1、一、频率的定义与性质一、频率的定义与性质二、概率的定义与性质二、概率的定义与性质三、小结三、小结第三节第三节 频率与概率频率与概率1.频率的定义频率的定义 一、频率的定义与性质一、频率的定义与性质 定义定义 在相同条件下，在相同条件下，,次试验次试验进行了进行了nn在在这这次试验中次试验中,发发生生称称为为事事件件发发生生的的次次数数事事件件AnAA的频数的频数.,/发发生生的的频频率率称称为为事事件件比比值值AnnA记作记作).(Afn2.频率的性质频率的性质 设设A是随机试验是随机试验E的任一事件的任一事件,则则;1)(2 Sfn;1)(01 Afn,321是两两互不相容的事件是两两互不相
2、容的事件若若kAAA 则则)(21knAAAf)()()(21knnnAfAfAf 事件发生的频率大小表示其发生的频繁程度事件发生的频率大小表示其发生的频繁程度.事件大事件大,事件发生就越频繁事件发生就越频繁,这表示事件在一次试这表示事件在一次试验中发生的可能性就越大验中发生的可能性就越大.反之亦然反之亦然.试验试验序号序号5 nHnf1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4Hnf50 n22252125241827Hn500 n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54f0.5020.4980.
3、5120.4940.5240.5160.500.502处处波波动动较较大大在在21波动最小波动最小随随n的增大的增大,频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性处处波波动动较较小小在在21例例1 考虑考虑“抛硬币抛硬币”这个试验这个试验,将一枚硬币抛将一枚硬币抛掷掷5次次、50次次、500次次,各做各做10遍遍,得到数据如下得到数据如下:从上述数据可得从上述数据可得(1)频率有频率有随机波动性随机波动性,所得的所得的f即对于同样的即对于同样的n,不一定相同不一定相同;,较较小小时时抛抛硬硬币币次次数数 n(2)之之间间与与在在频频率率10)(Hfn随机波动随机波动,其幅度较大其幅度较大,增大增大但
4、随着但随着n)(Hfn频率频率呈现出稳定性呈现出稳定性.n即当即当总总是是在在逐逐渐渐增增大大时时)(Hfn,5.0 附近摆动附近摆动而逐渐稳定于而逐渐稳定于0.5.)(Hf的增大的增大n.21实验者实验者德德 摩根摩根蒲蒲 丰丰nHnf皮尔逊皮尔逊 K皮尔逊皮尔逊 K 204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005这种试验历史上有人做过这种试验历史上有人做过,得到下图数据得到下图数据:例例2 考察英语中特定字母出现的频率考察英语中特定字母出现的频率,当观当观,)(较较小小时时试试验验次次数数察察字字母母的的个个数数 n频
5、率有较大幅频率有较大幅度的随机波动度的随机波动.,增大时增大时但当但当n频率呈现出稳定性频率呈现出稳定性.字母字母 频率频率字母字母 频率频率字母字母 频率频率HRSNIOATE0573.00594.00634.00706.00707.00776.00788.00978.01268.0GYWMFCUDL0187.00202.00214.00244.00256.00268.00280.0398.00394.0ZQJXKVBP0006.00009.00010.00016.00060.00102.00156.00186.0验证频率稳定性的著名实验验证频率稳定性的著名实验高尔顿高尔顿(Galton(G
6、alton)板试验板试验大量试验证实大量试验证实,逐逐渐渐增增当当重重复复试试验验的的次次数数 n大时大时,)(呈呈现现出出稳稳定定性性频频率率Afn逐渐稳定于某个逐渐稳定于某个常数常数.这种这种“频率稳定性频率稳定性”即通常所说的统计规律性即通常所说的统计规律性.让试验重复大量次数让试验重复大量次数,),(Afn计算频率计算频率以它来表征以它来表征.的的发发生生可可能能性性大大小小是是合合适适事事件件A然而在实际中然而在实际中,不可能对每一事件都做大量的不可能对每一事件都做大量的试验试验,而且为了理论研究需要而且为了理论研究需要,我们从频率的稳定我们从频率的稳定性和频率的性质得到启发性和频率
7、的性质得到启发,给出如下表征事件发生给出如下表征事件发生大小的概率的定义大小的概率的定义.二、概率的定义与性质二、概率的定义与性质 1933年，年，苏联数学家苏联数学家柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫提出了概提出了概率论的公理化结构，率论的公理化结构，给出了概率的严格定义，给出了概率的严格定义，使概率论有了迅速的发展使概率论有了迅速的发展.柯尔莫哥洛夫资料柯尔莫哥洛夫资料1.概率的定义概率的定义 ,是随机试验是随机试验设设E定义定义.是是它它的的样样本本空空间间S,赋赋予予一一个个实实数数的的每每一一事事件件 AE.的概率的概率件件A:)(满满足足条条件件如如果果集集合合函函数数 P),(AP记为记为
8、;0)(,:1 AP有有对于每一个事件对于每一个事件非负性非负性;1)(,:2 SPS 有有对于必然事件对于必然事件规范性规范性是是两两两两互互不不相相容容的的设设可可列列可可加加性性,:321AA事件事件,2,1,jijiAAji即对于即对于有有对于对于称为事称为事)(21 AAP)1.3()()(21 APAP 2.概率的性质概率的性质 0)(i P性质性质证证),2,1(nAn令令nnA 1.,2,1,jijiAAji由概率可列可加性由概率可列可加性,)(P由概率的非负性知由概率的非负性知,0)(P.0)(P因此因此则则,1)(nP)(1nnAP 1)(nnAP)(ii 有限可加性有限可
9、加性性质性质是是两两两两若若nAAA,21互不相容事件互不相容事件,则有则有)(21nAAAP证证1 nA令令,jiAA即有即有.,2,1,ji由由(3.1)式得式得)(1kkAP )()()(21nAPAPAP 2 nA,ji 1)(kkAP)(21nAAAP 0)(1 nkkAP)()()(21nAPAPAP 证毕证毕.iii性质性质,是两个事件是两个事件设设BA,BA 若若则有则有)(ABP)(BP)3.3();()(APBP )4.3().(AP BA证证知知由由BA ,)(ABA且且再由概率的有限可加性再由概率的有限可加性(3.2),得得)(BP又由概率的非负性又由概率的非负性,知知
10、0)(ABP)(BP),(ABAB )()(ABPAP ).(AP 证毕证毕.iv性质性质,A对对于于任任一一事事件件)(AP证证,SA 因因由性质由性质iii得得)(AP.1)(SP.1)(v 逆逆事事件件的的概概率率性性质质,A对对于于任任一一事事件件有有)(AP).(1AP 证证,SAA 因因,AA且且由由(3.2)式式,得得1)()(APAP )(SP)(AAP)(vi 加法公式加法公式性质性质有有对对于于任任意意两两事事件件BA,)(BAP)5.3()()()(ABPBPAP 证证BA因因)(ABBA 且且),(ABBA ,BAB 故由故由(3.2)及及(3.3)得得)(BAP).(
11、)()(ABPBPAP )()(ABBPAP ABAB证毕证毕.(3.5)式可以推广到多个事件的情况式可以推广到多个事件的情况.例如例如,321为为任任意意三三个个事事件件设设AAA则有则有)(321AAAP)()()()(21321AAPAPAPAP 一般一般,21nAAAn个事件个事件对于任对于任可以用归可以用归纳法证得纳法证得)(21nAAAP)7.3().()1(21nnAAAP njijiAAP1)(niiAP1)(njikjiAAAP1)(1323123()()()P A AP A AP A A A例例1;)1(互斥互斥与与BA,2131,和和的概率分别为的概率分别为设事件设事件B
12、A求在下列三求在下列三.)(的值的值种情况下种情况下ABP;)2(BA .81)()3(ABP解解SAB),()()1(BPABP 由图示得由图示得)(ABP故故)(BP.21)(ABP(2)由图示得由图示得)()(APBP 3121 .61BAS(3),ABAAB由图示得)(BAP又又()P AAB)(ABP因而因而,ABA且且S SA AB BABAB),()()(ABPBPAP ),()(ABPAP )()(ABPBP 8121 .83三、小结三、小结 1.频率频率 ;1)(01 Afn;1)(2 Sfn,321是两两互不相容的事件是两两互不相容的事件若若kAAA 则则)(21knAAAf)()()(21knnnAfAfAf ;1)(,:2 SPS 有有对于必然事件对于必然事件规范性规范性是两两互不相容是两两互不相容设设可列可加性可列可加性,:321AA的事件的事件,2,1,jijiAAji即对于即对于有有 )()()(2121APAPAAP2.概率概率 ;0)(,:1 AP有有对于每一个事件对于每一个事件非负性非负性Born:25 Apr.1903 in Tambov,Tambov province,RussiaDied:20 Oct.1987 in Moscow,Russia柯尔莫哥洛夫资料柯尔莫哥洛夫资料Andrey NikolaevichKolmogorov返回返回
