1、4.1 4.1 一维特征函数的定义及其性质一维特征函数的定义及其性质4.2 4.2 多维随机变量的特征函数多维随机变量的特征函数4.3 4.3 母函数母函数一、定义及例一、定义及例 二、性质二、性质 三、特征函数与矩的关系三、特征函数与矩的关系 四、反演公式及惟一性定理四、反演公式及惟一性定理 随机变量的数字特征只反映随机变量取值某些方面的特征，随机变量的数字特征只反映随机变量取值某些方面的特征，一般并不能通过它来确定随机变量的分布函数。引进一个工具，一般并不能通过它来确定随机变量的分布函数。引进一个工具，既能与分布函数一一对应，但比分布函数具有更好的分析性质。既能与分布函数一一对应，但比分布
2、函数具有更好的分析性质。1,12iii虚数单位jj,j 211Zabjjtecostj sint欧拉公式欧拉公式=Zabjr(cosi sin)2.复随机变量的数学期望复随机变量的数学期望 若复随机变量为若复随机变量为 jYXZ 其中其中X,Y 均为实随机变量均为实随机变量,则则Z 的数学期望定义为的数学期望定义为)()()(YjEXEZE )sin()cos(tXjtXejtX )()(jtXeEt )()sin()()(cosxdFtxjxdFtx )(xdFejtX 一、定义及例一、定义及例 定义定义4.1.1 设设X 是定义在概率空间是定义在概率空间 上的随机变量上的随机变量,它它),
3、(P F F 的分布函数为的分布函数为 ,称称 的数学期望的数学期望 为为X 的特征函数的特征函数.)(xF)(jtXeEjtXe有时也称为分布函数有时也称为分布函数 的特征函数的特征函数,其中其中)(xF.,1Rtj 记记X 的特征函数为的特征函数为 ,在不会引起混乱的情况下简写为在不会引起混乱的情况下简写为)(tX).(t 1.特征函数的定义特征函数的定义 一、定义及例一、定义及例 定义定义4.1.1 设设X 是定义在概率空间是定义在概率空间 上的随机变量上的随机变量,它它),(P F F 的分布函数为的分布函数为 ,称称 的数学期望的数学期望 为为X 的特征函数的特征函数.)(xF)(j
4、tXeEjtXe有时也称为分布函数有时也称为分布函数 的特征函数的特征函数,其中其中)(xF.,1Rtj 记记X 的特征函数为的特征函数为 ,在不会引起混乱的情况下简写为在不会引起混乱的情况下简写为)(tX).(t 1.特征函数的定义特征函数的定义 tXjtXejtXsincos )()(jtXeEt +E(cos Xt)jE(sin Xt)3.特征函数的计算特征函数的计算)sin()cos(tXjtXejtX )()(jtXeEt )()(sin)()(cosxdFtxjxdFtx )(xdFejtX (1)离散型离散型)()(jtXeEt kkjtxpek(2)连续型连续型)()(jtXe
5、Et dxxfejtX)(X的特征函数就是的特征函数就是x的函数的期望，此时的函数是的函数的期望，此时的函数是 由由X构造出来的复值随机变量的期望。构造出来的复值随机变量的期望。例例4.1.1 设随机变量设随机变量X 服从退化分布服从退化分布,即即1 cXP求求X 的特征函数的特征函数.kjtxjtXkk(t)E(e)ep kjtxkkjtC(t)epe 1jtCe 例例4.1.2 设随机变量设随机变量X 服从参数为服从参数为p 的的0-1分布分布(两点分布两点分布),求其求其特征函数特征函数.kjtxjtXkk(t)E(e)ep +-+-jtjt(t)ep ep 101+q qjte p 例
6、例4.1.3 设随机变量设随机变量X 服从参数为服从参数为n,p 的二项分布的二项分布,求其特征函数求其特征函数.kjtxjtXkk(t)E(e)ep -nn kkkitknk(t)C ppe 01 -nn kkitknkC(p e)p 01+q q)jtn(pe 例例4.1.4 设随机变量设随机变量X 服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布,求其特征函数求其特征函数.kjtxjtXkk(t)E(e)ep k!k!kitkke(t)e 0k!k!itkkee 0（）iteee -itee 1（）例例4.1.5 设随机变量设随机变量X 服从服从 的均匀分布的均匀分布,求其特征函数求其特征函数
7、.,aa)()(jtXeEt dxxfejtX)(f(x),axa,a,120其其他他(t)a aajtxedxa 12=a ax ajtxxaejt 12=a asinatt1)0(t 当当t=0时，时，()0=1=1e f(x)dx 0例例4.1.6 设随机变量设随机变量X 服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布,求其特征函数求其特征函数.jtXjtX(t)E(e)ef(x)dx jtXx(t)eedx 0 xcostxi sintx)edx 0（+xxcostxedxisintxedx00+titt 22222二、特征函数的性质二、特征函数的性质 ;1)0(|)(|)1(t.)()(
8、)2(tt 性质性质4.1.1 随机变量随机变量X 的特征函数满足的特征函数满足:性质性质4.1.2 设设X 的特征函数为的特征函数为 ,则则 的特征函数为的特征函数为 )(tX baXY )()(atetXjbtY itYY(t)Ee itEe（aX+b)aX+b)itaXitaXitbitbXEeeeat 性质性质4.1.3 随机变量随机变量X 的特征函数的特征函数 在在R上一致连续上一致连续.)(t 性质性质4.1.4 随机变量随机变量X 的特征函数的特征函数 是非负定的是非负定的,即对任意正即对任意正 )(t 整数整数n,任意复数任意复数 ,以及以及 有有 nzzz,21,2,1,nr
9、Rtr 0)(1,nsrsrsrzztt 波赫纳波赫纳-辛钦定理辛钦定理 若函数若函数 连续连续,非负定且非负定且 ,)(),(Rtt 1)0(则则 必为特征函数必为特征函数.)(t 三、特征函数与矩的关系三、特征函数与矩的关系 定理定理4.1.1 设随机变量设随机变量X 的的n 阶矩存在阶矩存在,则则X 的特征函数的特征函数 的的k)(t)()(tk 阶导数阶导数 存在存在,且且)0()()(kkkjXE nk 四、反演公式及唯一性定理四、反演公式及唯一性定理 定理定理4.1.2(反演公式反演公式)设随机变量设随机变量X 的分岂有此理函数和特征函的分岂有此理函数和特征函 TTjtxjtxTd
10、ttjteexFxF)(21lim)()(2112 数分别为数分别为 和和 ,则对于则对于 的任意连续点的任意连续点 和和 ,)(xF)(xF)(t 1x)(212xxx 有有 若记若记,2,21221xxhxxa (4.1.8)则则(4.1.8)等价于等价于 TTjtaTdttetthhaFhaF)(sin1lim)()(四、反演公式及唯一性定理四、反演公式及唯一性定理 TTjtxjtxTdtjteexFxF2121lim)()(12(4.1.8)()(lim)(11xFxFxFx 21xXxP TTjtxjtxTxdttjtee)(21limlim11 连续点连续点:不连续点不连续点:2)
11、()0()(xFxFxF )()(xFt 反演公式反演公式 推论推论1(惟一性定理惟一性定理)分布函数分布函数 及及 恒等的充分必要条恒等的充分必要条)(1xF)(2xF件为它们的特征函数件为它们的特征函数 及及 恒等恒等.)(1t)(2t 推论推论2 设随机变量设随机变量X 的特征函数的特征函数 于于R 上绝对可积上绝对可积,则则X 为具为具有密度函数有密度函数 的连续型随机变量的连续型随机变量,且且)(t)(xf dttexfjtx)(21)(例例 设随机变量设随机变量X 的特征函数的特征函数 221)(tet 求随机变量求随机变量X 的密度函数的密度函数.定理定理4.1.3 设设X 为取
12、整数值及为取整数值及0的随机变量的随机变量,其概率函数为其概率函数为 kpkXP ,3,2,1,0,1,2,3 k其特征函数为其特征函数为 kjtkkept)(则则 dttepjtkk)(21例例 设设X为只取为只取0到到n的整数的离散型随机变量的整数的离散型随机变量,且其特征函数为且其特征函数为 njtpeqt)()(求随机变量求随机变量X 的分布律的分布律.一、定义及例一、定义及例 二、二维随机变量特征函数的性质二、二维随机变量特征函数的性质 三、相互独立随机变量和的特征函数三、相互独立随机变量和的特征函数 一、定义及例一、定义及例 定义定义4.2.1 设设(X,Y)是一个二维随机变量是一
13、个二维随机变量,其分布函数为其分布函数为),(yxF21,tt为任意实数为任意实数,记记),()(2121YtXtjeEtt ),()(21yxdFeytxtj称称 为为 的特征函数的特征函数.),(21tt),(YX连续型连续型:),()(2121YtXtjeEtt dxdyyxfeytxtj),()(21一、定义及例一、定义及例 定义定义4.2.1 设设(X,Y)是一个二维随机变量是一个二维随机变量,其分布函数为其分布函数为),(yxF21,tt为任意实数为任意实数,记记),()(2121YtXtjeEtt ),()(21yxdFeytxtj称称 为为 的特征函数的特征函数.),(21tt
14、),(YX离散型离散型:),()(2121YtXtjeEtt rsstrtjsrpe),()(21其中其中.,),(sYrXPsrp 例例4.2.1 设二维随机变量设二维随机变量 的分布列为的分布列为 311,1 YXP311,1 YXP611,1 YXP611,1 YXP求二维随机变量的特征函数求二维随机变量的特征函数),(YX),(YX例例4.2.2 设二维随机变量设二维随机变量求二维随机变量的特征函数求二维随机变量的特征函数),(YX).;,;,(),(2211rmmNYX )2(21)(212222212121212211),(ttrttmtmtjeett n 维随机变量的特征函数维随
15、机变量的特征函数:定义定义 设有设有n 维随机变量维随机变量),()(212211nnXtXtXtjneEttt ),(21nXXX则称则称 为为n 维随机变量维随机变量 的特征函数的特征函数.),(21nXXX二、二维随机变量特征函数的性质二、二维随机变量特征函数的性质 性质性质4.2.1设随机变量的特征函数为设随机变量的特征函数为，则有，则有),(YX),(21tt(1)且对任意且对任意 ,1)0,0(,21Rtt.1)0,0(|),(|21 tt(2);),(),(2121tttt (3)于实平面上一致连续；于实平面上一致连续；),(21tt(4);()0,(111tt ).(),0(2
16、22tt 其中其中 分别为分别为 及及 的特征函数的特征函数)(),(2211tt 性质性质4.2.2 设设 皆为常数皆为常数,为二维随机变量为二维随机变量,则则2121,bbaa),(YX随机变量随机变量 的特征函数为的特征函数为),(2211bYabXa ).,(),(2211)(212211tataettbtbtj 例例4.2.4 设二维随机变量设二维随机变量).;1,0;1,0(),(rNYX求二维随机变量的特征函数求二维随机变量的特征函数),(YX性质性质4.2.3 两个二元分布函数恒相等的充分必要条件是它们的两个二元分布函数恒相等的充分必要条件是它们的特征函数恒等特征函数恒等.性质
17、性质4.2.4 设随机变量设随机变量 的特征函数为的特征函数为 为任为任 ),(YXbaatt,),(2121 意常数意常数,则则 的特征函数为的特征函数为 bYaXaZ 21).,()(21tataetjtbZ 例例4.2.5 设二维随机变量设二维随机变量求求 分布分布.2211 mYmXZ ).;,;,(),(2211rmmNYX )2(21)(212222212121212211),(ttrttmtmtjeett cbYaXZ 定理定理4.2.1 随机变量随机变量 服从二维正态分布的充分必要条件是服从二维正态分布的充分必要条件是X 与与Y 的任一线性组合的任一线性组合),(YXcbYaX
18、 服从一维正态分布服从一维正态分布.其中其中a,b,c 为任意常数为任意常数,且且a,b 不全为不全为0.定理定理4.2.2 设设 为二维随机变量为二维随机变量,存在存在,则其特征函则其特征函 ),(YX)(skYXE数数 的偏导数的偏导数 存在存在,且且),(22tt sksktttt2121),(.),()(02121)(21 ttskskskskttttjYXE 例例4.2.6 设二维随机变量设二维随机变量求求 分布分布.)(),(),(),(22XYEYEXEXE).;,;,(),(2211rmmNYX )2(21)(212222212121212211),(ttrttmtmtjeet
19、t 三、相互独立随机变量的特征函数三、相互独立随机变量的特征函数 定理定理4.2.3 n 个随机变量相互独立的充分必要条件为个随机变量相互独立的充分必要条件为),(21nXXX的特征函数的特征函数 niiXntttti121)(),(niiXY1则则Y 的特征函数为的特征函数为 niXYtti1)()(推论推论 设设 为为 n 个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量,令令 nXXX,21 niiiibXaZ1)(niiXjtbZtaetii1)()(例例4.2.7 设设 为为n 个相互独立且均服从参数为个相互独立且均服从参数为p 的的0-1分布分布,证明证明nXXX,21),(1pnbXYnii 例例4.2.8 设设X 与与Y 相互独立相互独立,且且),(pnbX),(pmbY证明证明:),(pmnbYX 例例4.2.9 设设X 与与Y 相互独立相互独立,且且)(1 PX)(2 PY证明证明:)(21 PYX例例4.2.10 设设X 与与Y 相互独立相互独立,且且),(1 aNX),(2 bNY证明证明:),(2221 baNYX
