1、5/15/20231第十二章第十二章 随机过程及其统计描述随机过程及其统计描述随时间演变的随机现象随时间演变的随机现象由一族（无限多个）随机变量来描述由一族（无限多个）随机变量来描述2考虑正弦信号 X(t)=cos(wt+Q),t(-,),其中w是正常数,Q是在(0,2p)上服从均匀分布的随机变量.对(0,2p)内任意一个随机数qi,相应的正弦信号记为：t 0 x(t)x1(t),q1=0 x2(t),q2=3p/2 xi(t)=cos(wt+qi)，qi(0,2p).1 随机过程的概念随机过程的概念u对于任意一个固定的时刻 t=t1,X(t1)=cos(wt1+Q)是一个定义在 Q=qi(0
2、,2p)上的随机变量随机变量.u对于所有可能的参数参数t的取值 tT，这里T=(-,)，可以得到 一族（无限多个）随机变量的集合X(t),tT,称为一个随机过程随机过程.u对于给定的qi,称 xi(t1)=cos(wt1+qi)为t1时刻随机过程的一个状态状态.u对于一切qi(0,2p)以及 tT,X(t)所有可能的取值的全体称为随机过程 的状态空间状态空间.在上例中，X(t)的状态空间为-1，1u对于给定的qi，称xi(t)=cos(wt+qi)为随机过程的一个样本函数一个样本函数.随机相位正弦波随机相位正弦波.t13热噪声电压热噪声电压:电子元件或器件由于内部微观粒子(如电子)的随机热骚动
3、所引起的端电压电压电压-时间函数时间函数:对元件两端的热噪声电压进行多次长期测量,记录每次测量结果记为vk(t),t0,k=1,2,3.,如下图tv1(t)tvk(t)tjtv2(t)V(t),t0是一个随机过程；随机过程；对每一个tjT,V(tj)是一随机变量；随机变量；v1(tj)、v2(tj)、.称为tj时刻随机过程V(t)的状态；状态；对随机过程的某一次测量vk(t)，称为随机过程的一次实现或一个样本样本函数函数；4例1 抛掷一枚硬币试验,样本空间是S=H,T,现藉此定义cos,()(,),tHX tttTp=-当出现当出现tt1t2Ox(t)x=tx=cos ptP(H)=P(T)=
4、1/2.u对任意给定的t,X(t)是一定义在S上的随机变量;uX(t),t(-,+)是一族随机变量,即它是随机过程.u一族样本函数：cospt,t.若出现H：x1(t)=cospt;若出现T：x2(t)=t.u 状态空间：(-,+).5其它随机过程的例子：其它随机过程的例子：例例2 在测量运动目标的距离时存在随机误差,若以e(t)表示在时刻t的测量误差,则它是一个随机变量.当目标随时间t按一定规律运动时,测量误差e(t)也随时间t而变化,换句话说,e(t)是依赖于时间t的一族随机变量,亦即e(t),t0是一随机过程.且它们的状态空间是(-,+).例例3 设某城市的120急救电话台迟早会接到用户
5、的呼叫,以X(t)表示时间间隔(0,t内接到的呼叫次数,它是一个随机变量,且对于不同的t0,X(t)是不同的随机变量.于是,X(t),t0是一随机过程.且它的状态空间是0,1,2,.例例4 考虑抛掷一颗骰子的试验.(i)设Xn是第n次(n1)抛掷的点数,对于n=1,2,.的不同值,Xn是不同的随机变量,因而Xn,n1构成一随机过程,称为伯努利过程伯努利过程或伯努利随机序列伯努利随机序列.(ii)设Xn是前n次抛掷中出现的最大点数,Xn,n1也是一随机过程.它们的状态空间都是1,2,3,4,5,6.6随机过程分类：随机过程分类：依其在任一时刻的状态是连续型或离散型随机变量而分为连续型随机过程连续
6、型随机过程:随机相位正弦波，热噪声电压,例2离散型随机过程离散型随机过程:例1,例3和例4依其时间（参数）是连续或离散变量而分为连续参数随机过程连续参数随机过程:当时间集T是有限或无限区间时,称X(t),tT为连续参数随机过程(以下如无特别指明,“随机过程”总是指连续参数而言的).离散参数随机过程离散参数随机过程或随机序列随机序列:T是离散集合,例如=0,1,2,.,如例4.72 随机过程的统计描述随机过程的统计描述(一一)随机过程的分布函数族随机过程的分布函数族给定随机过程X(t),tT，其中，对不同的tT,随机变量X(t)的分布函数一般与t有关。给定t1T，称 FX(x,t1)=PX(t1
7、)x,xR 为随机过程X(t),tT的一维分布函数一维分布函数 对所有 tT,称FX(x,t),tT 为该随机过程的一维分布函数族一维分布函数族对于固定的n,称FX(x1,x2,.,xn;t1,t2,.,tn),tiT为随机过程X(t),tT的n维分布函数族维分布函数族当n充分大时,n维分布函数族能够近似地描述随机过程的统计特性.n越大,则n维分布函数族描述随机过程的特性也越趋完善.科尔莫戈罗夫定律科尔莫戈罗夫定律:有限维分布函数族有限维分布函数族,即即FX(x1,x2,.,xn,n=1,2,.,t1,t2,.,tn),ti T完全地确定了随机过程的统计特性完全地确定了随机过程的统计特性.8(
8、二二)随机过程的数字特征随机过程的数字特征给定随机过程X(t),tT,对于一特定的tT,X(t)是一随机变量,它的均值一般与t有关,记为 m mX(t)=EX(t)（2.1）-均值函数均值函数注意：mX(t)是随机过程的所有样本函数所有样本函数在时刻t的函数值的平均值,通常称这种平均为集平均集平均或统计平均统计平均.把随机变量X(t)的二阶原点矩和二阶中心矩分别记作22()()XtE Xt=分别称为均方值函数均方值函数和方差函数方差函数.22()()Var()()()XXXtDtX tEX ttm=-标准差函数：标准差函数：它表示随机过程X(t)在时刻t对于均值mX(t)的平均偏离程度.()X
9、t（2.2）（2.3）9tX(t)m mX(t)m mX(t)-X(t)m mX(t)X(t)x1(t)x2(t)xi(t)均值函数mX(t)表示了随机过程X(t)在各个时刻的摆动中心.标准差函数 表示随机过程X(t)在时刻t对于均值mX(t)的平均偏离程度.()Xt10设任意t1,t2T,随机变量X(t1)和X(t2)的二阶原点混合矩 RXX(t1,t2)=EX(t1)X(t2)称为随机过程X(t),tT的自相关函数自相关函数,简称相关函数相关函数.RXX(t1,t2)也简记为RX(t1,t2).2(,)().XXRt tt=X(t1)和X(t2)的二阶混合中心矩 CXX(t1,t2)=Co
10、vX(t1),X(t2)=EX(t1)-mX(t1)X(t2)-mX(t2)称为随机过程X(t),tT的自协方差函数自协方差函数,简称协方差函数协方差函数.CXX(t1,t2)也常简记为CX(t1,t2).22()(,)(,)()XXXXtCt tRt ttm=-由上式可得 CX(t1,t2)=RX(t1,t2)-mX(t1)mX(t2).随机变量的各个数字特征中最重要的是均值函数和自相关函数.当t1=t2=t时，有当t1=t2=t时,有11二阶矩过程的相关函数总存在.事实上,由于EX2(t1),EX2(t2)存在,根据柯西-施瓦兹不等式（第四章习题37题，P117）有 EX(t1)X(t2)
11、2 E X2(t1)EX2(t2),t1,t2T.即知RX(t1,t2)=EX(t1)X(t2)存在正态过程正态过程：如果随机过程的每一个有限维分布都是正态分布,亦即对任意整数n1及任意t1,t2,.,tnT,(X(t1),X(t2),.,X(tn)服从n维正态分布，称它为正态过程。由第四章的结论知,正态过程的全部统计特性完全由它的均值函数和自协方差函数(或自相关函数)所确定.正态过程是一个二阶矩过程二阶矩过程：二阶矩过程：随机过程X(t),tT,如果对每一个tT,二阶矩EX2(t)都存在,则称它为二阶矩过程12例例1 设随机变量AN(0,1),BU(0,2),A、B相互独立,求随机过程X(t
12、)=At+B,tT=(-,)的均值函数mX(t)和自相关函数RX(t1,t2).解：由题意 E(A)=0,E(A2)=1,E(B)=1,E(B2)=4/3mX(t)=EX(t)=EAt+B=tEA+EB=1 RX(t1,t2)=EX(t1)X(t2)=E(At1+B)(At2+B)=t1t2EA2+(t1+t2)EAB+EB2 =t1t2+4/3,t1,t2T.13例例2 对随机相位正弦波 X(t)=acos(wt+Q),t(-,),其中a,w是正常数,Q是在(0,2p)上服从均匀分布，求其均值函数、方差函数和自相关函数.1,02,()20,.fqpqp=其它20()()cos()1cos()
13、d0,2XtE X tE atatpmwwqqp=Q=于是,由定义解 Q的概率密度为自相关函数2121212222120(,)()()cos()cos()1cos()cos()dcos,22XRt tE X t X tE attaattpwwwqwqqwp=QQ=222()(,)()(,).2XXXXatRt ttRt tm=-=式中=t2-t1.特别,令t1=t2=t,即得方差函数为14例例3 设X(t)=Acoswt+Bsinwt,tT=(-,+),其中A,B是相互独立,且都服从正态分布N(0,2)的随机变量,w是实常数.试证明X(t)是正态过程,并求它的均值函数和自相关函数.解 由于A,
14、B是相互独立的正态变量,对任意一组实数t1,t2,.,tnT,X(ti)=Acoswti+Bsinwti,i=1,2,.,n都是A,B的线性组合,因此X(ti)仍然是正态变量。故(X(t1),X(t2),.,X(tn)是n维正态变量.因为n,ti是任意的,因此X(t)是正态过程.另外，由于 E(A)=E(B)=E(AB)=0,E(A2)=E(B2)=2,由此可算得X(t)的均值函数为:mX(t)=E(Acoswt+Bsinwt)=0,从而自协方差函数等于自相关函数：CX(t1,t2)=RX(t1,t2)=E(Acoswt1+Bsinwt1)(Acoswt2+Bsinwt2)=2(coswt1c
15、oswt2+sinwt1sinwt2)=2cosw(t2-t1).15二维随机过程：二维随机过程：(X(t),Y(t),tT其中X(t),Y(t)是依赖于同一参数t的随机过程,对于不同的tT,(X(t),Y(t)是不同的二维随机变量n+m维联合分布函数：维联合分布函数：给定二维随机过程(X(t),Y(t),tT,t1,t2,.,tn;t1,t2,.,tm是T中任意两组实数,称n+m维随机变量 (X(t1),X(t2),.,X(tn);Y(t1),Y(t2),.Y(tm)的分布函数 F(x1,x2,.,xn;t1,t2,.,tn:y1,y2,.,ym;t1,t2,.,tm),xi,yjR,i=1
16、,2,.,n,j=1,2,.,m为这个二维随机过程的n+m维分布函数,或随机过程X(t)与Y(t)的n+m维联合分布函数(三三)二维随机过程的分布函数和数字特征二维随机过程的分布函数和数字特征 16 随机过程随机过程X(t)和和Y(t)是是相互独立相互独立的的 CXY(t1,t2)=EX(t1)-mX(t1)Y(t2)-mY(t2)=RXY(t1,t2)-mX(t1)mY(t2),t1,t2TX(t)和Y(t)的二阶混合原点矩,记作 RXY(t1,t2)=EX(t1)Y(t2),t1,t2T 若对任意的正整数n、m,任意的数组t1,t2,.,tnT,t1,t2,.,tmT,n维随机变量(X(t
17、1),X(t2),.,X(tn)与m维随机变量Y(t1),Y(t2),.Y(tm)相互独立，则称随机过程X(t)和Y(t)是相互独立的 随机过程随机过程X(t)和和Y(t)的的互相关函数互相关函数 随机过程随机过程X(t)和和Y(t)的的互协方差函数互协方差函数 随机过程随机过程X(t)和和Y(t)是不相关的是不相关的对任意t1,t2T，恒有 CXY(t1,t2)=0 17多个随机过程之和的数字特征多个随机过程之和的数字特征对三个随机过程X(t),Y(t)和Z(t)，令 W(t)=X(t)+Y(t)+Z(t),显然,均值函数均值函数 mW(t)=mX(t)+mY(t)+mZ(t).而W(t)的
18、自相关函数自相关函数可以根据均值运算规则和相关函数的定义得到:RWW(t1,t2)=EW(t1)W(t2)=RXX(t1,t2)+RXY(t1,t2)+RXZ(t1,t2)+RYX(t1,t2)+RYY(t1,t2)+RYZ(t1,t2)+RZX(t1,t2)+RZY(t1,t2)+RZZ(t1,t2).几个随机过程之和的自相关函数可以表示为各个随机过程的自相关函数以及各对随机过程的互相关函数之和.若X(t),Y(t)和Z(t)两两不相关,且各自的均值函数都为零,则各个互相关函数均为零,W(t)的自相关函数等于各个过程的自相关函数之和,即 RWW(t1,t2)=RXX(t1,t2)+RYY(t
19、1,t2)+RZZ(t1,t2)令t1=t2=t,由上式可得W(t)的方差函数(此处即为均方值函数)为22222()()()()().WWXYZttttt=183 泊松过程及维纳过程泊松过程及维纳过程独立增量过程独立增量过程给定二阶矩过程X(t),t0,称随机变量X(t)-X(s),0st为随机过程在区间(s,t上的增量.如果对任意选定的正整数n和任意选定的 0t0t1t2.tn,n个增量 X(t1)-X(t0),X(t2)-X(t1),.,X(tn)-X(tn-1)相互独立,则称X(t),t0为独立增量过程独立增量过程.若对任意的实数h和0s+h0的位移的横坐标，且设W(0)=0。由于微粒的
20、运动是受到大量随机的、相互独立的分子碰撞的结果，于是:(1)粒子在时段(s,t上的位移可看作是许多微小位移的 和，根据中心极限定理，假设位移W(t)-W(s)服从正态分布是合理的。(2)由于粒子的运动完全由液体分子不规则碰撞而引起的，这样，在不相重叠的时间间隔内，碰撞的次数、大小和方向可假设相互独立，即W(t)具有独立增量，同时W(t)的增量具有平稳性。29 2(),0 1.2.00,0 3.(0)0W t ttsW tW sNtsW-=给定二阶矩过程，如果它满足：具有独立增量对任意，增量 且 称此过程为定义：维纳过程30维纳过程的性质：1.维纳过程是齐次的独立增量过程2.()维纳过程是正态过
21、程，因此其分布完全由它的均值 函数和自协方差函数 即自相关函数 所确定 223.:()0 (),min,min,0WWWWWtE W tDtD W ttCs tRs tDs ts ts tm=维纳过程的数字特征312(),0()(1)()W t tX tW tW t=例：设是一个维纳过程，求+-的均值函数和相关函数。()()(1)()0XtE X tE W tE W tm=解：+-(,)(1)()(1)()R s tE W sW sW tW t=-+(1)(1)()(1)(1)()()()E W sW tE W s W tE W sW tE W s W t=-+(min(1,1)(min(,1)(min(1,)(min(,)DstDs tDstDs t=-22222(min(1,1)(1),(min(,1),(1),1(min(,),(min(1,),1stDstsDs tsstsDs ts Dsttts=-=-设，则20,1(,)(1),1tsR s tts ts-=-于是，20,1(,)(1),1sttsR s ttsts-=-类似讨论的情况，合起来有点内容点内容重重章章本本本章作业：本章作业：P317 3、6、8随机过程的概念随机过程的概念随机过程的数字特征随机过程的数字特征
