1、【新人教版】数学必修二第八单元8.5空间直线、平面的平行8.5.1直线与直线平行学习目标1.会判断空间两直线的位置关系.2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.知识点一基本事实4文字语言平行于同一条直线的两条直线平行图形语言符号语言直线a，b，c，ab，bcac作用证明两条直线平行说明基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性知识点二空间等角定理1.定理文字语言如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补符号语言OAOA，OBOBAOBAOB或AOBAOB180图形语言作用判断或证明两个角相等或互补2.推广如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成
2、的锐角(或直角)相等.思考如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？答案不一定，这两条直线可能相交、平行或异面.1.如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.()2.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等.()3.如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条也与这条直线垂直.()4.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.()一、基本事实4的应用例1(1)如图，在正方体ABCDABCD中，E，F，E，F分别是AB，BC，AB，BC的中点，求证：EEFF.证明E，E分别是AB，AB的中点，BEBE，且
3、BEBE.四边形EBBE是平行四边形，EEBB，同理可证FFBB.EEFF.(2)已知正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别为AA1，CC1的中点，求证：BFD1E是平行四边形.证明如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE.因为F为CC1的中点，所以BGFC1，且BGFC1.所以四边形BFC1G是平行四边形.所以BFGC1，BFGC1，又因为EGA1B1，EGA1B1，A1B1C1D1，A1B1C1D1，所以EGC1D1，EGC1D1.所以四边形EGC1D1是平行四边形.所以ED1GC1，ED1GC1，所以BFED1，BFED1，所以四边形BFD1E是平行四边形.反思感悟基本事实4表述
4、的性质通常叫做空间直线平行的传递性，解题时首先找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.跟踪训练1如图，在三棱锥PABC中，G，H分别为PB，PC的中点，M，N分别为PAB，PAC的重心，且ABC为等腰直角三角形，ABC90，求证：GHMN.证明如图，取PA的中点Q，连接BQ，CQ，则M，N分别在BQ，CQ上.M，N分别为PAB，PAC的重心，则MNBC.又G，H分别为PB，PC的中点，GHBC，GHMN.二、等角定理的应用例2如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点.求证：BGCFD1E.证明因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1
5、的中点，所以CEGD1，CEGD1，BFGD1，BFGD1，所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形.所以GCD1E，GBD1F.因为BGC与FD1E的两边方向相同，所以BGCFD1E.反思感悟等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能.跟踪训练2如图，已知在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)DNMD1A1C1.证明(1)如图 ，连结AC，在ACD中，M，N分别是CD，AD的中点，MN是ACD的中位线，MNAC，且MNAC.由正方体的性质，得A
6、CA1C1，且ACA1C1.MNA1C1，且MNA1C1，即MNA1C1，四边形MNA1C1是梯形.(2)由(1)可知，MNA1C1.又NDA1D1，且DNM与D1A1C1的两边的方向相同，DNMD1A1C1.1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A.一定平行 B.一定相交C.一定异面 D.相交或异面答案D解析可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾).2.若ABAB，ACAC，则有()A.BACBACB.BACBAC180C.BACBAC或BACBAC180D.BACBAC90答案C解析由已知可知BAC和BAC的两条边分别对应平行，所以BAC与BAC相等或互补.3.如图
7、，空间四边形ABCD的对角线AC，BD相等，顺次连接各边中点E，F，G，H，则四边形EFGH一定是()A.矩形 B.正方形C.菱形 D.空间四边形答案C解析利用E，F，G，H分别为各边中点，可得这个四边形是平行四边形，再由对角线相等可得四边形EFGH一定是菱形.4.两等角的一组对应边平行，则()A.另一组对应边平行B.另一组对应边不平行C.另一组对应边不可能垂直D.以上都不对答案D解析另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直.注意和空间等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别.5.两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形()A.全等 B.不相似
8、C.仅有一个角相等 D.相似答案D解析由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.1.知识清单：(1)基本事实4的应用.(2)等角定理的应用.2.方法归纳：转化思想.3.常见误区：用等角定理时，角度有可能相等或互补.1.空间两条互相平行的直线指的是()A.在空间没有公共点的两条直线B.分别在两个平面内的两条直线C.在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线D.在同一平面内且没有公共点的两条直线答案D2.不平行的两条直线的位置关系是()A.相交 B.异面C.平行 D.相交或异面答案D3.如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有()
9、A.3条 B.4条 C.5条 D.6条答案B解析EFB1C1BCADA1D1.4.若空间三条直线a，b，c满足ab，bc，则直线a与c()A.一定平行 B.一定垂直C.一定是异面直线 D.一定相交答案B解析ab，bc，ac.5.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A.平行或异面 B.相交或异面C.异面 D.相交答案B解析假设a与b是异面直线，而ca，则c显然与b不平行(否则cb，则有ab，矛盾)，c与b可能相交或异面.6.过直线l外两点可以作l的平行线的条数为_.答案0条或1条解析以如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1为例.令A1B1所在直线为直线l，过l外的两
10、点A，B可以作一条直线与l平行，过l外的两点B，C不能作直线与l平行.7.对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边的中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是_.答案矩形解析如图所示.点M，N，P，Q分别是四条边的中点，MNAC，且MNAC，PQAC，且PQAC，MNPQ，且MNPQ，四边形MNPQ是平行四边形，又ACBD，NPBD，PQNP，四边形MNPQ是矩形.8.如图所示，两个三角形ABC和ABC的对应顶点的连线AA，BB，CC交于同一点O，且，则_.答案解析如图，可证ABAB，ACAC，BCBC.由等角定理CABCAB，ACBACB，ABCABC，.9.如图所示，在长方体ABCDA1B
11、1C1D1中的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由.解如图所示，在面A1C1内过点P作直线EFB1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求.理由：因为EFB1C1，BCB1C1，所以EFBC.10.在梯形ABCD中，ABCD，E，F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到CD的位置，G，H分别为AD和BC的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形.证明在梯形ABCD中，ABCD，E，F分别为BC，AD的中点，EFAB且EF(ABCD)，又CDEF，EFAB，CDAB.G，H分别为AD，BC的中点，GHAB且GH(ABCD
12、)(ABCD)，GHEF且GHEF，四边形EFGH为平行四边形.11.若直线a，b与直线l所成的角相等，则a，b的位置关系是()A.异面 B.平行C.相交 D.相交、平行、异面均可能答案D12.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是()A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直答案C解析如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点.由三角形的中位线定理，知EFAC，GHAC，所以EFGH.13.(多选)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为
13、棱C1D1，C1C的中点，以下结论正确的是()A.直线AM与CC1是相交直线B.直线AM与BN是平行直线C.直线BN与MB1是异面直线D.直线AM与DD1是异面直线答案CD解析直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故AB错误；CD正确.14.已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，若，则四边形EFGH的形状为_.答案梯形解析如图，在ABD中，EHBD且EHBD.在BCD中，FGBD且FGBD，EHFG且EHFG，四边形EFGH为梯形.15.如图所示，已知三棱锥ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是()A.MN(ACBD)B
14、.MN(ACBD)C.MN(ACBD)D.MNMN，所以MN(ACBD).16.如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且有AEEBAHHDm，CFFBCGGDn.(1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若ACBD，试证明：EGFH.(1)证明AEEBAHHD，EHBD.又CFFBCGGD，FGDB.EHFG.E，F，G，H四点共面.(2)解当且仅当EHFG且EHFG时，四边形EFGH为平行四边形.，EHBD.同理FGBD，由EHFG，得mn.故当mn时，四边形EFGH为平行四边形.(3)证明当mn时，AEEBCFFB，EFAC.又ACBD，EHBD，FEH90，从而平行四边形EFGH为矩形，EGFH.
