1、2.2 离散型随机变量及其分布律二二、两点分布、两点分布三三、二项分布、二项分布四四、泊松分布、泊松分布五五、几何分布、几何分布一一、离散型随机变量的分布律定义 如果一个随机变量仅可能取得有限个或可列个数值，并且所有的数可按一定的顺序排列，则称该随机变量为离散型随机变量.,21nkxxxxX设离散型随机变量X其可能的取值为,3,2,1 ixXPpii称为离散型随机变量X的概率分布或概率函数，也称为分布列或分布律一、离散型随机变量的分布律Xip1x2xnx1p2pnp表格形式分布列的性质：,2,1,0)1(kpi1)2(iip用这两条性质用这两条性质判断一个函数判断一个函数是否是分布律是否是分布
2、律 12,nXxXxXx事件组两两互斥，是完备事件组。概率直方图另外还可用图形来表示分布律：线条图、概率直方图.0.20.40.60120.0750.3250.6线条图0.20.40.6012PXPX0.075 0.325 0.6 0 1 2 Xip例袋中有1个白球和4个黑球，每次不放回地从中任取一个球，直至取得白球为止，求取球次数的概率分布.解设X为取到白球时的取球次数)1(XP2.051 )2(XP2.04154 )3(XP2.0314354 )4(XP2.021324354 )5(XP2.0121324354 因此,所求的概率分布为XP1 2 3 4 50.2 0.2 0.2 0.2 0
3、.2解解:依据分布律的性质依据分布律的性质()1kP XkP(X=k)0,01!kkccek c0,从中解得从中解得即即ce例例设随机变量设随机变量X的分布律为：的分布律为：(),!kP Xkckk=0,1,2,试确定常数试确定常数c.00!kkek定义若一个随机变量X只有两个可能的取值,其分布为),10(p且,12pxXP ,1pxXP 特别地,点分布,即参数为p的两则称X服从21,xx处p的两点分布.参数为若X服从0,121 xx处Xip01p 1p则称X服从参数为p的10 分布.二、两点分布 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否
4、下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.说明例200 件产品中,有196件是正品,则 取到次品取到次品,0 0取到正品取到正品,1 1X XX服从参数为 0.98 的两点分布.于是,4件是次品,今从中随机地抽取一件,若规定1 XP200196,98.0 0 XP2004.02.0 复习：伯努利模型如果一个试验在给定的条件下独立重复n次,且满足:(1)每次试验只有两个可能的结果:AA和和且10 p则称这样的试验为n重伯努利(Bernoulli)试验(2)每次试验中事件 发生的概率相等,pAPA)(定理(伯努利定理)设在一次试验中，事件A发生的概率为),10(pp则在n重贝努利试验中，事件A恰好发生
5、k次的概率为,)1(knkknppCkXP ).,1,0(nk 三、二项分布定义 若随机变量X的所有可能取值为0,1,2,n,其概率分布为 nkqpCkXPknkkn,2,1,0,),(,1,10pnBXpnXNnpqp记记为为项项分分布布为为参参数数的的二二服服从从以以则则称称其其中中 性质0 kXP(1)1)(00 nnkknkknnkqpqpCkXP(2)特别地，当n=1时即 PX=0=1-p,PX=1=p(0-1)分布二项分布的图形二项分布的图形 二项分布中最可能出现二项分布中最可能出现次数次数可取的一切值若XjjXPkXP),()(则称则称 为最可能出现的为最可能出现的次数次数k()
6、,0,1,kkn kknpP XkC p qkn记(1(11)nppkn 11P XP XPkkPkXkX111kkkkknnnnkC p qCpq 1()1npkqk111nnnkkkkkknCpqC p q()()11knpkqmax(1)(1)(1(1,)1npnpnpnkp和是当其它整数时20 10.24.24上一例中：kpkkq例例 一张考卷上有一张考卷上有5 5道选择题，每道题列出道选择题，每道题列出4 4个可能个可能答案，其中只有一个答案是答案，其中只有一个答案是正确正确某某学生学生靠猜测至少能答对靠猜测至少能答对4 4道题的概率是多少？道题的概率是多少？的的题题数数：该该学学生
7、生靠靠猜猜测测能能答答对对设设X 41,5 BX 4 XP 道题道题至少能答对至少能答对4P 5 XP5445414341 C641 4 XP解 则解解：将每次射击看成一次试验：将每次射击看成一次试验,设击中的次数设击中的次数为为X,则则XB(400,0.02),399400)98.0)(02.0(400)98.0(1 )400,.,2,1,0()98.0()02.0(400400 kCkXPkkk1012 XPXPXP9972.0 某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，求至少击中两次的概率。所求概率为泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射
8、性物质放出的 粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数X服从泊松分布.电话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数地震火山爆发特大洪水 在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.0)2(kkXP是是常常数数其其中中0,.2,1,0,!kkekXPk随机变量X所有可能取值为0,1,2,取各个值的概率称X服从参数为的泊松分布,记为XP().(1)P X=k0.0!kkke 1!0 eekekk四、泊松(Poisson)分布性质例
9、一输电网一年中意外输电中断的次数服从参数为6的Poisson分布，问一年中不多于两次意外断电的概率.解设一年中的意外断电次数为X)6(PX则则所以,一年中不多于两次断电的概率为2 XP0 XP 1 XP2 XP60!06 e61!16 e62!26 e=0.06197查表(累积概率)二项分布的泊松逼近对二项分布),(pnB当试验次数n很大时，计算其概率很麻烦.例如，要计算n=5000 50006500065000kkkCkXP,1000999100015000 kk 5 XP泊松定理在n重伯努利实验中，事件A在每次试验中发生的概率为,np若当 n时，0(nnp为常数),则有,!)1(lim e
10、kppCkknnknknn,2,1,0 k证明证明:lim(1)kknknnnnCpp(1)(2)(1)lim(1)!kn knnnn nnnkknn nnnp记1lim!nk1211 111knnnkn(1)nnn knnnn1!kke例 一家商店采用科学管理,由该商店过去的销售记录知道,某种商品每月的销售数可以用参数 的泊松分布来描述,为了以 95%以上的把握保证不脱销,问商店在月底至少应进该种商品多少件?5 解 设该商品每月的销售数为,XX已知服从参数5 的泊松分布.设商店在月底应进该种商品m件,求满足95.0 mXP的最小的,m即95.0!505 mkkke查泊松分布表,得,96817
11、2.0!5905 kkke931906.0!5805 kkke于是得9 m件.(1)()!pmpmee例例 设一只昆虫所生虫卵数为随机变量 X,已知X P()，且每个虫卵发育成幼虫的概率为 p。设各个虫卵是否能发育成幼虫是相互独立的，求一昆虫所生的虫卵发育成幼虫数 Y 的概率分布。解解一只昆虫X 个虫卵Y 个幼虫泊松分布X重伯努里试验已知0,1,()2,!kXkkkPe()YmPXk(1),kkmmmC pp0,1,2,mk对对k用全概率公式得：用全概率公式得：()P Ym()P Xk()YmPXkkm(!1)kkkmkmmmCekpp(1)!)!()mmmkkmkpmmekp()YPp()!
12、pmepm0!kkek 保险公司为了估计企业的利润，需要计算投保人保险公司为了估计企业的利润，需要计算投保人在一年内死亡若干人的概率。设某保险公司的某人寿保险在一年内死亡若干人的概率。设某保险公司的某人寿保险险种有险种有1000人投保人投保,每个人一年内死亡的概率为每个人一年内死亡的概率为0.005个，个，试求在未来一年中在这些投保人中死亡人数不超过试求在未来一年中在这些投保人中死亡人数不超过10人的人的概率概率对每个人而言，在未来一年是否死亡相当于做一次伯努利试验，1000人就是做1000重伯努利试验，因此 XB(1000,0.005)，解)5(PX 9862.0!5101005 kkkeX
13、P由泊松定理考虑考虑可列重可列重伯努利试验伯努利试验，事件，事件A发生称为发生称为“成功成功”，AX “事件 首次成功的等记：待时间”A AAA k-1k1 kP Xkqp则1,2,k 1qp 其中称随机变量称随机变量 X 服从服从参数为参数为 p 的几何分布的几何分布。且记且记 为为().XG p五、几何分布定理定理 几何分布的无记忆性几何分布的无记忆性 设设 随机变量随机变量X 服从参数为服从参数为 p 的几何分布，则对任何正的几何分布，则对任何正整数整数 m、n，有，有 P(X m+n|X m)=P(X n)。证明证明 随机变量随机变量 X 服从参数为服从参数为 p 的几何分布：的几何分
14、布：P(X=k)=pqk 1，k=1，2，（0 p 1，q=1 p）对任何正整数对任何正整数 m、n，有，有 mq()P Xm1()k mP Xk11kk mpq11i k mm iipq 11miipqq11mpqq1mpqp(,)()XXmnPmXmP反之，具有无记忆性的离散分布一定是几何分布反之，具有无记忆性的离散分布一定是几何分布P29充分性证明充分性证明()nP X()XmmPn Xm nnmqqq交交()()XmnXmPP例例在Bernoulli试验中,成功的概率为p,求第k次试验恰好成功第r次的概率解解:第k次试验恰好成功第r次,即前k-1次有r-1次成功由二项分布,概率为)1()1(111)1(rkrrkppC前k-1 次成功多少次与第k次是否成功相互独立故第k次试验恰好成功第r次的概率为11(1)(1)1)(1)rrkrkf(k;r,pCppprkrrkppC)1(11
