1、【期末专题】 二次函数 解答题培优试题1某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件已知商品的进价为每件40元（1）若每件涨价x元，每周卖出y件，求y与x的函数关系式；（2）若每周可获利w元，求w与x的函数关系式；（3）如何定价才能使利润最大？并求出最大利润2如图，已知抛物线过点A（4，0），B（2，0），C（0，4）（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点M是抛物线AC段上的一个动点，当图中阴影部分的面积最小值时，求点M的坐标3某公司计划安排25人生产甲、乙两种产品，已知每人每天生产25件甲或15件乙，甲产品每件利润18元，当参
2、与生产乙产品的工人少于10人时，乙产品每件利润为40元，在4人的基础上每增加1人，每件乙产品的利润下降1元，设每天安排x人生产甲产品，且不少于4人生产乙产品（1）请根据以上信息完善下表：产品工人数（人）每天产量（件）每件利润（元）甲x 18乙 （2）请求出销售甲乙两种产品每天的总利润y关于x的表达式；（3）请你设计合理的工人分配方案，使得每天的利润最大化，并求出这个最大利润4某水晶厂生产的水晶工艺品非常畅销，某网店专门销售这种工艺品成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，当x40时，y300；当x55时，y150（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每
3、天工艺品的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该工艺品销售单价的范围5如图1，抛物线C1：yax2+bx+1的顶点坐标为D（1，0）且经过点（0，1），将抛物线C1向右平移1个单位，向下平移1个单位得到抛物线C2，直线yx+c，经过点D交y轴于点A，交抛物线C2于点B，抛物线C2的顶点为P（1）求抛物线C1的解析式；（2）如图2，连结AP，过点B作BCAP交AP的延长线于C，设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结BQ并延
4、长交AC于点F，当点Q运动到什么位置时，SPBDSBCF8？连接PQ并延长交BC于点E，试证明：FC（AC+EC）为定值6在平面直角坐标系中，已知抛物线y1x24x+4的顶点为A，直线y2kx2k（k0），（1）试说明直线是否经过抛物线顶点A；（2）若直线y2交抛物线于点B，且OAB面积为1时，求B点坐标；（3）过x轴上的一点M（t，0）（0t2），作x轴的垂线，分别交y1，y2的图象于点P，Q，判断下列说法是否正确，并说明理由：当k0时，存在实数t（0t2）使得PQ3当2k0.5时，不存在满足条件的t（0t2）使得PQ37随着人们生活水平的提高，短途旅行日趋火爆我市某旅行社推出“辽阳葫芦岛海
5、滨观光一日游”项目，团队人均报名费用y（元）与团队报名人数x（人）之间的函数关系如图所示，旅行社规定团队人均报名费用不能低于88元旅行社收到的团队总报名费用为w（元）（1）直接写出当x20时，y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）儿童节当天旅行社收到某个团队的总报名费为3000元，报名旅游的人数是多少？（3）当一个团队有多少人报名时，旅行社收到的总报名费最多？最多总报名费是多少元？8如图，抛物线yax2+3x+c经过A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第一象限的抛物线上，且点P的横坐标为t，过点P向x轴作垂线交直线BC于点Q，设线段P
6、Q的长为m，求m与t之间的函数关系式，并求出m的最大值；（3）在x轴上是否存在点E，使以点B，C，E为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，直接写出E点坐标；如果不存在，请说明理由9某企业投资1000万元引进一条农产品生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创330万元，该生产线投产后，从第一年到第x年的维修、保养费用累计为y（万元），且yax2+bx（a0），若第一年的维修、保养费为20万元，第二年的为40万元（1）求y与x之间的函数表达式；（2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？10某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的
7、售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本（1）求出y与x的函数关系式；（2）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？11瓦子街是上杭城关老城区改造的商业文化购物步行街，瓦子街某商场经营的某个品牌童装，购进时的单价是60元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，销售单价每降低1元，就可多售出20件（1）求出销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售该品牌童装获得的利润w（元）与销售单价x
8、（元）之间的函数关系式；（3）若童装厂规定该品牌童装的销售单价不低于76元且不高于80元，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？12某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m1623x（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由13已知，抛物线yax2+2ax+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧点B的坐标为（1，0），OC3OB（1）求抛物线的解析式；（2）当
9、a0时，如图所示，若点D是第三象限方抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，三角形ADC的面积为S，求出S与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，S有最大值？最大值是多少14定义：点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距离例如，如图1，正方形ABCD满足A（1，0），B（2，0），C（2，1），D（1，1），那么点O（0，0）到正方形ABCD的距离为1（1）如果P是以（3，4）为圆心，2为半径的圆，那么点O（0， 0）到P的距离为 ；（2）求点M（3，0）到直线了yx+4的距离：如果点N（0，a）到直线yx+4的距离为2，求a的值；（3）如果点G（0，b）
10、到抛物线yx2的距离为3，请直接写出b的值15服装厂批发某种服装，每件成本为65元，规定不低于10件可以批发，其批发价y（元/件）与批发数量x（件）（x为正整数）之间所满足的函数关系如图所示（1）求y与x之间所满足的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）设服装厂所获利润为w（元），若10x50（x为正整数），求批发该种服装多少件时，服装厂获得利润最大？最大利润是多少元？16如图，已知二次函数yax2+bx+c的图象与x轴相交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）（1）求这个二次函数的表达式并直接写出顶点坐标；（2）若P是第一象限内这个二次函数的图象上任意一点，PHx轴于点
11、H，与BC交于点M，连接PC设点P的横坐标为t求线段PM的最大值；SPBM：SMHB1：2时，求t值；当PCM是等腰三角形时，直接写点P的坐标参考答案1解：（1）根据题意得：y30010x；（2）根据题意得：w（6040+x）（30010x）10x2+100x+600010（x5）2+6250；（3）w（6040+x）（30010x）10x2+100x+600010（x5）2+6250；当x5时，y有最大值，最大值为：6250此时售价为：60+565元答：每件定价为65元时利润最大，最大利润为6250元2解：（1）设抛物线解析式为ya（x+2）（x4），把C（0，4）代入得a2（4）4，解得a
12、，抛物线解析式为y（x+2）（x4），即yx2x4；（2）连接AC，则AC与抛物线所围成的图形的面积为定值，当ACM的面积最大时，图中阴影部分的面积最小值，作MNy轴交AC于N，如图甲，设M（x， x2x4），由A（4，0），C（0，4）知线段AC所在直线解析式为yx4，则N（x，x4），MNx4（x2x4）x2+2x，SACMSMNC+SMNA4MNx2+4x（x2）2+4，当x2时，ACM的面积最大，图中阴影部分的面积最小值，此时M点坐标为（2，4）3解：（1）请根据以上信息完善下表：产品工人数（人）每天产量（件）每件利润（元）甲x25x18乙25x15（25x）19+x（2）y1825x
13、+15 （25x） （19+x）15x2+540x+7125（3）y15x2+540x+712515（x18）2+11985，当x18时，y取得最大值，最大值为11985，分配18个人生产甲产品，7人生产乙产品时，可以获得最大利润11985元4解：（1）设y与x之间的函数关系式：ykx+b，由题意得：，解得：y与x之间的函数关系式为：y10x+700；（2）由题意，得10x+700240，解得x46设利润为w（x30）y（x30）（10x+700）10x2+1000x2100010（x50）2+4000，100，x50时，w随x的增大而增大，x46时，w大10（4650）2+40003840，
14、答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元（3）w15010x2+1000x210001503600，10（x50）2250，解得：x155，x245，a100，当45x55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元5解：（1）把顶点坐标为D（1，0）和点（0，1）坐标代入yax2+bx+1，解得：抛物线的方程为：yx22x+1；（2）抛物线C1向右平移1个单位，向下平移1个单位得到抛物抛物线C1向右平移1个单位，向下平移1个单位得到抛物线C2，则抛物线C2的方程为：y（x2）21x24x+3，此时顶点P坐标为（2，1），A（0，1）、B（4，3），则：SPBD3，SBCF
15、，设点Q（m，m24m+3），把Q、B点坐标代入一次函数表达式，解得：BQ所在的直线方程为：ymx+（34m），则：F（，1），SBCFFC（yByC），则m3，点Q坐标为：（3，0），即：点Q运动到x轴时，SPBDSBCF8；如下图所示，过Q点分别作AC、BC的垂线QM、QN，设：Q（t，t24t+3），则QMCN（t2）2，MCQN4t，QMCE，则：，解得：EC2t4，QNFC，则：FC，而AC4，FC（AC+EC）（4+2t4）8，为定值6解：（1）y1x24x+4（x2）2，顶点A的坐标为（2，0）当x2时，y22k2k0，直线经过抛物线顶点A（2）依照题意画出图形，如图1所示设点B
16、的坐标为（m，n）（n0），SOABABn1，n1，m24m+41，解得：m11，m23，点B的坐标为（1，1）或（3，1）（3）点M（t，0），点P的坐标为（t，t24t+4），点Q的坐标为（t，kt2k）当k0时：0t2时，点P在点Q上方，如图2所示PQ3，t24t+4（kt2k）3，整理得：t2（4+k）t+（1+2k）0b24ac（4+k）24（1+2k）k2+120，此方程有解又t1+t24+k0，t1t21+2k0，有两个正根又（t12）（t22）30，有一个正根2，在0，2上存在满足条件的t正确当k0时：（i）若点P在点Q下方，如图3所示PQ3，t2（4+k）t+（4+2k）3，
17、t2（4+k）t+7+2k0b24ac（4+k）24（7+2k）k212，当存在PQ3时，k2120，k2或k2（舍去）当2k0.5时，不存在满足条件的t；（ii）若点P在点Q上方，如图4所示PQ3，t2（4+k）t+（4+2k）3，t2（4+k）t+（1+2k）0k2+120，此方程有解又t1+t24+k0，t1t21+2k0，有一正一负两根又（t12）（t22）30，正根2，在0，2上不存在满足条件的t综上所述：正确7解：（1）设ykx+b，把（20，120）和（32，96）代入得：，解得：，y与x之间的函数关系式为：y2x+160；旅行社规定团队人均报名费用不能低于88元，当y88时，2
18、x+16088，x36，y与x之间的函数关系式为：y2x+160（20x36）；（2）2012024003000，由题意得：wxyx（2x+160）3000，2x2+160x30000，x280x+15000，（x50）（x30）0，x50或30，当x50时，y60，不符合题意，舍去，当x30时，y10088，符合题意，答：报名旅游的人数是30人；（3）wxyx（2x+160）2x2+160x2（x280x+16001600）2（x40）2+3200，20，x40，w随x的增大而增大，x36时，w有最大值为：2（3640）2+32003168，当一个团队有36人报名时，旅行社收到的总报名费最多
19、，最多总报名费是3168元8解：（1）抛物线yax2+3x+c经过A（1，0），B（4，0），把A、B两点坐标代入上式，解得：a1，c4，故：抛物线yx2+3x+4；（2）将x0代入抛物线的解析式得：y4，C（0，4），把将B（4，0），C（0，4）代入抛物线方程，解得：直线BC的解析式为：yx+4过点P作x的垂线PQ，如图所示：点P的横坐标为t，P（t，t2+3t+4），Q（t，t+4）PQt2+3t+4（t+4）t2+4tmt2+4t（t2）2+4（0t4）当t2时，m的最大值为4；（3）存在如图所示：当ECBE时，E在原点O，此时点E（0，0），当BCCE时，E在点B关于y轴对称点，此时
20、点E（4，0），当BCBE时，BE4，此时E（44，0）即：E（4.0）或（0，0）或（44，0）9解：（1）由题意，x1时，y20；x2时，y20+4060，分别代入yax2+bx得解得：y10x2+10x；（2）设总利润为W元，则：W330x100010x210x，则W10x2+320x100010（x16）2+1560，由于当1x16时，W 随的增大而增大，且当x1、2、3时，W的值均小于0，x4时，W10122+15601200，即投产后该企业在第四年就能收回投资10解：（1）设y与x的关系式为ykx+b，把（22，36）与（24，32）代入，得：，解得：，则y2x+80；（2）由题意
21、可得：w（x20）（2x+80）2x2+120x16002（x30）2+200，此时当x30时，w最大，即当x30时，w最大2（3030）2+200200（元），答：该纪念册销售单价定为30元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是200元11解：（1）根据题意得，y200+（80x）2020x+1800，所以销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为y20x+1800（60x80）；（2）w（x60）y（x60）（20x+1800）20x2+3000x108000，所以销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式w20x2+3000x108000；（3）根据题意得7
22、6x80，w20x2+3000x108000的对称轴为x75，a200，抛物线开口向下，当76x80时，w随x的增大而减小，x76时，w有最大值，最大值（7660）（2076+1800）4480（元）所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元12解：（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x30）元，那么m件的销售利润为ym（x30），又m1623x，y（x30）（1623x），即y3x2+252x4860，x300，x30又m0，1623x0，即x5430x54所求关系式为y3x2+252x4860（30x54）（2）由（1）得y3x2+252x48603（x42）2+432，所以可得售
23、价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元500432，商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元13解：（1）点B的坐标为（1，0），OC3OB，点C的坐标为（0，3）或（0，3），将点B（1，0）、C（0，3）或（0，3）代入yax2+2ax+c，或，解得：或，抛物线的解析式为yx22x+3或yx2+2x3（2）过点D作DEx轴，交AC于点E，如图所示a1，抛物线的解析式为yx2+2x3，点C的坐标为（0，3）当y0时，有x2+2x30，解得：x13，x21，点A的坐标为（3，0），利用待定系数法可求出线段AC所在直线的解析式为yx3点D的横坐标为m，点D的坐标为（m，m2+
24、2m3），点E的坐标为（m，m3），DEm3（m2+2m3）m23m，SDE|30|（m2+3m）（3m0）0，且S（m2+3m）（m+）2+，当m时，S取最大值，最大值为14解：（1）连接OP交圆于点Q，由题意得：OQ为点O（0，0）到P的距离，点P（3，4）则OP5，则PQ523，故答案是3；（2）如下图所示，设：直线为l的方程为：yx+4，直线与x轴、y轴交点的坐标分别为（3，0）、（0，4），tanMAM，过点M作MM直线l，则MM为M到直线l的距离，MMMAsinMAM6，由题意得：当N在直线l下方时，NN2，BN，则a4，当N在直线l上方时，a则a4+，即a或；（3）当G在原点下方
25、时，b3，当G在原点上方时，整理得：x4+（12b）x2+b290，（12b）24（b29）0，解得：b，故b3或15解：（1）当10x50时，设y与x的函数关系式为ykx+b，得，当10x50时，y与x的函数关系式为y0.5x+105，当x50时，y80，即y与x的函数关系式为：y；（2）由题意可得，w（0.5x+10565）x0.5x2+40x0.5（x40）2+800，当x40时，w取得最大值，此时w800，y0.540+10585，答：批发该种服装40件时，服装厂获得利润最大，最大利润是800元16解：（1）将A（1，0），B（3，0），C（0，3）代入yax2+bx+c，得：，解得：
26、，二次函数的表达式为yx2+2x+3yx2+2x+3（x1）2+4，二次函数图象的顶点坐标为（1，4）（2）设直线BC的表达式为ymx+n（m0），将B（3，0），C（0，3）代入ymx+n，得：，解得：，直线BC的表达式为yx+3点P的横坐标为t（0t3），点P的坐标为（t，t2+2t+3），点M的坐标为（t，t+3），PMt2+2t+3（t+3）t2+3t（t）2+，线段PM的最大值为点P的坐标为（t，t2+2t+3），点M的坐标为（t，t+3），点H的坐标为（t，0），PMt2+2t+3（t+3）t2+3t，MHt+3PBM和MHB等高，SPBM：SMHB1：2，MH2PM，即t+32t
27、2+6t，解得：t1，t23（不合题意，舍去），当SPBM：SMHB1：2时，t的值为点P的坐标为（t，t2+2t+3），点M的坐标为（t，t+3），点C的坐标为（0，3），PMt2+2t+3（t+3）t2+3t，CMt，PCt当PMPC时，有t2+3tt，0t3，原方程可整理为：2t40，解得：t2，点P的坐标为（2，3）；当PMCM时，有t2+3tt，解得：t10（舍去），t23，点P的坐标为（3，2+4）；当CMPC时，有tt，0t3，原方程可整理为：t24t+30，解得：t11，t23（舍去），点P的坐标为（1，4）综上所述：当PCM是等腰三角形时，点P的坐标为（2，3）或（3，2+4）或（1，4）
