1、19.1.2（2）平行四边形的判定1.点到直线的距离:点到这条直线的_的长度.温 故2.3.平行四边形的性质:(1)平行四边形的两组对边分别_;平行四边形的定义:有两组对边分别_的四边形叫做平行四边形.垂线段 平行(2)平行四边形的两组对边分别_;(3)平行四边形的两组对角分别_;(4)平行四边形的对角线_.平行相等相等互相平分探究探究5 任意画一个任意画一个ABC，取，取AB、AC边上的中点边上的中点D、E，连接连接DE。通过观察和猜测，。通过观察和猜测，DE和和BC有什么关系？有什么关系？ABCDE位置关系怎样？位置关系怎样？大小关系怎样？大小关系怎样？三角形中位线的定义：三角形中位线的定
2、义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。ABCDE猜测：猜测：三角形的中位线平三角形的中位线平行于三角形的第三边，行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。且等于第三边的一半。证一证证一证ABCDEF中线中线(中位线中位线)加倍法加倍法已知：已知：ABC中，中，D、E是是ABC的边的边AB、AC的中点。的中点。求证：求证：DEBC，DE=BC。21 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。等于第三边的一半。三角形中位线定理三角形中位线定理例题：如图，点例题：如图，点D、E分别是分别是ABC的边的
3、边AB、AC的中点，求证的中点，求证DEBC且且DE=BC21ABCDEBCADEF证明：延长证明：延长DE到到F,使使EF=DE,连接连接FC、DC、AF四边形四边形ADCF是平行四边形是平行四边形四边形四边形DBCF是平行四边形是平行四边形AE=ECCFDA，CF=DACFBD，CF=BDDFBC，DF=BC又又DE=DF21DEBC且且DE=BC21练一练练一练 如图，如图，D、E、F分别是分别是ABC的边的边AB、BC、CA的中点，以这些点为顶点，你能的中点，以这些点为顶点，你能在图中画出多少个平行四边形？在图中画出多少个平行四边形？ABCDFE 若若ABC的周长的周长为为12，你知道
4、，你知道DEF的周长吗？的周长吗？巩固练习1.如图，点D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点，以这些点为顶点，你能在 图中画出多少个平行四边形？BAFEDC2.如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两点的实际距离？根据是什么？ABC拓展拓展1.如图，点如图，点E、F是是ABCD的对角线的对角线AC上两上两点，要使四边形点，要使四边形DEBF是平行四边，还需添是平行四边，还需添加一个什么条件？利用已知条件和你添加的加一个什么条件？利用已知条件和你添加的条件，证明四边形条件，证明四边形DEBF是平行四边形。是平行四边形。DABCEF2.如图，如图，A
5、BC为等边三角形，为等边三角形，D、F分别是分别是BC、AB上的点，且上的点，且CD=BF，以，以AD为边作等边三角形为边作等边三角形ADE。(1)求证：求证：CBE ACD；(2)点点D在线段在线段BC上何处时，四边形上何处时，四边形CDEF是平行四边形，且是平行四边形，且DEF=30，证明你的结论。，证明你的结论。CABEFCFD1.平行四边形的性质与判定的综合应用【例1】已知,如图所示,AD为ABC的中线,E为AC上一点,连接BE交AD于F,且AE=FE.求证:BF=AC.分析:延长AD到N,使DN=AD,构造出平行四边形ABNC求解即可.证明:延长AD到N,使DN=AD,连接BN,CN
6、,BD=CD,AD=ND,四边形ABNC是平行四边形.BN=AC,BNAC.FAE=BND.AE=FE,FAE=AFE.AFE=BFD,FAE=BND,BFD=BND,BN=BF.BF=AC.点拨:有三角形中线时,常延长中线构造平行四边形,然后再利用平行四边形的性质转化线段或角的相等进行证题.2.三角形中位线定理的运用【例2】如图所示,已知E,F,G,H分别是线段AB,BD,CD,CA的中点,求证:四边形EFGH是平行四边形.分析:本题出现多个中点,应想到三角形中位线.E,H分别为AB,AC的中点,那么连接BC后,EH为ABC的中位线,可利用中位线证明.证明:连接BC,AD,H为AC的中点,E
7、为AB的中点,EHBC,EH=BC.又G为CD的中点,F为BD的中点,GFBC,GF=BC.EHGF且EH=GF.四边形EFGH为平行四边形.点拨:当题目中已知线段的中点时,一般应考虑运用三角形的中位线定理,取中点构造中位线是作辅助线的常用方法.12121.下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是().A.A=C,B=D B.AD=BC,AB=CDC.AB=CD,ADBC D.ABCD,ADBC解析:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,故C错误.答案:C2.小明的爸爸在钉制平行四边形框架时,采用了一种方法:将两根木条AC,BD的中点重叠,并用钉子固定,则四边形ABCD就是平行四边形,
8、这种方法的依据是().A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形B.对角线互相平分的四边形是平行四边形C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D.两组对角分别相等的四边形是平行四边形答案:B3.(2011山东德州中考)如图,D,E,F分别为ABC三边的中点,则图中平行四边形的个数为 .解析:由三角形的中位线定理得,DEAC,DFBC,EFAB.所以由平行四边形的定义得,四边形ADEF、四边形BEFD、四边形ECFD是平行四边形.答案:34.在四边形ABCD中,ABCD,要使四边形ABCD为平行四边形,则可添加的条件为 .(填一个即可)答案:答案不唯一,如AB=CD或A=C或ADBC5.在 AB
9、CD中,分别以AD,BC为边向内作等边ADE和等边BCF,连接BE,DF.求证:四边形BEDF是平行四边形.证明:四边形ABCD是平行四边形,CD=AB,AD=CB,DAB=BCD.又ADE和CBF都是等边三角形,DE=BF,AE=CF,DAE=BCF=60.DCF=BCD-BCF,BAE=DAB-DAE,DCF=BAE.DCF BAE(SAS).DF=BE.四边形BEDF是平行四边形.6.如图,在 ABCD中,点E是AD的中点,BE的延长线与CD的延长线相交于点F.(1)求证:ABE DFE;(2)连接BD,AF,判断四边形ABDF的形状,并证明你的结论.分析:(1)应用平行四边形的性质证三角形全等.(2)可由AE=DE,再证BE=FE.(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,ABCD.BAD=EDF,ABE=DFE.又E是AD的中点,AE=DE.ABE DFE(AAS).(2)解:四边形ABDF是平行四边形.证明如下:ABE DFE,BE=FE.又AE=ED,四边形ABDF是平行四边形.
