1、【期末专项复习】第24章： 圆 解答题综合培优训练1如图，已知ABC内接于O，BC为O直径，延长AC至D，过D作O切线，切点为E，且D90，连接BEDE12，（1）若CD4，求O的半径；（2）若AD+CD30，求AC的长2如图，AB是O的直径，D是弦AC的延长线上一点，且CDAC，DB的延长线交O于点E（1）求证：CDCE；（2）连结AE，若D25，求BAE的度数3如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，在上取点G，连结CG，DG，AC求证：DGC2BAC4如图，在ABC中，ABAC，E在AC上，经过A，B，E三点的圆O交BC于点D，且D点是弧BE的中点，（1）求证AB是圆的直径；（2）若AB
2、8，C60，求阴影部分的面积；（3）当A为锐角时，试说明A与CBE的关系5如图，ABC中，O经过A、B两点，且交AC于点D，连接BD，DBCBAC（1）证明BC与O相切；（2）若O的半径为6，BAC30，求图中阴影部分的面积6如图，矩形ABCD中AB3，AD4作DEAC于点E，作AFBD于点F（1）求AF、AE的长；（2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求A的半径r的取值范围7已知AB是O的直径，弦CD与AB相交，BAC40（1）如图1，若D为弧AB的中点，求ABC和ABD的度数；（2）如图2，过点D作O的切线，与AB的延长线交于点P，若D
3、PAC，求OCD的度数8如图，RtABC中，C90，AC，BC2AC，半径为2的C，分别交AC、BC于点D、E，得到（1）求证：AB为C的切线；（2）求图中阴影部分的面积9如图，AM为O的切线，A为切点，过O上一点B作BDAM于点D，BD交O于C，OC平分AOB（1）求AOB的度数；（2）若线段CD的长为2cm，求的长度10如图，已知O是ABC的外接圆，AC是直径，A30，BC4，点D是AB的中点，连接DO并延长交O于点P（1）求劣弧PC的长（结果保留）；（2）过点P作PFAC于点F，求阴影部分的面积（结果保留）11如图，ABC是O的内接三角形，AB是O的直径，OFAB，交AC于点F，点E在A
4、B的延长线上，射线EM经过点C，且ACE+AFO180（1）求证：EM是O的切线；（2）若AE，BC，求阴影部分的面积（结果保留和根号）12如图，ABC的三边分别切O于D，E，F（1）若A40，求DEF的度数；（2）ABAC13，BC10，求O的半径13如图，AB为O的直径，ABC的边AC，BC分别与O交于D，E，若E为的中点（1）求证：DEEC；（2）若DC2，BC6，求O的半径14如图所示，O的直径AB10cm，弦AC6cm，ACB的平分线交O于点D，（1）求证：ABD是等腰三角形；（2）求CD的长15如图，在O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知ADBC，ADCB（1）求证：ABC
5、D；（2）如果O的直径为10，DE1，求AE的长16如图，四边形ABCD是O的内接四边形，BD是ABC的角平分线，过点D分别作DEAB，DFBC，垂足分别为E、F（1）求证：AEDCFD；（2）若AB10，BC8，ABC60，求BD的长度17如图，O的直径AB的长为2，点C在圆周上，CAB30点D是圆上一动点，DEAB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F（1）如图1，当DE与O相切时，求CFB的度数；（2）如图2，当点F是CD的中点时，求CDE的面积参考答案1（1）解：连接OE，作OHAD于H，DE是O的切线，OEDE又D90，四边形OHDE是矩形，设O的半径为r，在RtOCH中，OC
6、2CH2+OH2，r2（r4）2+144，半径r20（2）解：OHAD，AHCH又AD+CD30，即：（AH+HD）+（HDCH）302HD30，HD15，即OEHDOC15，在RtOCH中，CH9AC2CH18【点评】考查了圆的切线的性质，矩形的判定和性质及垂径定理解答此类题目的关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求得相关线段的长度2（1）证明：连接BC，AB是O的直径，ABC90，即BCAD，CDAC，ABBD，AD，CEBA，CEBD，CECD（2）解：连接AEA BEA+D50，AB是O的直径，AEB90，BAE905040【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等
7、知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型3证明：连结AD，弦CD直径AB，2BAC2BADDAC（垂径定理），又DGCDAC（圆周角定理），BACDGC，DGC2BAC【点评】此题考查了垂径定理、圆周角定理此题难度不大，注意掌握辅助线的作法与数形结合思想的应用4解：（1）连结AD，D是中点，BADCAD，又ABAC，ADBD，ADB90，AB是O直径；（2）连结OE，C60，ABAB，BAC60，AOE60，BOC120，OBE30，AB8，OB4，S阴影S扇形AOE+SBOE+24+4（3）由（1）知AB是O的直径，BEA90，EBC+CCAD+C90，EBCCAD，CA
8、B2EBC【点评】本题考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键5证明：（1）连接BO并延长交O于点E，连接DEBE是O的直径，BDE90，EBD+E90，DBCDAB，DABE，EBD+DBC90，即OBBC，又点B在O上，BC是O的切线；（2）连接OD，BOD2A60，OBOD，BOD是边长为6的等边三角形，SBOD629，S扇形DOB6，S阴影S扇形DOBSBOD69【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形面积，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出EBD+DBC90和分别求出扇形DOB和三角形DOB的面积6解：（1）矩形ABCD中AB3，A
9、D4，ACBD5，AFBDABAD，AF，同理可得DE，在RtADE中，AE；（2）AFABAEADAC，若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，即点F在圆内，点D、C在圆外，A的半径r的取值范围为2.4r4【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系7解：（1）如图1，连接OD，AB是O的直径，弦CD与AB相交，BAC40，ACB90ABCACBBAC904050D为弧AB的中点，AOB180，AOD90，ABD45；（2）如图2，连接OD，DP切O于
10、点D，ODDP，即ODP90由DPAC，又BAC40，PBAC40AOD是ODP的一个外角，AODP+ODP130ACD65OCOA，BAC40，OCABAC40OCDACDOCA654025【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答8（1）证明：过C作CFAB于F，在RtABC中，C90，AC，BC2AC，BC2，由勾股定理得：AB5，ACB的面积SABCFACBC，CF2，CF为C的半径，CFAB，AB为C的切线；（2）解：图中阴影部分的面积SACBS扇形DCE25【点评】本题考查了勾股定理，扇形的面积，解直角三角形，切
11、线的性质和判定等知识点，能求出CF的长是解此题的关键9解：（1）AM为圆O的切线，OAAM，BDAM，OADBDM90，OABD，AOCOCB，OBOC，OBCOCB，OC平分AOB，AOCBOC，BOCOCBOBC60，AOB120；（2）如图：过点O作OEBD，垂足为EBOCOCBOBC60，OBOCBCOEBD，BECEBCOAOEBD，且OAAD，BDAD四边形ADEO是矩形OADECD+CEOA2CE，且CD2cmCE2cmOA4cm的长度【点评】本题考查了切线的性质，平行线的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键10解：（1）连接OB，OAOB，点D是AB
12、的中点，PDAB，A30，POCAOD60，AC是直径，ABC90，A30，AC2BC8，OC4劣弧PC的长；（2）PFAC，OPF30，OFOP2，PF2，S阴影222【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，扇形面积计算，弧长的计算，掌握扇形面积公式和弧长公式是解题的关键11解：（1）连接OC，OFAB，AOF90，A+AFO+90180，ACE+AFO180，ACE90+A，OAOC，AACO，ACE90+ACOACO+OCE，OCE90，OCCE，EM是O的切线；（2）AB是O的直径，ACB90，ACO+BCOBCE+BCO90，ACOBCE，AE，AACOBCEE，ABCBCO+E2
13、A，A30，BOC60，BOC是等边三角形，OBBC，阴影部分的面积【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，扇形的面积计算，连接OC 是解题的关键12（1）连OD，OF，如图，则ODAB，OFAC，DOF180A18040140，又DEFDOF14070；（2）过A作AMBC于M，ABAC，BMBC105，则AM12，则SABC60，设圆O的半径的半径是r，则（13+13+10）r60，解得：r【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交
14、点也考查了切线长定理13解：（1）连结AE，BD，E为的中点，CAEBAE，AEB是直径所对的圆周角，AEB90，即AEBC，AEBAEC90，在AEC和AEB中，AECAEB（ASA），CEBE，DECEBEBC；（2）在RtCBD中，BD2BC2CD232，设半径为r，则AB2r，由（1）得ACAB2r，ADACCD2r2，在RtABD中AD2+BD2AB2，（2r2）2+32（2r）2，解得：r4.5，O的半径为4.5【点评】本题考查了圆周角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键14（1）证明：连接OD，AB为O的直径，ACB90，CD
15、是ACB的平分线，ACDBCD45，由圆周角定理得，AOD2ACD，BOD2BCD，AODBOD，DADB，即ABD是等腰三角形；（2）解：作AECD于E，AB为O的直径，ADB90，ADAB5，AECD，ACE45，AECEAC3，在RtAED中，DE4，CDCE+DE3+47【点评】本题考查的是圆周角定理，勾股定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键15（1）证明：如图，ADBC，即，ABCD；（2）如图，过O作OFAD于点F，作OGBC于点G，连接OA、OC则AFFD，BGCGADBC，AFCG在RtAOF与RtCOG中，RtAOF
16、RtCOG（HL），OFOG，四边形OFEG是正方形，OFEF设OFEFx，则AFFDx+1，在直角OAF中由勾股定理得到：x2+（x+1）252，解得 x5则AF3+14，即AEAF+37【点评】本题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，垂径定理以及圆周角、弧、弦间的关系注意（2）中辅助线的作法16证明：（1）四边形ABCD是O的内接四边形，A+BCD180，又DCF+BCD180，ADCF，BD是ABC的角平分线，又DEAB，DFBC，DEDF，DEAF90，在AED与CFD中，AEDCFD（AAS）（2）AEDCFD，AECF，BEBF，设AECFx，则BE10x，BF8+x，即10x8+
17、x，解得x1，在RtBFD，DBC30，设DFy，则BD2y，BF2+DF2BD2，y2+92（2y）2，y3，BD6【点评】考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质解答此题的关键是证明AEDCFD17解：（1）如图：连接ODDE与O相切ODE90ABDEAOD+ODE180AOD90AOD2CC45CFBCAB+CCFB75（2）如图：连接OCAB是直径，点F是CD的中点ABCD，CFDF，COF2CAB60，OFOC，CFOF，CD2CF，AFOA+OF，AFAD，F点为CD的中点，DECD，AF为CDE的中位线，DE2AF3，SCED3【点评】本题考查切线的性质和判定、圆的有关知识、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，属于基础题，中考常考题型
