1、专题专题 6 导数和三角函数交汇之解答题导数和三角函数交汇之解答题 第一讲关联最紧密，泰勒帮你办 若f在点 0 x可导，则有)()()()( 0000 xxxxxfxfxf即在点 0 x附近， 用一次多项式)()( 000 xxxfxf逼近函数)(xf时，其误差为( 0 xx )的高阶无穷小 量然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去 逼近，并要求误差为 n xx)( 0 ，其中n为多项式的次数为此，我们考察任一n次多项 式. ) 1 ()()()()( 0 2 02010 n nn xxaxxaxxaaxp 逐次求它在点 0 x处的各阶导数得到. 对于一般
2、函数f，设它在点 0 x存在直到n阶的导数由这些导数构造一个n次多项式 )2()( ! )( )( ! 2 )( )( ! 1 )( )()( 0 0 )( 2 0 0 0 0 0 n n n xx n xf xx xf xx xf xfxT 称为函数f在点 0 x处的泰勒泰勒(Taylor)多项式多项式，)(xTn的各项系数k k xf k ( ! )( 0 )( 1，2，n) 称为泰勒系数泰勒系数由上面对多项式系数的讨论，易知)(xf与其泰勒多项式)(xTn在点 0 x有相 同的函数值和相同的直至n阶导数值，即.210)()( 0 )( 0 )( nkxTxf k n k ， 若函数f在点
3、 0 x存在直至n阶导数，则有)()(xTxf n ，)( 0 n xx 即)3().)()( ! )( )( ! 2 )( )()()( 00 0 )( 2 0 0 000 nn n xxxx n xf xx xf xxxfxfxf )()()( 0 n n xxxTxf， 所以(3)式称为函数f在点 0 x处的泰勒公式泰勒公式，)()()(xTxfxR nn 称为泰勒公式的泰勒公式的 余项余项，形如)( 0 n xx 的余项称为佩亚诺佩亚诺(Peano)型余项型余项所以(3)式又称为带有佩亚诺型带有佩亚诺型 余项的泰勒公式余项的泰勒公式 以后用得较多的是泰勒公式(3)在0 0 x时的特殊形
4、式： ( ) 2 (0)(0) ( )(0)(0)()(4) 2! n nn ff f xffxxxo x n ； 它也称为(带有佩亚诺余项的带有佩亚诺余项的)麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)公式公式 由此可得近似公式： *( ) 2 (0)(0) ( )(5(0)(0) 2 ) ! n n ff f xffxxx n ； 由带有佩亚诺余项的泰勒公式（麦克劳林公式）可得如下常用函数的展开式，先看三角函数 的： 3521 21 sin( 1) 3!5!(21)! n nn xxx xxo x n 242 2 cos1( 1) 2!4!(2 )! n nn xxx xo x n 例 1.验证
5、下列函数的麦克劳林公式： （1） )( )!12( ) 1( ! 5! 3 sin 2 12 1 53 m m m x m xxx xx (2)() 1( 32 )1ln( 1 32 n n n x n xxx xx ； 例 2.写出 2 )( x exf 的麦克劳林公式 例 3.求xln在2x处的泰勒公式 秒杀秘籍：泰勒展开式的任意形式 我们能写出xln在 0 xx 处的泰勒公式为 )()( 1 ) 1()( 2 1 )( 1 lnln 00 0 12 0 2 0 0 0 0 nn n n xxxx xn xx x xx x xx ， 则xln在1x处的泰勒展开式为：) 1() 1( 1 )
6、 1() 1( 2 1 ) 1(ln 12nnn xx n xxx ， 同理)ln( 0 xx 在0x处的泰勒公式为： n n nn x nx x x x x x x x xxx)( ) 1( 32 ln)ln( 0 1 3 0 3 2 0 2 0 00 ； 例 4.（2014新课标）已知函数( )2 xx f xeex （）讨论( )f x的单调性； （）设( )(2 )4( )g xfxbf x，当0x 时，( )0g x ，求b的最大值； （）已知1.414221.4143，估计2ln的近似值（精确到0.001) 解：针对（） ， 22 4 )( )(2 )4( )(4 ()2 xxxx
7、 xg xfxbf xeexeb e ， 根据泰勒展开式，20 3 4 3 )(2 3 )(2 4 3 2 333 22 3 b x b xx xee x xee xxxx ， 这样，所有的端点效应，都是按照泰勒公式展开来命题的，如果有兴趣，不妨去研究一下； 我们研究一下第三问， 同样来自于泰勒展开式， 因为 1 1 3 ln2ln 1 1 3 ， 转化研究 1 ln 1 x x 的结构， 2345623456 ln(1)ln(1) 2345623456 xxxxxxxxxx xxxx 两式相减得 35 122 ln2 135 x xxx x 取 1 3 x 即得符合精度的近似值 35 121
8、21 ln220.693 33353 例 5.（2018新课标）已知函数 2 ( )(2) (1)2f xxax lnxx （1）若0a ，证明：当10x 时，( )0f x ；当0x 时，( )0f x ； （2）若0x 是( )f x的极大值点，求a 秒杀秘籍：泰勒展开式的极值界定法 对于任意一个能用泰勒公式在0x处展开的函数： )( ! )0( ! 2 )0( )0()0()( )( 2nn n xx n f x f xffxf 我们可以将其写成 n nx axaxaxaxaaxf 4 4 3 3 2 210 )(这种近似的形式， 综上， 一个无限函数在最高阶无穷小必须是在偶次项时出现，
9、 且系数的正负决定是极大 值或者是极小值，此方法叫做泰勒极值界定法。 例 6.（2019浙江五华校级月考）已知函数)cossin()(xbxaexf x ，若0x是)(xf的一 个极小值点，且2 22 ba，则)(a A.1B.0C.1D.1 因为)cossin()(xbxaexf x 在0x处的泰勒展开式为) 2 ( 2 1 ()( 2 2 x b bax x xxf）， 即0 4 ) 2 ()( 432 bx b x ba axxba，可知一次项系数必须为零，即0ba，又 2 22 ba，所以1a，又因为0x是)(xf的一个极小值点，所以二次项系数必须大于 零，即0a，所以1a，故答案选
10、C. 例 7.（2019乌鲁木齐二模）在平面直角坐标系xOy中，若直线yxm与曲线 sincos (yaxbx a，b，)mR相切于点(0,1)，则 ab m 的值为 秒杀秘籍：泰勒展开式的切线界定 若)(xf在点 0 xx 的切线为baxy，我们可以考虑用泰勒展开式来验证)(xf左右两 侧与切线关系，即切线是在)(xf的上方还是下方，为了方便理解，我们统一平移得到 )( 0 xxf和直线bxxay)( 0 ，构造函数bxxaxxfxg)()()( 00 ，将)(xg进行泰 勒展开，一定会出现x的一次项为零，常数项为零，剩余部分的最高阶无穷小的正负号决定 此函数)( 0 xxf是在切线bxxa
11、y)( 0 上方还是下方； 例 8.（2019吉安期末）函数( )2sin()(cos1) 4 f xxax 在 2 x 处的切线与直线 10xy 垂直，则该切线在y轴上的截距为 例 9.（2019大连二模）函数( )sin ( xx f xeeax xR ，e是自然对数的底数，0)a 存 在唯一的零点，则实数a的取值范围为() A(0，2B(0，1C(0， eD(0, ) 法二： (泰勒展开秒杀法)因为 x ey 在0x处的泰勒展开式为 62 1 32 xx x， x ey 在 0x处的泰勒展开式为 62 1 32 xx x，xysin在0x处的泰勒展开式为 6 3 x x， 故有 3 2
12、3 x xee xx ，根据题意) 6 ( 3 2 33 x xa x x，得2a，若2a易知 xx yee与 xaysin无交点，故20 a，故选A 我们接下来看看需要用到泰勒公式展开来放缩的高考题， 或者可以用泰勒公式展开来解释原 理的高考题. 例 10.（2019新课标）已知函数( )2sincosf xxxxx，( )fx为( )f x的导数 （1）证明：( )fx在区间(0, )存在唯一零点； （2）若0x，时，( )f xax ，求a的取值范围 注意：我们将此题进行泰勒展开，发现ax x axx x xxxf 22 2)( 33 ，由于 2 3 x 是一 个比ax低阶无穷小的量，故只能0a. 需要订购秒杀系列+仙姐微信 13038625569
