16所示，求单元所示，求单元1的坐标变换矩阵的坐标变换矩阵 。图图2.16 单元单元1的坐标变换的坐标变换解：单元解：单元1的局部坐标系的的局部坐标系的 轴与整体坐标系的轴与整体坐标系的 轴之间的夹角轴之间的夹角 ，代入单元坐标变换矩阵公式（代入单元坐标变换矩阵公式（2-68），可得单元），可得单元1的坐标变换矩阵的坐标变换矩阵 。（2-69）1Txx1 1T。1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos111111111T 则单元则单元1在局部坐标系下和整体坐标系下的节点位移有如下关系：在局部坐标系
13、下和整体坐标系下的节点位移有如下关系：（2-70）111222111111111112221000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincosvuvuff 在前面的推导中，在前面的推导中，若把节点位移都换成节点力，同理可得节点力若把节点位移都换成节点力，同理可得节点力的坐标变换矩阵，其与节点位移的坐标变换矩阵的坐标变换矩阵，其与节点位移的坐标变换矩阵 具有完全相同的具有完全相同的形式，形式，见式（见式（2-68）。）。单元单元 在局部坐标系在局部坐标系 下的节点力列阵下的节点力列阵 和在整体坐标系和在整体坐标系 下的节点力列阵下的节点力列阵
14、，见式（，见式（2-75）。）。（2-75）则单元则单元 在局部坐标系下和整体坐标系下的节点力具有如下关系在局部坐标系下和整体坐标系下的节点力具有如下关系：（2-76）在局部坐标系在局部坐标系 下，平面刚架单元的节点力和节点位移之间下，平面刚架单元的节点力和节点位移之间的关系见式（的关系见式（2-58），即），即 ，其中，其中 是单元是单元 在局在局部坐标系部坐标系 下的单元刚度矩阵。下的单元刚度矩阵。eTeyox epxoy ep TjjjiiiemqTmqTp TjjyjxiiyixemTTmTTpe eeepTpyox eeeKpeKeyox 平面刚架单元的节点力在局部坐标系下和整体坐标
15、系下的变换关平面刚架单元的节点力在局部坐标系下和整体坐标系下的变换关系见式（系见式（2-76），单元的节点位移在局部坐标系下和整体坐标系下的），单元的节点位移在局部坐标系下和整体坐标系下的变换关系见式（变换关系见式（2-67），即），即 将式（将式（2-76）和式（）和式（2-67）分别代入式（）分别代入式（2-58）的左端和右端，）的左端和右端，得得 （2-77）将上式两端分别左乘以的将上式两端分别左乘以的 逆矩阵逆矩阵 ，得，得 （2-78）因为因为 ，所以有，所以有 （2-79）上式简写为上式简写为 （2-80）eeeT eeeeeTKpT eT 1eT eeeeeeeTKTpTT11
16、ITTee1 eeeeeTKTp1 eeeKp 其中：其中：平面刚架单元平面刚架单元 在整体坐标系在整体坐标系 下的下的单元刚度矩阵。单元刚度矩阵。由式（由式（2-79）和（）和（2-80）可得）可得 。又因。又因为可以证明为可以证明 ，所以平面刚架单元在整体坐标，所以平面刚架单元在整体坐标系系 下的单元刚度矩阵下的单元刚度矩阵 和在局部坐标系和在局部坐标系 下下的单元刚度矩阵的单元刚度矩阵 之间的变换关系为式（之间的变换关系为式（2-81）。通过）。通过单元刚度矩阵的坐标变换式，可以求出平面刚架的所有单单元刚度矩阵的坐标变换式，可以求出平面刚架的所有单元在整体坐标系元在整体坐标系 下的单元刚
17、度矩阵。下的单元刚度矩阵。（2-81）eKexoy eeeeTKTK1 TeeTT1xoy eKyoxeKxoy eeTeeTKTK3.2.4形成整体刚度矩阵形成整体刚度矩阵 因为本例中（图因为本例中（图2.14）共划分有）共划分有4个节点，结构共有个节点，结构共有12个自由度，个自由度，若采用上一节中讲到的形成整体刚度矩阵的第一种方法，即对整个结若采用上一节中讲到的形成整体刚度矩阵的第一种方法，即对整个结构的每个节点进行受力分析，通过建立节点平衡方程式得到有限元基构的每个节点进行受力分析，通过建立节点平衡方程式得到有限元基本方程和整体刚度矩阵，则共需列出本方程和整体刚度矩阵，则共需列出12个
18、方程，非常复杂，所以这里个方程，非常复杂，所以这里采用形成整体刚度矩阵的第二种方法，即采用叠加法形成整体刚度矩采用形成整体刚度矩阵的第二种方法，即采用叠加法形成整体刚度矩阵。阵。1）将单元刚度矩阵将单元刚度矩阵 写成分块形式写成分块形式 （2-82）其中：其中：单元号；、单元号；、单元单元 的两节点的编号；的两节点的编号；单元单元 在节在节点点 的节点力向量；的节点力向量；节点节点 的节点位移向量；的节点位移向量；单元上，单元上，节点单位位移在节点单位位移在 节点引起的节点力向量。节点引起的节点力向量。eKjiejjejieijeiiejeiKKKKppeijeeipeiiieijKeji3.
19、2 平面刚架的有限元分析平面刚架的有限元分析例如，图例如，图2.14所示平面刚架的所示平面刚架的8号单元和号单元和9号单元分别见式（号单元分别见式（2-83）和）和（2-84）。）。(a)1号单元：号单元：（2-83）(b)2号单元：号单元：（2-84）2）将整体刚度矩阵写成分块形式（分块矩阵的阶数等于结构的将整体刚度矩阵写成分块形式（分块矩阵的阶数等于结构的节点数）节点数）3）叠加形成整体刚度矩阵叠加形成整体刚度矩阵 （2-85）211221211121111211KKKKpp312332312132112321KKKKpp K 1212644344144643542341634633433
20、133432131124423522422222221314113212311211111kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkK3.2 平面刚架的有限元分析平面刚架的有限元分析 则得到平面刚架的有限元基本方程则得到平面刚架的有限元基本方程 （2-86）其中：其中：整体坐标系下整个结构的节点载荷列阵；整体坐标系下整个结构的节点载荷列阵；整整体坐标系下整个结构的节点位移列阵；体坐标系下整个结构的节点位移列阵；整体刚度矩阵。整体刚度矩阵。KQ Q K3.2.5求解有限元基本方程求解有限元基本方程 分析图分析图2.14所示平面刚架结构的边界所示平面刚架结构的边界约束条件，可以得出结构的位移
21、边界条件约束条件，可以得出结构的位移边界条件和载荷边界条件为：和载荷边界条件为：Tvuvu444333210000 TyxyxppppppQ00000022112.2 平面刚架的有限元分析平面刚架的有限元分析-例题例题解：建立局部坐标系解：建立局部坐标系 ，如图如图2.20所示。所示。图图2.19 平面杆单元平面杆单元yox图图2.20 整体坐标和局部坐标整体坐标和局部坐标3.2 平面刚架的有限元分析平面刚架的有限元分析-例题例题 因为平面桁架结构中的任一杆均为二力杆，所以在局部坐标系因为平面桁架结构中的任一杆均为二力杆，所以在局部坐标系 下，平面桁架单元的每一个节点的节点位移只有一个轴向位移
22、下，平面桁架单元的每一个节点的节点位移只有一个轴向位移 ，对应的节点力也只有一个轴向力对应的节点力也只有一个轴向力 ，根据材料力学知识，可得在局，根据材料力学知识，可得在局部坐标系部坐标系 下单元节点力与节点位移的关系，见式（下单元节点力与节点位移的关系，见式（2-87）。（2-87）所以，平面桁架单元在局部坐标系所以，平面桁架单元在局部坐标系 下的单元刚度矩阵下的单元刚度矩阵 为：为：（2-88）yoxTyox2121lEAlEAlEAlEATTyoxeK1111lEAlEAlEAlEAlEAKe3.2 平面刚架的有限元分析平面刚架的有限元分析-例题例题 在整体坐标系在整体坐标系 下，平面桁
23、架单元的每一个节点的节点位下，平面桁架单元的每一个节点的节点位移有移有2个分量：个分量：、，节点力也有，节点力也有2个分量：个分量：、。则在整体坐标则在整体坐标 下单元节点力与节点位移的关系，见式（下单元节点力与节点位移的关系，见式（2-89）。）。（2-89）所以，平面桁架单元在整体坐标系所以，平面桁架单元在整体坐标系 下的单元刚度矩阵下的单元刚度矩阵 是一是一个个4阶方阵，见式（阶方阵，见式（2-90）。（2-90）xoyuvxFyFxoy2211444342413433323124232221141312112211vuvuKKKKKKKKKKKKKKKKFFFFyxyxxoy eK 4
24、4434241343332312423222114131211KKKKKKKKKKKKKKKKKe3.2 平面刚架的有限元分析平面刚架的有限元分析-例题例题 平面桁架单元可以看作是平面刚架单元的特殊情况，为了求出平平面桁架单元可以看作是平面刚架单元的特殊情况，为了求出平面桁架单元在整体坐标系面桁架单元在整体坐标系 下的单元刚度矩阵下的单元刚度矩阵 ，将式（，将式（2-87）扩阶写为扩阶写为 （2-91），由前面学习已知，单元的节点位移的坐标变换式为（，由前面学习已知，单元的节点位移的坐标变换式为（2-92），），单元的坐标变换矩阵单元的坐标变换矩阵 ，见式（，见式（2-93）。）。（2-92）
25、xoy eK221122110000010100000101fflEAqTqT eT22112211cossin00sincos0000cossin00sincosvuvuff3.2 平面刚架的有限元分析平面刚架的有限元分析-例题例题 （2-93）根据平面刚架单元在整体坐标系根据平面刚架单元在整体坐标系 下的单元刚度矩阵下的单元刚度矩阵 和和在局部坐标系在局部坐标系 下的单元刚度矩阵下的单元刚度矩阵 之间的变换关系式之间的变换关系式（2-81），则得到整体坐标系），则得到整体坐标系 下的单元刚度矩阵下的单元刚度矩阵 为：为：cossin00sincos0000cossin00sincoseTx
26、oy eKyoxeKxoy eK3.2 平面刚架的有限元分析平面刚架的有限元分析-例题例题 （2-94）22cossin00101 0cossin00sincos000000sincos0000cossin1 01000cossin00sincos000000sincoscossin coscossin cossinTeeeeKTKTEAlEAl 222222cossinsin cossincossin coscossin cossin cossinsin cossin3.2 平面刚架的有限元分析平面刚架的有限元分析-例题例题3.2 平面刚架的有限元分析平面刚架的有限元分析-例题例题3.2 平
27、面刚架的有限元分析平面刚架的有限元分析-例题例题3.2 平面刚架的有限元分析平面刚架的有限元分析-例题例题3.2 平面刚架的有限元分析平面刚架的有限元分析-例题例题3.2 平面刚架的有限元分析平面刚架的有限元分析-例题例题3.2 平面刚架的有限元分析平面刚架的有限元分析-例题例题3.2 平面刚架的有限元分析平面刚架的有限元分析-例题例题3.2 平面刚架的有限元分析平面刚架的有限元分析-例题例题3.2 平面刚架的有限元分析平面刚架的有限元分析-例题例题3.2 平面刚架的有限元分析平面刚架的有限元分析-例题例题3.2 平面刚架的有限元分析平面刚架的有限元分析-例题例题3.2 平面刚架的有限元分析平面刚架的有限元分析-例题例题
