1、第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分)1、 若是五阶行列式中带正号的一项，则。令，取正号。(知识点：行列式的逆序数)2、 若将阶行列式的每一个元素添上负号得到新行列式，则= 。即行列式的每一行都有一个(-1)的公因子，所以=。3、设, 则=。 可得4、设为5 阶方阵，则。 由矩阵的行列式运算法则可知：。答案应该为5的n次方5、为阶方阵,且 0 。由已知条件：，而 ：。6、设三阶方阵可逆，则应满足条件。 可逆，则行列式不等于零：。二、单项选择题(每小题4分，共24分)7、设，则行列式 A 。ABCD由于 8、设阶行列式，则的必要条件是 D 。A中有两行(或列)元素对应成比例
2、 B中有一行(或列)元素全为零 C中各列元素之和为零 D以为系数行列式的齐次线性方程组有非零解9、对任意同阶方阵，下列说法正确的是 C 。A. B. C. D. 10、设为同阶可逆矩阵，为数，则下列命题中不正确的是 B 。A. B. C. D. 由运算法则，就有。11、设为阶方阵，且，则 C 。A B C D 因为。12、矩阵的秩为2，则= D 。 A. 2 B. 3 C.4 D.5 通过初等变换，由秩为2可得：三、计算题(每小题7分，共42分)13、计算行列式： 。 解：。14、计算行列式： 。解：先按第一行展开，再按第三行展开，有：=。15、问取何值时，齐次线性方程组有非零解。解：齐次线性
3、方程组有非零解，则系数行列式为零： 16、设矩阵，计算。解：因为，所以都可逆，有 。17、解矩阵方程，求，其中=。 解：, 。18、设，利用分块矩阵计算。 解：四、证明题(每小题5分，共10分)19、设阶方阵满足，证明矩阵可逆，并写出逆矩阵的表达式。 化简方程证明：因为， 从而。20、若矩阵，则称矩阵为反对称矩阵，证明奇数阶反对称矩阵一定不是满秩矩阵。证明：设为阶反对称矩阵，为奇数，则 ， 所以不可逆，即不是满秩矩阵。第二套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分)1、 为3阶方阵,且是的伴随矩阵,则= -4 。 因为：。2、为53矩阵,秩()=3, ,则秩()= 3 。 因为可逆
4、，相当于对作列初等变换，不改变的秩。3、均为4维列向量， ，则= 40 。 。4、，且，则 = -4 。 。5、如果元非齐次线性方程组有解，则当 n 时有唯一解；当 n 时有无穷多解。 非齐次线性方程组有解的定义。 6、设四元方程组的3个解是。其中，如，则方程组的通解是 。 因为，所以的基础解系含4-3=1个解向量；又 都是的解，相加也是的解，从而可得的一个解为： ， 于是的通解为：。二、单项选择题(每小题4分，共24分)7、对行列式做 D 种变换不改变行列式的值。A.互换两行 B.非零数乘某一行 C.某行某列互换 D.非零数乘某一行加到另外一行8、阶方阵满足，其中为单位矩阵，则必有 D 。A
5、. B. C. D. 矩阵乘法不满足变换律，而D中。9、矩阵的秩为2，则= D A. 3 B. 4 C.5 D.6通过初等变换，由秩为2可得：。10、若方阵不可逆，则的列向量中 C 。A. 必有一个向量为零向量 B. 必有二个向量对应分量成比例 C. 必有一个向量是其余向量的线性组合 D. 任一列向量是其余列向量的线性组合 方阵不可逆，则的列向量线性相关，由定义可得。11、若r维向量组线性相关，为任一r维向量，则 A 。A. 线性相关 B. 线性无关 C. 线性相关性不定 D. 中一定有零向量 由相关知识可知，个数少的向量组相关，则个数多的向量组一定相关。12、若矩阵有一个3阶子式为0，则 C
6、 。A.秩()2 B. 秩()3 C. 秩()4 D. 秩()5 由矩阵秩的性质可知：，而有一个3阶子式为0，不排除4阶子式不为0。三、计算题(每小题7分，共42分)13、计算行列式。 解：14、设，求矩阵。 解：。15、已知三阶方阵，且，计算矩阵。 解：16、求矩阵的秩，并找出一个最高阶非零子式。 解：， 最高阶非零子式是。17、写出方程组的通解。 解： 18、已知R3中的向量组 线性无关，向量组，线性相关，求k值。解： ，由 线性无关，得，因为相关，所以有非零解，故系数行列式=0，得。四、证明题(每小题5分，共10分)19、设为阶方阵，若，则秩秩。证明：因为线性方程组，当秩时，基础解系为个
7、，由则有，即B的列均为的解，这些列的极大线性无关组的向量个数即秩(，从而秩。20、如果线性相关，但其中任意3个向量都线性无关，证明必存在一组全不为零的数，使得。 证明：因为线性相关，所以存在一组“ 不全为零”的数，使得 ， 如果，则，且由于 不全为零，所以线性无关，与题设矛盾，所以； 同理，可证明。第三套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分)1、 已知三阶行列式，表示它的元素的代数余子式，则与对应的三阶行列式为。 由行列式按行按列展开定理可得。2、均为阶方阵，则=。 由于： 。3、 ，则=。由于。4、向量组线性 无 关。 因为：。5、设6阶方阵的秩为5，是非齐次线性方程组的两个
8、不相等的解，则 的通解为。 由于，所以的基础解系只含一个向量：，故有上通解。6、已知为的特征向量，则。 。 二、单项选择题(每小题4分，共24分)7、，则 D 。A B C D 对A作行变换，先作，将第一行加到第三行上，再作，交换一二行。8、元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 B 。A B C D 齐次线性方程组有非零解的定理。9、已知矩阵的秩为，是齐次线性方程组的两个不同的解，为任意常数，则方程组的通解为 D 。A B C D 基础解系只含一个解向量，但必须不等于零，只有D可保证不等于零。10、矩阵与相似,则下列说法不正确的是 B 。A.秩()=秩() B. = C. D. 与有相同的
9、特征值 相似不是相等。11、若阶方阵的两个不同的特征值所对应的特征向量分别是和，则 B 。A. 和线性相关 B. 和线性无关 C. 和正交 D. 和的内积等于零 特征值，特征向量的定理保证。12、阶方阵具有个线性无关的特征向量是与对角矩阵相似的 C 条件。A.充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要 矩阵与对角矩阵相似的充分必要定理保证。三、计算题(每小题7分，共42分)13、设与均为3阶方阵，为3阶单位矩阵，且 ；求。 解：因为AB+E=A2+B ，可逆所以。14、满足什么条件时，方程组有唯一解，无解，有无穷多解？ 解：当且时，方程组有惟一解。当时方程组无解。当时
10、方程组当时这时方程组只有零解。当时，这时方程组有无穷多解。15、向量组 ，（1）计算该向量组的秩，（2）写出一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。解：， 为一个极大无关组，16、设矩阵的一个特征值为3，求。解：17、计算矩阵的特征值与特征向量。 解：，所以得：特征值，解方程组，只得一个对应特征向量为：；， 解方程组，可得特征向量为。18、当为何值时，为正定二次型？ 解：解不等式：。四、证明题(每小题5分，共10分)19、设向量能由这三个向量线性表示且表达式唯一, 证明：向量组线性无关。 证明：（反证法）如果线性相关，则有一组不全为0的系数使= （1），由已知设，结合（1）式得 （2）由于不完全为零，则，必与不同，这样已有两种表示，与表示法惟一相矛盾，证毕。20、设是阶方阵的3个特征向量，它们的特征值不相等，记，证明不是的特征向量。 证明：假设， 又： 从而：，由于特征值各不相等，所以线性无关，所以的，矛盾。
