1、第十四章第十四章 多元函数微分学多元函数微分学2009040314.1 14.1 可微性可微性一、偏导数定义及计算一、偏导数定义及计算00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.同理可以定义函数同理可以定义函数),(yxfz 对自变量对自变量y的偏导的偏导数，记作数，记作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.例例 1 1 求求 223yxyxz 在点在点)2,1(处的偏导数处的偏导数解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 例例 2 2 设设yxz )1,0(xx，求求证证 zyzxxzyx2ln1 .证证
2、 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立例例 3 3 设设22arcsinyxxz ，求，求xz ，yz .解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy|)|(2yy yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx yyxx1sgn22 )0(y00 yxyz不存在不存在偏导数的几何意义偏导数的几何意义,),(),(,(00000上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxM 如图如图 偏导数偏导数),(00yxfx就是曲面被平面就是曲面被
3、平面0yy 所截得的曲线在点所截得的曲线在点0M处的切线处的切线xTM0对对x轴的轴的斜率斜率.偏导数偏导数),(00yxfy就是曲面被平面就是曲面被平面0 xx 所截得的曲线在点所截得的曲线在点0M处的切线处的切线yTM0对对y轴的轴的斜率斜率.几何意义几何意义:二、全微分的定义二、全微分的定义全微分全微分(Differentiability)函函数数若若在在某某区区域域 D 内内各各点点处处处处可可微微分分，则则称称这这函函数数在在 D 内内可可微微分分.;),(),(lim00000Axyxfyxxfx 由定义知：由定义知：0)()(),(),(lim22000000 yxyBxAyxf
4、yyxxfyx 则则令令,0 y.),(),(lim00000Byyxfyyxfy 同理：同理：.),(),(:0000yxfByxfAyx 即即习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为 dz),(00|yxdzyyxfxyxfyx ),(),(0000 dyyxfdxyxfyx),(),(0000 dyyxfdxyxfyx),(),(推广到三元及三元以上函数推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu 解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1,2(exz ,22)1,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(
5、yxyyxyz yyzxxzdz),4(),4(),4().74(82 解解,1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在三、可微的条件三、可微的条件多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在微分存在微分存在全微分存在全微分存在例例7.000),(222222 yxyxyxxyyxf在点在点)0,0(处有处有0)0,0()0,0(yxff dzz 0lim220)()(limyxyx 而而不不存存在在，说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏
6、导数存在并不能保证全 微分存在微分存在.证证),(),(0000yxfyyxxfz ),(),(0000yyxfyyxxf ),(),(0000yxfyyxf xyyxxfx ),(010 )10(1 在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理xyxfx ),(100 （依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）且且当当0,0 yx时时，01.其中其中1 为为yx ,的函数的函数,),(),(0000yyxfyyxxf z 2121 yx,00 同理同理,),(200yyxfy 当当0 y时，时，02,),(),(0000yxfyyxf xyxfx),(00 yy
7、xfy),(00 x 1 y 2 故函数故函数),(yxfz 在点在点),(00yx处可微处可微.多元函数连续、偏导数、可微分的关系多元函数连续、偏导数、可微分的关系函数连续函数连续函数偏导存在函数偏导存在函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续),(oyBxAz ,0lim0 z),(lim0000yyxxfyx ),(lim000zyxf ),(00yxf 可微分可微分连续连续 多元函数连续、偏导数、可微分的关系多元函数连续、偏导数、可微分的关系函数连续函数连续函数偏导存在函数偏导存在函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函函数数可可微微、函函数数连连续续偏偏导导存存在在 例例8.0,00,),
8、(222222 yxyxyxxyyxf多元函数连续、偏导数、可微分的关系多元函数连续、偏导数、可微分的关系函数连续函数连续函数偏导存在函数偏导存在函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函函数数可可微微、偏偏导导存存在在函函数数连连续续 例例922),(yxyxf 上上半半圆圆锥锥连续连续显然在显然在)0,0(,)0,0(不存在不存在但但xf.)0,0(不存在不存在yf.)0,0(不可微不可微在在故故 f多元函数连续、偏导数、可微分的关系多元函数连续、偏导数、可微分的关系函数连续函数连续函数偏导存在函数偏导存在函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分思路：按有关定义
9、讨论；对于偏导数需分 )0,0(),(yx，)0,0(),(yx讨论讨论.偏偏导导数数连连续续函函数数可可微微 证证令令,cos x,sin y则则22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 1sincossinlim20 0),0,0(f 故函数在点故函数在点)0,0(连续连续,)0,0(xfxfxfx )0,0()0,(lim0,000lim0 xx同理同理.0)0,0(yf当当)0,0(),(yx时，时，),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 当当点点),(yxP沿沿直直线线xy 趋趋于于)0,0(时时,),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21
10、cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.所以所以),(yxfx在在)0,0(不连续不连续.同理可证同理可证),(yxfy在在)0,0(不连续不连续.)0,0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo 故故),(yxf在点在点)0,0(可微可微.0)0,0(df多元函数连续、偏导数、可微分的关系多元函数连续、偏导数、可微分的关系函数连续函数连续函数偏导存在函数偏导存在函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续四、全微分的几何意义四、全微分的几何意义nTM空间曲面方程形为空间曲面方程形为),(yxfz 曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为.1),(
11、),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面上点的切平面上点的竖坐标的增量竖坐标的增量的全微分的全微分在点在点函数函数),(),(00yxyxfz 曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为五、全微分在近似计算中的应用五、全微分在近似计算中的应用都较小时，有近似等式都较小时，有近似等式连续，且连续，且个偏导数个偏导数的两的两在点在点当二元函数当二元函数yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(00.),(),(0000yyxfxyxfdzzyx 也可写成也可写成.),(),(),(),(000000
12、00yyxfxyxfyxfyyxxfyx 解解.),(yxyxf 设函数设函数.02.0,04.0,2,1 yxyx取取,1)2,1(f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy,2)2,1(xf,0)2,1(yf由公式得由公式得02.0004.021)04.1(02.2 .08.1、多元函数偏导数、全微分的概念；、多元函数偏导数、全微分的概念；、多元函数偏导数、全微分的求法；、多元函数偏导数、全微分的求法；、多元函数连续、偏导存在、可微、多元函数连续、偏导存在、可微 的关系的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）六、小结六、小结作业：习题集作业：习题集 14.114.11 1、偶数，、偶数，2 2、偶数，、偶数，3 3，6,6,7 7，8 8，9 9
