1、 指数函数及其基本性质指数函数的定义一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.问题：指数函数定义中，为什么规定“”如果不这样规定会出现什么情况？(1)若a0会有什么问题？（如则在实数范围内相应的函数值不存在）(2)若a=0会有什么问题？（对于,无意义）(3)若 a=1又会怎么样？（1x无论x取何值,它总是1,对它没有研究的必要.）师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定且 . 指数函数的图像及性质函数值的分布情况如下：指数函数平移问题（引导学生作图理解）用计算机作出的图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y=的图象的关系（作图略），y=与y=. y=与y
2、=.f(x)的图象向左平移a个单位得到f(xa)的图象;向右平移a个单位得到f(xa)的图象;向上平移a个单位得到f(x)a的图象;向下平移a个单位得到f(x)a的图象.指数函数经典例题解析 (重在解题方法)【例1】求下列函数的定义域与值域：解 (1)定义域为xR且x2值域y0且y1(2)由2x+210，得定义域x|x2，值域为y0(3)由33x-10，得定义域是x|x2，033x13， 及时演练求下列函数的定义域与值域（1）；（2）；（3）；【例2】指数函数yax，ybx，ycx，ydx的图像如图262所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 Aab1cd Bab1dcC ba1dc Dc
3、d1ab解 选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得ba1dc及时演练指数函数 满足不等式 ,则它们的图象是 ( ). 【例3】比较大小：(3)4.54.1_3.73.6解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.14.53.6，作函数y14.5x，y23.7x的图像如图263，取x3.6，得4.53.63.73.6 4.54.13.73.6说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4
4、.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)及时演练（1）1.72.5 与 1.73( 2 )与( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1（）和【例】已知函数f(x)a，若f(x)为奇函数，则a_.【解析】解法1：f(x)的定义域为R，又f(x)为奇函数，f(0)0，即a0.a.解法2：f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即aa，解得a.【答案】及时演练当x0时，函数y有最大值为1(1)判断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的值域；(3)证明f(x)在区间(，)上是增函数解 (1)定义域是R函数f(x)为奇函数即f(x)的值域为(1，1)(3)
5、设任意取两个值x1、x2(，)且x1x2f(x1)f(x2)备选例题1比较下列各组数的大小：（1）若 ，比较 与 ；（2）若 ，比较 与 ；（3）若 ，比较 与 ；（4）若 ，且 ，比较a与b；（5）若 ，且 ，比较a与b解：（1）由 ，故 ，此时函数 为减函数由 ，故 （2）由 ，故 又 ，故 从而 （3）由 ，因 ，故 又 ，故 从而 （4）应有 因若 ，则 又 ，故 ，这样 又因 ，故 从而 ，这与已知 矛盾（5）应有 因若 ，则 又 ，故 ，这样有 又因 ，且 ，故 从而 ，这与已知 矛盾小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解,2.已知，则x的取值范围是_分析：利用指数
6、函数的单调性求解，注意底数的取值范围解：，函数在上是增函数，解得x的取值范围是3. 解方程解：原方程可化为，令，上述方程可化为，解得或（舍去），经检验原方程的解是评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根4. 为了得到函数的图象，可以把函数的图象（）A向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度B向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度C向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度分析：注意先将函数转化为，再利用图象的平移规律进行判断解：，把函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数 的图象，故选（C）
7、评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等5. 已知-1x2,求函数f(x)=3+23x+1-9x的最大值和最小值解：设t=3x,因为-1x2，所以，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。5. 函数yax(a1)的图像是( )分析 本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像，以及数形结合思想和分类讨论思想.解法1：(分类讨论)：去绝对值，可得y又a1，由指数函数图像易知，应选B.解法2：
8、因为yax是偶函数，又a1，所以当x0时，yax是增函数；x0时，ya-x是减函数.应选B.指数函数练习题一 选择题：1某种细菌在培养过程中，每分钟分裂一次（一个分裂为两个）。经过个小时，这种细菌由个可繁殖成（ ）个 个 个 个2在统一平面直角坐标系中，函数与的图像可能是（ ）3设都是不等于的正数，在同一坐标系中的图像如图所示，则的大小顺序是（ ） 4.若，那么下列各不等式成立的是（ ） 5函数在上是减函数，则的取值范围是（ ） 6函数的值域是（ ） 7当时，函数是（ ）奇函数 偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数8函数且的图像必经过点（ ） 9若是方程的解，则（ ） 10某厂1998年的产值为万元，预计产值每年以递增，则该厂到2010年的产值（单位：万元）是（ ） 二 填空题：1 已知是指数函数，且，则 2 设，使不等式成立的的集合是 3 若方程有正数解，则实数的取值范围是 4 函数的定义域为 5 函数的单调递增区间为 三、解答题：1设，求函数的最大值和最小值。2函数且在区间上的最大值比最小值大，求的值。3设，试确定的值，使为奇函数。4已知函数 （1）求函数的定义域及值域；（2）确定函数的单调区间。5已知函数 （1）求函数的定义域；（2）讨论函数的奇偶性； （3）证明：13 / 13
