1、 2.3 弹性力学础知识弹性力学础知识弹性力学的几个基本假定弹性力学的几个基本假定弹性力学的几个基本概念弹性力学的几个基本概念弹性力学的平衡方程、几何方程及物理方程弹性力学的平衡方程、几何方程及物理方程 弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题引言引言（1）变形体的描述与变量定义）变形体的描述与变量定义 由固体材料组成的具有一定形状的物体在一定约束边界下由固体材料组成的具有一定形状的物体在一定约束边界下（外力温度位移约束等）将产生变形，该物体中任意一个（外力温度位移约束等）将产生变形，该物体中任意一个位置的材料都将处于复杂的受力状态之中。位置的材料都将处于复杂的受力状态之中。变形体：即物体内任意两
2、点之间可发生相对移动。变形体：即物体内任意两点之间可发生相对移动。依据几何形状分为：简单形状变形体（杆，梁，柱）和任意形依据几何形状分为：简单形状变形体（杆，梁，柱）和任意形状变形体状变形体有限元方法所处理的对象：任意形状变形体有限元方法所处理的对象：任意形状变形体弹性力学中有关变量和方程的描述是有限元方法的重要基础。弹性力学中有关变量和方程的描述是有限元方法的重要基础。l受力状况的描述：平衡方程受力状况的描述：平衡方程l变形程度的描述：几何方程变形程度的描述：几何方程l材料的描述：物理方程（应力应变关系或本构方程）材料的描述：物理方程（应力应变关系或本构方程）2.3.1弹性力学的几个基本假定
3、弹性力学的几个基本假定(1)物体是连续的物体是连续的,物体内的一些物理量，如应力、应变、位移等等物体内的一些物理量，如应力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。才可以用座标的连续函数来表示。(2)物体是完全弹性的物体是完全弹性的,物体在任一瞬时的形状完全决定于物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。它在这一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。(3)物体是均匀的，整个物体是由同一种材料组成的。物体是均匀的，整个物体是由同一种材料组成的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性常
4、数因而物体的弹性常数(弹性模量和波桑系数弹性模量和波桑系数)才不随位置座标而变才不随位置座标而变。l2.3.1弹性力学中关于材料性质的假定弹性力学中关于材料性质的假定(4)物体是各向同性的物体是各向同性的(Isotropic)，也就是说物体内每一点各个，也就是说物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。(5)物体的变形是微小的，亦即当物体受力以后，整个物体物体的变形是微小的，亦即当物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于都远小于1.2.3.2 应力
5、的概念应力的概念两种外力：两种外力：表面力表面力:分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号平行于座标轴的三个成分，用记号 来表示。来表示。体力体力:分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。表示。弹性体受外力以后，其内部将产生应力。弹性体受外力以后，其内部将产生应力。
6、、正应力和切应力正应力和切应力正应力正应力s n与切应力切应力t n 与结构强度关系密切根据截面方位不能完全确定切应力应力分量应力张量应力张量应力张量应力张量可以描述一点应力状态应力状态l为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个角码，为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个角码，例如，正应力例如，正应力 是作用在垂直于是作用在垂直于x轴的面上同时也轴的面上同时也沿着沿着X轴方向作用轴方向作用的。的。xs正应力正应力st剪应力剪应力加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如，剪
7、应力，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如，剪应力 是作用在垂直于是作用在垂直于X轴的面上而沿着轴的面上而沿着y轴方向作用的轴方向作用的。xytxyzxyyzzxsssttt、(1-2)xyTzxyzxyyzzxxyyzzxssssssstttttts2.3.3 位移及应变位移及应变l l 物体的变形状态，一般有两种方式来描述：物体的变形状态，一般有两种方式来描述：（1）给出）给出各点的位移各点的位移；（2）给出）给出各体素的变形各体素的变形体素的变形可以分为两类：体素的变形可以分为两类：线应变：长度的变化线应变：长度的变化 角应变或剪应变：角度的变化角应变或剪应变：角度的变化zyx、
8、zxyzxy、vudxdyA AB BC CD Ddxxuudxxvvdyyuudyyvv ABCDDBx xy y0 0图 1-5A点在点在X方向的位移分量方向的位移分量为为u；B点在点在X方向的位移：方向的位移：ABCD-ABCD求线素求线素AB、AD的正应变的正应变 ，用位移分量来表示：，用位移分量来表示：yx、dxxuuuu线素线素AB的正应变为：的正应变为：xudxudxxuux)(同理，同理，AD的正应变为：的正应变为：yvdyvdyyvvy)(联立得到联立得到几何方程几何方程，表明应变分量与位移分量之间，表明应变分量与位移分量之间的关系。的关系。1)-3-(1 zuxwywzvx
9、vyuzwyvxuzxyzxyzyx，可以证明，如果弹性体内任一点，已知这三个垂直方向的正应可以证明，如果弹性体内任一点，已知这三个垂直方向的正应变及其相应的三个剪应变，则该点任意方向的正应变和任意二垂变及其相应的三个剪应变，则该点任意方向的正应变和任意二垂直线间的剪应变均可求出，当然也可求出它的最大和最小正应变直线间的剪应变均可求出，当然也可求出它的最大和最小正应变。因此，这六个量可以完全确定该点的应变分量，它们就称为该。因此，这六个量可以完全确定该点的应变分量，它们就称为该点的点的应变分量应变分量。六个应变分量的总体，可以用一个列矩阵六个应变分量的总体，可以用一个列矩阵 来表示：来表示：(
10、1-3-2)xyTzxyzxyyzzxxyyzzx2.3.4 物理方程物理方程z zy yx x0 0 xsxsysyszszs图 1-77)-(1 )(1)(1)(1yxzzzxyyzyxxEEEsssssssss设图中的弹性体在各面上都受有均匀分布的正应力，设图中的弹性体在各面上都受有均匀分布的正应力，则合成应变的分量可用则合成应变的分量可用(1-5)和和(1-6)式求得。实验证明，式求得。实验证明，只须将三个应力中的每一应力所引起的应变分量叠加，只须将三个应力中的每一应力所引起的应变分量叠加，就得到合成应变的分量。就得到合成应变的分量。8)-(1 111zxzxyzyzxyxyGGGtt
11、t，式中式中G称为剪切模量，它与弹性模量称为剪切模量，它与弹性模量E，波桑系数波桑系数 存在如下的关系：存在如下的关系：9)-(1 )1(2EGzxzxyzyzxyxyyxzzzxyyzyxxGGGEEEtttsssssssss111)(1)(1)(111)-(1 )1(2)1(2)1(2)11()21)(1()1()11()21)(1()1()11()21)(1()1(zxzxyzyzxyxyzyxzzyxyzyxxEEEEEEtttsss12)-(1 )1(221000000)1(221000000)1(221000000111000111000111)21)(1()1(zxyzxyzyx
12、zxyzxyzyxEtttsss式式(1-12)可简写为：可简写为：13)-(1 sD 14)-(1 )1(22100000)1(2210000)1(221000111111)21)(1()1(称对EDx xy y0 0t/2t/2z zy y图 1-10 厚度为厚度为t的很薄的均匀木板。只在边缘上受到平行于板面的很薄的均匀木板。只在边缘上受到平行于板面且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面且不沿且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。厚度变化。yxxyyxttss、000yzzyxzzxztttts，0)(0)(0)(222tzzytzzxtzztts，2)-(1
13、Tzxyzxyzyxzxyzxyzyxtttssstttssss 18)-(1 xyyxtssszxzxyzyzxyxyyxzzzxyyzyxxGGGEEEtttsssssssss111)(1)(1)(1 19)-(1 xyyx20)-(1 )1(2111xyxyxyxyyyxxEGEEttssss21)-(1 211)1(211222xyxyxyyxyyxxEEEEtss22)-(1 2100010112xyyxxyyxEtss sD 23)-(1 2100010112ED1)-3-(1 zuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzyx，24)-(1 xvyuyvxuxyyxxyyx、
14、17)-(1 *dxdydzFTTs 25)-(1 *dxdytFTTs0 0y yx x图 1-11 一纵向一纵向(即即Z向向)很长，且沿横截面不变的物体，受有平行很长，且沿横截面不变的物体，受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力和体力，如图于横截面而且不沿长度变化的面力和体力，如图1-11所示所示1)-3-(1 zuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzyx，24)-(1 xvyuyvxuxyyxxyyx、0zxyzzzxzxyzyzxyxyzyxzzyxyzyxxEEEEEEtttsss)1(2)1(2)1(2)11()21)(1()1()11()21)(1()1()11()21
15、)(1()1(26)-(1 )1(221)21)(1()1()1(2)1()21)(1()1()1()21)(1()1(xyxyxyyxyyxxEEEEtss sD27)-(1 )1(22100011011)21)(1()1(xyyxxyyxEtss 28)-(1 )1(22100011011)21)(1()1(ED 25)-(1 *dxdytFTTs F注意事项：注意事项：工程中有许多问题很接近于平面应变问题，如受内压力的工程中有许多问题很接近于平面应变问题，如受内压力的圆圆管、滚柱轴承中的滚柱管、滚柱轴承中的滚柱等等，但它们的沿等等，但它们的沿Z向长度都不是无限向长度都不是无限长的。故在靠
16、近两端的部分，其应力应变状态比较复杂，并不长的。故在靠近两端的部分，其应力应变状态比较复杂，并不符合平面应变问题的条件符合平面应变问题的条件将这类问题当作平面应变问题来考虑时，对于离开两端有一将这类问题当作平面应变问题来考虑时，对于离开两端有一定距离的地方，得出的结果还是相当满意的；但对靠近两端的定距离的地方，得出的结果还是相当满意的；但对靠近两端的部位，却有较大的出入，往往需要加以处理。部位，却有较大的出入，往往需要加以处理。24)-(1 xvyuyvxuxyyx 25)-(1 *dxdytFTTs sD 23)-(1 2100010112ED 28)-(1 )1(22100011011)21)(1()1(ED21E10 xyyx4)-(1 000 xywwzxvvyzuuyxxzzy29)-(1 00 xvvyuuzz0u0vz
